第02讲单调性问题（练习）（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习讲练测(课件+讲义+练习)（新高考）

第 02 讲 单调性问题 （模拟精练+真题演练） 1．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数 ，若 ，则下列说法正 确的是（ ） A．函数 为奇函数 B．函数 为偶函数 C．函数 在 上单调递增 D．函数 在 上单调递减 【答案】B 【解析】依题意 ，则 ，设 单调递减, 单调递增, 知该方程有唯一解 ，故 ，易知该函数为偶函数. 故选：B． 2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ， 由 ，即 ， 解得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ， 故选：D 3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若函数 在区间 上单调递增， 则 的取值范围是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 1A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，因为 在区间 上单调递增， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 因为二次函数 的图象的对称轴为 ，且开口向上 所以 的最小值为1，所以 . 故选：B. 4．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知 是偶函数，在(－∞，0)上满足 恒成立，则下列不等式 成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 时， 即 ， ∴ 在 上单调递减，又 为偶函数， ∴ 在 上单调递增． ∴ ， ∴ . 故选：A． 5．（2023·全国·模拟预测）已知 ，且 ， ， ，其 中 是自然对数的底数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得 ， ， ， 令 ，则 ， 因为当 时 ， 单调递增， 所以 ，即 ， 令 ，则 ， 学科网（北京）股份有限公司 2因为当 时， ，所以 在 上单调递增， 又因为 且 ， 所以 ， 故选：A 6．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ， ，其中 是自然 对数的底数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得， ，即 ，也即 ， 由 可得 ，所以 ， 即 ， 构造函数 ， 在 恒成立， 所以函数 在定义域 上单调递减， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ， 故选:B. 7．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知 ， ，对 ，且 ，恒有 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， ， 对 ，且 ，恒有 ，即 ， 在 上单调递增，故 恒成立， 即 ，设 ， ， 当 时， ，函数单调递增； 学科网（北京）股份有限公司 3当 时， ，函数单调递减； 故 ，即 ，即 . 故选：A 8．（2023·四川南充·统考三模）已知函数 使 （ 为常数）成立，则常数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 在定义域上单调递增， 又 使 （ 为常数）成立， 显然 ，所以不妨设 ，则 ， 即 ， 令 ， ，则 ，即函数 在 上存在单调递增区间， 又 ，则 在 上有解， 则 在 上有解， 令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，所以 ，即常数 的取值范围为 . 故选：C 9．（多选题）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A, ,故 为奇函数， ，故 为定义域内的单调递增函数，故A正确， 对于B， ，故 为非奇非偶函数，故B错误， 对于C， 在定义域内不是单调增函数，故C错误， 对于D， ， ，所以 定义域内既是奇函数 又是增函数，故D正确， 故选：AD 学科网（北京）股份有限公司 410．（多选题）（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数 ，则（ ） A． 在 单调递增 B． 有两个零点 C．曲线 在点 处切线的斜率为 D． 是奇函数 【答案】AC 【解析】对A： ，定义域为 ，则 ， 由 都在 单调递增，故 也在 单调递增， 又 ，故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 故A正确； 对B：由A知， 在 单调递减，在 单调递增，又 ， 故 只有一个零点，B错误； 对C： ，根据导数几何意义可知，C正确； 对D： 定义域为 ，不关于原点对称，故 是非奇非偶函数，D错误. 故选：AC. 11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先 把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发展 影响深远．若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设 ， ，则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，A正确； 由 得 ，即 ，又因为 单调递增，所以 ，B正确； 由 得 ，即 ，所以 ，C错误； 学科网（北京）股份有限公司 5因为 ，所以 ，D正确． 故选：ABD. 12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）当 且 时，不等式 恒成立，则自然数 可能为（ ） A．0 B．2 C．8 D．