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第 7 节 离散型随机变量及其分布列和数字特征
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会
求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间 Ω中的每个样本点w，都有 唯一的实数 X ( w )与
之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量
称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，我们称 X 取每一个
1 2 n
值 x 的概率 P(X＝x)＝p，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
i i i
3.离散型随机变量的分布列的性质
①p≥0(i＝1，2，…，n)；
i
②p ＋ p ＋ … ＋ p ＝1.
1 2 n
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值
称E(X)＝x p ＋ x p ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ x p ＝∑xp 为随机变量X的均值或数学期望.
1 1 2 2 i i n n i i
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝为随机变量X的方差，
1 1 2 2 n n
并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均
值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数).
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随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(
)
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(
)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差
或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
解析 对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之
和等于1，故不正确.
2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(
)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
答案 C
解析 选项A，B表述的都是随机事件；
选项D是确定的值2，并不随机；
选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
3.(易错题)若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
答案 C
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解析 由随机变量X的分布列知
P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝
0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
4.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p ，p ，
1 2
p ，p ，且∑p＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
3 4 i
A.p ＝p ＝0.1，p ＝p ＝0.4
1 4 2 3
B.p ＝p ＝0.4，p ＝p ＝0.1
1 4 2 3
C.p ＝p ＝0.2，p ＝p ＝0.3
1 4 2 3
D.p ＝p ＝0.3，p ＝p ＝0.2
1 4 2 3
答案 B
解析 X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望 E(X)＝1×p ＋2×p
1 2
＋3×p ＋4×p 都为 2.5，方差 D(X)＝[1－E(X)]2×p ＋[2－E(X)]2×p ＋[3－
3 4 1 2
E(X)]2×p ＋[4－E(X)]2×p ，标准差为.
3 4
A选项的方差D(X)＝0.65；
B选项的方差D(X)＝1.85；
C选项的方差D(X)＝1.05；
D选项的方差D(X)＝1.45.
可知选项B的情形对应样本的标准差最大.
5.(2022·郴州检测)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________.
答案
解析 由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
6.(2021·浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取
出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m
－n＝________；E(ξ)＝________.
答案 1
解析 由题意可得P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n
＝5(m＋n＝－12舍去).
又取出的两个球为一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2，所以m－n
＝1.易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝
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＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
考点一 分布列的性质
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________，公差 d 的取值范围是
________.
答案
解析 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
(2)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝|X－1|的分布列.
解 ①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
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所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η
＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
感悟提升 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机
变量在某个范围内的概率.
训练1 (1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其
中a是常数，则P的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，
所以＋＋＋＝1，即a＝，
所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
(2)(多选)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式不正确的是( )
A.P(ξ<3)＝ B.P(ξ>1)＝
C.P(2<ξ<4)＝ D.P(ξ<0.5)＝0
答案 ABD
解析 P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ>1)＝＋＝，B错误；
P(2<ξ<4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误.
考点二 分布列的求法
例2 有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个
座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学
生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
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解 (1)因为当X＝2时，有C种方法，
因为C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的概率分布列为
X 0 2 3 4
P
感悟提升 离散型随机变量分布列的求解步骤
训练2 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单
项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为 X，求随
机变量X的分布列.
解 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
考点三 离散型随机变量的数字特征
角度1 期望、方差的计算
例3 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该
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滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1小时免费，超过 1小时的部分每小时
收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来
该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超
过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，
方差D(ξ).
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0，40，80元，甲、乙两人2小
时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝.
两人都付0元的概率为P ＝×＝，
1
两人都付40元的概率为P ＝×＝，
2
两人都付80元的概率为P ＝×＝，
3
则两人所付费用相同的概率为
P＝P ＋P ＋P ＝＋＋＝.
1 2 3
(2)ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
角度2 决策问题
例4 某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有
两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也
可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能
损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
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针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解 若按“项目一”投资，设获利为 X 万元，X 的所有可能取值为 300，－
1 1
150.则X 的分布列为
1
X 300 －150
1
P
∴E(X )＝300×＋(－150)×＝200(万元).
1
若按“项目二”投资，设获利X 万元，X 的所有可能取值为500，－300，0.则
2 2
X 的分布列为：
2
X 500 －300 0
2
P
∴E(X )＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
2
D(X )＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
1
D(X )＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
2
所以E(X )＝E(X )，D(X )
