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必刷小题 7 三角函数
一、单项选择题
1．(2023·杭州模拟)设α是第三象限角，且＝－cos ，则的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，则是
第二或第四象限角，又＝－cos ，即cos <0，所以是第二象限角．
2．(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形的弧长为( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
答案 C
解析 设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇
形的弧长为9 cm.
3．(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－，则tan α等于( )
A．± B. C．－ D.
答案 B
解析 因为角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－，
所以＝－，所以＝，且m<0，
解得m＝－，
所以tan α＝＝－m＝.
4．(2023·济南模拟)已知α∈，且cos2α＋sin 2α＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 cos2α＋sin 2α＝，
即＝，
即＝，所以7tan2α－20tan α－3＝0，
即(7tan α＋1)(tan α－3)＝0，
所以tan α＝－或tan α＝3，又α∈，
所以tan α＝－，
所以＝＝＝＝.
5．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
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答案 C
解析 f(x)＝|sin x＋cos x|＝，
函数图象是将g(x)＝sin的图象在x轴下方的部分向上翻折形成的，如图所示，
根据图象知函数f(x)的最小正周期为π.
6．(2022·扬州模拟)已知sin＋sin＝1，则cos 2α等于( )
A．－ B. C. D.
答案 B
解析 由题意可知，sin α＋cos α＋＝1，
即2sin α＝1，解得sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
7．(2023·吉林质检)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原
来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．若x≠x，且g(x)g(x)＝2，则|x－x|的最小
1 2 1 2 1 2
值为( )
A. B．π C．2π D．4π
答案 B
解析 由题设知f(x)＝sin，故y＝g(x)＝sin，
要使x≠x 且g(x)g(x)＝2，则g(x)＝g(x)＝或g(x)＝g(x)＝－，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴|x－x|的最小值为1个周期长度，则|x－x| ＝＝π.
1 2 1 2min
8．(2023·玉林模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，其图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离
分别为和，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数g(x)为奇函数，则φ的值为(
)
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为和，即可知其周期为π，
所以＝π，即ω＝2，
所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数g(x)＝2sin，
又g(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，则φ＝－.
二、多项选择题
9. (2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是周期为π的奇函数
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上单调递增
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D．f(x)的值域是[－3,1]
答案 CD
解析 由题意可得f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1.
因为f(－x)＝2sin－1＝－2sin－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故A错误；
因为f ＝2sin－1＝－1，所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，≤x≤，故C正确；
因为－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－3≤2sin－1≤1，即f(x)的值域是[－3,1]，故D正
确．
10．(2022·武汉模拟)先将函数f(x)＝2sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为
原来的，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A．在上单调递增
B．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]
C．其图象关于直线x＝对称
D．最小正周期为π，其图象关于点对称
答案 BC
解析 由题可得g(x)＝2sin，
当x∈时，2x－∈，故函数g(x)在上不单调，故A错误；
当x∈时，2x－∈，sin∈，g(x)＝2sin∈[－2,1]，故B正确；
当x＝时，2x－＝，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
由g(x)＝2sin可知，最小正周期为π，又x＝，2x－＝，故函数g(x)的图象不关于点对称，故
D错误．
11．(2023·九江模拟)将函数y＝sin的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到的图象关于直
线x＝对称(φ>0向左移动，φ<0向右移动)，φ可取的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 CD
解析 由题意，将函数y＝sin的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到y＝sin＝sin，
则y＝sin的图象关于直线x＝对称．
所以2×＋2φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－，k∈Z，
当k＝0时，φ＝－，
当k＝1时，φ＝.
12．(2023·长沙模拟)将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度，
得到函数 g(x)＝sin(2x＋φ)的图象(g(x)的部分图象如图所示)．对于∀x ，x∈[a，b]，且
1 2
x≠x 若g(x)＝g(x)，都有g(x＋x)＝成立，则下列结论正确的是( )
1 2 1 2 1 2
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A．g(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．g(x)在上单调递增
D．函数f(x)在上的零点为x，x，…，x，则x＋2x＋2x＋…＋2x ＋x＝
1 2 n 1 2 3 n－1 n
答案 ABD
解析 对于A，由题意可知函数g(x)＝sin(2x＋φ)的图象在区间[a，b]上的对称轴为直线x
＝，又g(x ＋x)＝，所以g(0)＝g(x ＋x)＝，所以sin φ＝，又因为0<φ<，所以φ＝，故g(x)
1 2 1 2
＝sin，故A正确；
对于B，g(x)＝sin向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，再将其横坐标缩短为原来的
得到f(x)＝sin的图象，故B正确；
对于C，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝1时，≤x≤，
所以g(x)在上单调递增，而⊈，故C错误；
对于D，令t＝4x－，则t∈，函数y＝sin t在上有6个零点t ，t ，…，t ，则t ＋t ＝π，t ＋
1 2 6 1 2 2
t＝3π，t＋t＝5π，t＋t＝7π，t＋t＝9π，
3 3 4 4 5 5 6
故t＋2t＋2t＋2t＋2t＋t＝4(x＋2x＋2x＋2x＋2x＋x)－10×＝25π，
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
所以x＋2x＋2x＋2x＋2x＋x＝，故D正确．
1 2 3 4 5 6
三、填空题
13．若f(x)＝2sin(x＋φ)－sin x为偶函数，则φ＝________.(填写符合要求的一个值)
答案 (填写符合φ＝2kπ±，k∈Z的一个值即可)
解析 f(x)＝2sin(x＋φ)－sin x
＝2sin xcos φ＋2cos x·sin φ－sin x
＝2sin φcos x＋(2cos φ－1)sin x，
当2cos φ－1＝0时，f(x)为偶函数，
此时cos φ＝，
则φ＝2kπ±，k∈Z，填写符合φ＝2kπ±，k∈Z的一个值即可．
14．(2023·焦作模拟)计算：2cos 50°－＝________.
答案
解析 2cos 50°－＝2sin 40°－
＝＝
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＝＝
＝＝.
15．(2022·北京)若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f ＝________.
答案 1 －
解析 依题意得f ＝A×－×＝0，解得A＝1，
所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
所以f ＝2sin＝2sin＝－.
16．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a＋bcos x)sin x，在①②中任选一个作为已知条件，再
从③④⑤中选出在这个条件下成立的所有结论，则你所选的编号为________．(写出一组符
合要求的答案即可)
①a＝1，b＝1；②a＝1，b＝－1；③f(x)在上为单调函数；④f(x)的图象关于点(π，0)对称；
⑤f(x)在x＝处取得最小值－.
答案 ①④⑤或②③④
解析 若选①，f(x)＝(1＋cos x)sin x，
则f′(x)＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)，
令f′(x)>0，解得cos x>；
令f′(x)<0，解得cos x<，
所以f(x)在，k∈Z上单调递增，
在，k∈Z上单调递减，显然f(x)在上不单调，③不正确；显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝－，⑤正确；
因为f(2π－x)＝[1＋cos(2π－x)]sin(2π－x)＝－(1＋cos x)sin x＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确，可知选①④⑤.
若选②，f(x)＝(1－cos x)sin x，
则f′(x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1)(1－cos x)，
令f′(x)>0，解得cos x>－；
令f′(x)<0，解得cos x<－，
所以f(x)在，k∈Z上单调递增，
在，k∈Z 上单调递减，显然 f(x)在上单调递增，③正确；因为 f(2π－x)＝[1－cos(2π－
x)]sin(2π－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确；
显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝－，⑤不正确，可知选②③④.
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