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必刷大题 20 概率与统计
1．已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充
在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分．
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从
这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和
均值．
解 若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
2．(2023·毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成
茎叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示．
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(1)求频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数
的中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小
数)；
(2)用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取 4人，记这4人中测试分数不低于90分
的人数为X，求X的分布列及均值．
解 (1)∵测试分数位于[50,60)的频数为4，频率为0.01×10＝0.1，
∴抽取学生数为＝40，
∴测试分数位于[80,90)的人数为40－(4＋10＋14＋4)＝8，
∴a＝÷10＝0.02.
由题意知，测试分数位于[60,70)的频率为＝0.25，位于[70,80)的频率为＝0.35，
设由频率分布直方图估计分数的中位数为t，
则有(t－70)×0.035＝0.5－0.1－0.25，解得t≈74.3，
估计平均数为55×0.1＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.2＋95×0.1＝74.5.
(2)由题意知，测试分数不低于90分的频率为0.1，人数为4，
∴X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.1)，
即P(X＝k)＝C(0.1)k(0.9)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.656 1 0.291 6 0.048 6 0.003 6 0.000 1
E(X)＝4×0.1＝0.4.
3．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 p(0<p<1)．现有4例疑似病例，分别
对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要
有病毒，则化验结果呈阳性．若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若
混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验．现有以下三种方案：
方案一：4个样本逐个化验；
方案二：4个样本混合在一起化验；
方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验．
由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”．
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(1)若p＝，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
(2)若p＝，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说
明理由．
解 (1)p＝，按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率P＝C×2×2＝.
(2)方案一：逐个检测，检验次数为4×1＝4；
方案二：设检测次数为X，X的所有可能取值为1,5，
P(X＝1)＝4＝，
P(X＝5)＝1－＝，
则X的分布列为
X 1 5
P
方案二的均值E(X)＝1×＋5×＝2.375 6；
方案三：每组2个样本检测时，
若呈阴性，则检测次数为1，概率为，
若呈阳性，则检测次数为3，概率为1－＝，
设方案三的检测次数记为Y，Y的所有可能取值为2,4,6，
P(Y＝2)＝，
P(Y＝4)＝2××＝，
P(Y＝6)＝2＝，
则Y的分布列为
Y 2 4 6
P
方案三的均值E(Y)＝2×＋4×＋6×＝2.76，
∵E(X)<E(Y)<4，∴方案一、二、三中，方案二最“优”．
4．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件
作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X，并根据以
下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)：① P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≥0.682 7；② P(μ－
2σ≤X≤μ＋2σ)≥0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≥0.997 3.评判规则为：若同时满足上述三
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个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一
个不等式，则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备 M的性能等
级；
(2)将直径小于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数Y的均值E(Y)；
②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列和均值E(Z)．
解 (1)由题意可得，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(62.8≤X≤67.2)＝0.8>0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(60.6≤X≤69.4)＝0.94<0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝P(58.4≤X≤71.6)＝0.98<0.997 3，
因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
(2)样本中次品共有6个，可估计设备M生产零件的次品率约为0.06.
①由题意可得，Y～B，所以E(Y)＝2×＝.
②由题意可知，Z的分布列为
Z 0 1 2
P
所以E(Z)＝0×＋1×＋2×＝.
5．(2022·唐山模拟)两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起
了全社会的共鸣．某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图
所示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数)．体育组为进一步了解情况，组织了两个研
究小组．
(1)第一小组决定从单次完成1～15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的
方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6～10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1～5个”的人
数为随机变量X，求X的分布列和均值；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成
绩与体育成绩之间的2×2列联表.
学业成绩
体育成绩 合计
优秀 不优秀
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不优秀 200 400 600
优秀 100 100 200
合计 300 500 800
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
解 (1)①单次完成1～5个引体向上的有0.020×5×800＝80(人)，
单次完成6～10个引体向上的有0.030×5×800＝120(人)，
单次完成11～15个引体向上的有0.060×5×800＝240(人)，
则单次完成1～15个引体向上的男生共440人，
采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人，则有＝＝＝，
所以a＝4，b＝6，c＝12，
即从单次完成1～5个的人中选4人，6～10个的人中选6人，11～15个的人中选12人，
又因为单次完成6～10个引体向上的共有120人，
记“单次完成6～10个引体向上的学生中，男生甲被抽中”为事件A，
则P(A)＝＝.
②X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)零假设为H：体育锻炼与学业成绩无关，
0
由列联表中数据得，χ2＝≈17.778>7.879＝x ，
0.005
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为体育锻炼与学业成
0
绩有关．
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6．随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多．世界卫生组织(WHO)常用身体质量
指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝.成人的BMI数值标准
为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI≥28为肥
胖．
某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取
了8名员工(编号1～8)的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的数据，并计算得到他们的
BMI(精确到0.1)如表所示．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高(cm) 163 164 165 168 170 172 176 182
体重(kg) 54 60 77 72 68 ● 72 55
BMI (近似值) 20.3 22.3 28.3 25.5 23.5 23.7 23.2 16.6
(1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X
的分布列及均值；
(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为
6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归
方程为y＝0.5x＋a，且根据经验回归方程预估一名身高为180 cm的员工体重为71 kg，计算
得到的其它数据如下：＝170，xy＝89 920.
i i
①求a的值及表格中8名员工体重的平均值；
②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63 kg，身高数据无误，
请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为 180 cm的员
工的体重．
附：对于一组数据(x ，y)，(x ，y)，…，(x ，y)，其经验回归直线y＝bx＋a的斜率和截距
1 1 2 2 n n
的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b.
解 (1)8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为
X，则X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)①调查员甲由经验回归方程y＝0.5x＋a预估一名身高为180 cm的员工的体重为71 kg，
由此计算a＝71－180×0.5＝－19，
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故＝b＋a＝0.5×170－19＝66.
②由①知更正前的数据＝170，
＝66.由b＝0.5＝，
得x－82＝2×(xy－8)＝2×(89 920－8×170×66)＝320，
i i
更正后的数据′＝＝170，
′＝＝67，x′y′＝xy＋x×8＝xy＋182×8，
i i i i 8 i i
8′·′＝8·′＝8(＋1)
＝8＋8×170，
则b＝
＝
＝0.5＋＝0.5＋0.3＝0.8，
故a＝′－b′＝67－0.8×170
＝－69.
更正后该组数据的经验回归方程为
y＝0.8x－69.
当x＝180时，
y＝0.8×180－69＝75，
所以重新预估一名身高为180 cm的员工的体重约75 kg.
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