12 【答案】BC 【解析】由于 且 ，所以 ，所以 ， 构造函数 ， 当 ，且 时， 故当 当 ，因此 在 单调递减，在 单调递增，故当 时， 取最小值 ， 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，故当 时， 取最大值 ， 当 时，不妨取 ，则 而 ，不满足 ，故A错误， 当 时， ， ，显然 ，故满足题意，B正确， 要使 恒成立，则需要 ，即 恒成立即可 由于 ，因此 学科网（北京）股份有限公司 6当 时， ， C正确， 当 时， ，不满足题意，错误， 故选：BC 13．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数 ，则 的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】由题得 的定义域为 ， 由 可得 ， 令 ， ，得 ，所以 的单调递减区间为 . 故答案为： 14．（2023·四川雅安·统考模拟预测）给出两个条件：① ， ；②当 时， （其中 为 的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出 一个满足条件的函数即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】由 ， 知，函数 可以为指数函数， 因当 时， ，则函数 在 上单调递减， 所以函数 可以为 . 故答案为： 15．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为______________． 【答案】 【解析】令 ，定义域为R， 且 ， 所以 为奇函数， 变形为 ， 即 ， 其 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 学科网（北京）股份有限公司 7所以 在R上单调递增， 所以 ，解得： ， 所以解集为 . 故答案为： 16．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数 在区间 上不单调，则实数 的 取值范围为________． 【答案】 【解析】由 可知，其定义域为 ， 则 ， 易知当 时， ；当 时， ； 即函数 在 单调递减，在 上单调递增； 若函数 在区间 上不单调，则需满足 ， 解得 ； 所以实数 的取值范围为 . 故答案为： 17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数 . 若函数 为增函数，求 的取值范围； 【解析】∵ ，则 ， 若 是增函数，则 ，且 ，可得 ， 故原题意等价于 对 恒成立， 构建 ，则 ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 则 在 上递增，在 递减， 学科网（北京）股份有限公司 8故 ，∴ 的取值范围为 . 18．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数 若 单调递增，求a的值； 【解析】由 可得， ， 由于函数 单调递增，则 恒成立， 设 ，则 ， 当 时， ，可知 时， ，不满足题意； 当 时， ，函数 单调递增， 又因为 ，即 ，不满足题意； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以当 时，函数 取得最小值 ， 由 可得， ，令 ，则 ， 可知 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减， 则 ，由于 恒成立， 所以， 当且仅当 时取等号， 故函数 单调递增时，实数 的值为 . 19．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）实数 ， ， ． (1)若 恒成立，求实数 的取值范围； (2)讨论 的单调性并写出过程． 【解析】（1）由题意得，令 ， 的定义域为 ， 由 得： ． 设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 学科网（北京）股份有限公司 9在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，即实数 的取值范围为 ． （2）令 ， 的定义域为 ． ①当 时， 时， ， 在 上是增函数； 时， ， 在 上是减函数； 时， ， 在 上是增函数； ②当 时， ， 时， 在 上是减函数； 时， 在 上是增函数； ③当 时， 单调递增； ④当 时， 时， ， 在 上是增函数， 时， ， 在 上是减函数， 时， ， 是增函数． 20．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ， ． 求 的单调区间； 【解析】由已知可得， 定义域为 ， . 令 ，则 . 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递增. 所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 ， 所以 在 上恒成立， 所以， 在 上单调递增． 所以， 的单调递增区间为 ，无递减区间． 21．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）已知函数 ，其中 是自然 对数的底数. 学科网（北京）股份有限公司 10当 时，讨论函数 的单调性； 【解析】当 时， ，则 ， 当 时，令 解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递减， 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 综上：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 22．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ． (1)当 时，讨论函数 的单调性； (2)若函数 在 上不单调，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当 时，函数 ，定义域为 ， 易知 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）由题意知 ， 则 ，令 ， ， 学科网（北京）股份有限公司 11则 ． ①当 时， ，则 在 上单调递增， 所以当 时， ，所以 在 上单调递增，不符合题意． ②当 时， ，则 在 上单调递减， 所以当 时， ，所以 在 上单调递减，不符合题意． ③当 时，由 ，得 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减． 易知 ，当且仅当x＝1时取等号，则当 时， ，即 ． 所以当x＞0时， ． 取 ，则 ，且 ． 又 ，所以存在 ，使得 ， 所以当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故函 数 在区间 上不单调，符合题意． 综上，实数a的取值范围为 ． 1．（2023•甲卷）已知函数 ．记 ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】 【解析】令 ，则 的开口向下，对称轴为 ， ， 而 ， 学科网（北京）股份有限公司 12， ， 由一元二次函数的性质可知 ， ， 而 ， ， ， 综合可得 ，又 为增函数， ，即 ． 故选： ． 2．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】 【解析】对函数 求导可得， ， 依题意， 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 设 ，则 ， 易知当 时， ， 则函数 在 上单调递减， 则 ． 故选： ． 3．（2021•乙卷）设 ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】 【解析】 ， ， 学科网（北京）股份有限公司 13， 令 ， ， 令 ，则 ， ， ， 在 上单调递增， （1） ， ， ， 同理令 ， 再令 ，则 ， ， ， 在 上单调递减， （1） ， ， ， ． 故选： ． 4．（2020•全国）函数 的单调递增区间是 A． B． ， C． D． 【答案】 【解析】已知函数 ， 学科网（北京）股份有限公司 14则函数的定义域为： ， 则 ， 令 ， 解得 ， 即函数 的单调递增区间是 ， 故选： ． 5．（2023•乙卷）设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ． 【答案】 的取值范围是 ， ． 【解析】 函数 在 上单调递增， 在 上恒成立， 即 ，化简可得 在 上恒成立， 而在 上 ， 故有 ，由 ，化简可得 ， 即 ， ， 解答 ， 故 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 6．（2023•甲卷）已知 ， ． （1）若 ，讨论 的单调性； （2）若 恒成立，求 的取值范围． 【解析】（1）已知 ，函数定义域为 ， 若 ，此时 ， 学科网（北京）股份有限公司 15可得 ， 因为 ， ， 所以当 ，即 时， ， 单调递增； 当 ，即 时， ， 单调递减； （2）不妨设 ，函数定义域为 ， ， 令 ， ， 此时 ， 不妨令 ， 可得 ， 所以 单调递增， 此时 （1） ， ①当 时， ， 所以 在 上单调递减， 此时 ， 则当 时， 恒成立，符合题意； ②当 时， 当 时， ， 所以 ， 又 （1） ， 所以在区间 上存在一点 ，使得 ， 即存在 ，使得 ， 当 时， ， 学科网（北京）股份有限公司 16所以当 时， ， 单调递增， 可得当 时， ，不符合题意， 综上， 的取值范围为 ， ． 7．（2023•甲卷）已知函数 ， ． （1）当 时，讨论 的单调性； （2）若 ，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时， ， ， ， 令 ， ， ， ， 又 ， ， 在 上单调递减； （2）设 ， ， 则 ， ， ， 在 上单调递减， 若 ，又 ，则 ， ， 当 时， ， 又 ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 17，满足题意； 当 时， ， ， ，满足题意； 综合可得：若 ，则 ， 所以 的取值范围为 ， ． 8．（2023•乙卷）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程； （2）若函数 在 单调递增，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时， 则 ， 求导可得， ， 当 时， （1） ， 当 时， （1） ， 故曲线 在点 ， 处的切线方程为： ，即 ； （2） ， 则 ， 函数 在 单调递增， 则 ，化简整理可得， ， 令 ， 求导可得， ， 当 时， 则 ， ， 故 ，即 在区间 上单调递减， ，不符合题意， 令 ， 学科网（北京）股份有限公司 18则 ， 当 ，即 时， ， ， 故 在区间 上单调递增，即 在区间 上单调递增， 所以 ， 在区间 上单调递增， ，符合题意， 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ， 在区间 上单调递减，即 单调递减， ， 当 时， ， 单调递减， ， 当 时， ，不符合题意， 综上所述， 的取值范围为 ． 9．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）证明：当 时， ． 【解析】（1） ， 则 ， ①当 时， 恒成立， 在 上单调递减， ②当 时，令 得， ， 当 时， ， 单调递减；当 ， 时， ， 单调递增， 综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 19证明：（2）由（1）可知，当 时， ， 要证 ，只需证 ， 只需证 ， 设 （a） ， ， 则 （a） ， 令 （a） 得， ， 当 时， （a） ， （a）单调递减，当 ， 时， （a） ， （a）单调递增， 所以 （a） ， 即 （a） ， 所以 得证， 即 得证． 10．（2020•新课标Ⅱ）已知函数 ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）设 ，讨论函数 的单调性． 【解析】（1） 等价于 ． 设 ， ． 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 在 时取得极大值也就是最大值为 （1） ， ，即 ． 则 的取值范围为 ， ； （2） ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 20． 令 ， 则 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减． （a） ，即 ， 在 和 上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 21