文档内容
专题 17 角（7 个知识点 7 种题型 4 个易错点 3 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.角的概念及表示方法
知识点2角度制及换算
知识点3.角的比较
知识点4.角的和、差、倍、分运算（重点）
知识点5.角的平分线（重点）
知识点6.余角和补角（重点）
知识点7.方位角
【方法二】 实例探索法
题型1.角的个数的探究
题型2.运用角的知识解决钟表的夹角问题
题型3.角平分线的应用
题型4.互余以及互补的角的计算
题型5.角的相关运算
题型6.利用方位角确定物体的位置
题型7.竞赛题中的“角的有关计算”
【方法三】差异对比法
易错点1.错误使用角的表示方法
易错点2.对角的平分线的概念理解有误
易错点3.因考虑图形位置不全面，而导致漏解
易错点4.易弄错度、分、秒间的进制
【方法四】 仿真实战法
考法1.角度计算
考法2.余角和补角考法3.角的平分线
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解角的概念。掌握角的表示方法。
2. 会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的和与差。
3. 理解角的平分线的概念，会用符号语言表示。
4. 了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.角的概念及表示方法
1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英
文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
【例1】（2023上·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1) 表示成 ，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以 为顶点的角有几个？请表示出来．
(4) 与 是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
知识点2角度制及换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由
度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.
【例2】（2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中） 用度、分、秒表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点3.角的比较
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.【例3】（2022上·广东茂名·七年级统考期末）如图，用“＞”或“＜”填空：
（1）在图①中， ；
（2）在图②中， ．
【变式】（2023上·全国·七年级课堂例题）比较 与 的大小时，把它们的顶点 和边 重合，
把 和 放在 的同一侧，如图所示，则 ．
知识点4.角的和、差、倍、分运算（重点）
角的和与差仍是一个角，只不过是这个角的度数等于另外两个角度数的和或差
【例4】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图， 平分 ，则
等于（ ）A． B． C． D．
【变式】两角差是36°，且它们的度数比是3∶2，则这两角的和是多少？
解法一：设这两角度数分别为(3x)°和(2x)°，则根据题意列方程为：_______________,
解方程,得：x=____________, ∴3x+2x=______________.
解法二：设这两个角的度数和为x°，则这两个角分别为_______和_______，根据题意列方程为：
_______________________________,
解方程得：x =______________,∴这两角的和是____________°.
知识点5.角的平分线（重点）
角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因
为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【例5】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图， ， ， 平分 ，
平分 ．(1)求 的度数．
(2)若 ， ，用含 、 的代数式表示 的度数为______ ．
知识点6.余角和补角（重点）
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
【例6】（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如果一个角的补角是 ，则这个角的余角的度数是
（ ）
A． B． C． D．
知识点7.方位角
方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正
北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏
西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【例7】（2023上·山西太原·七年级开学考试）如图，把一个直径8米的圆平均分成四个扇形，再把每个扇
形的弧三等分．点A在点O的 偏 °方向 米处．
【方法二】实例探索法
题型1.角的个数的探究
1.（2023下·全国·七年级课堂例题）图中角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
题型2.运用角的知识解决钟表的夹角问题
2.（2023上·全国·七年级专题练习）从 分到 分，时钟的分针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
题型3.角平分线的应用
3．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图， 平分 ， ， ，
，求 的度数．题型4.互余以及互补的角的计算
4．（2023上·河北保定·七年级统考期中）一个角的补角为 ，那么这个角的余角是 ．
题型5.角的相关运算
5．（2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中）将一副直角三角板 和 的一个顶点B重合在一
起，按如图所示方式摆放，其中 ， ，三角板 在 内可任意转动
(1)以点B为顶点的所有锐角有________个；
(2)求以点B为顶点的所有锐角的度数和．
题型6.利用方位角确定物体的位置
6．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）如图，点 分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功
纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经测量 ，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏
东 方向，则郑成功纪念馆在日光岩的（ ）A．北偏东 方向B．北偏西 方向 C．北偏西 方向 D．北偏东 方向
题型7.竞赛题中的“角的有关计算”
7．·将一副直角三角板如图1摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ， ，
， ， ），保持三角板 不动，将三角板 绕点 以每秒 的
速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上，旋转时间记为 秒．
(1)当 ___________秒时， 平分 ；
(2)①如图2，旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的异侧，则 与 数量关系为
___________；
②如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与 有怎样
的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板 开始旋转的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，当 旋
转至直线 上时同时停止．请直接写出在旋转过程中， 与 的数量关系．【方法三】差异对比法
易错点1.错误使用角的表示方法
1．（2022上·七年级单元测试）写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以点 为顶点的角；
(3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）．
易错点2.对角的平分线的概念理解有误
2．（2022上·湖南郴州·七年级校考开学考试）已知 ， 是 的角平分线，．
易错点3.因考虑图形位置不全面，而导致漏解
3．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知 ，从 的顶点O作射线 ，
若 ，那么 的度数为 ．
易错点4.易弄错度、分、秒间的进制
4．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）下列有关角度的运算：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【方法四】 仿真实战法
考法1.角度计算
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）将含有 角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若 ，
则 度数（ ）
A． B． C． D．
考法2.余角和补角
2．（2022·甘肃武威·统考中考真题）若 ，则 的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
考法3.角的平分线
3．如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）若 ，则 的补角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·云南红河·七年级统考期末）学校操场上，你站在李老师北偏东 的方向，那么李老
师站在你的（ ）
A．北偏西 B．北偏西
C．南偏西 D．南偏西
3．（2023上·全国·七年级专题练习）把 用度、分、秒表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如果一个角的补角是 ，那么这个角的余角的度数为( )
A． B． C． D．
6．（2022上·云南红河·七年级统考期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少 ，这个角的度数是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图， ，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
8．（2023上·河北沧州·七年级校考期中）已知 ， 与 互为补角， 与 互为补角，则
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）下列说法中：（1）x是单项式；（2）多项式
的次数是4；（3） 的常数项是1；（4）由两条射线组成的图形叫做角，正确的
个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 与 互余， 与 互补，则 与 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）已知 的余角为 ，则 ．
12．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）已知 与 互余，若 ，则 的度数为
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图， ， ，
，那么 等于 ．
14．（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期中）亲爱的同学，按正常做题速度，北京时间上午 ，你应该做
到此题了， 这个时刻钟表上的时针和分针的夹角度数是 （要求：夹角度数小于 ）．
15．（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）把 用度、分、秒表示为 ．
16．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线 ， 交于点 ．射线 平分 ，若
，则 等于 ．17．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，
把 分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是 的三
等分线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表示为 ．
三、解答题
19．（2023上·河北承德·七年级统考期中）如图， ， 平分 ，且 ，求
度数．
20．下面是某市 路公共汽车的行驶路线图．
(1) 路公共汽车从汽车站出发，先向( )行( )千米到达东关站后，再向( )偏( ) 方向行驶( )千米到
达公园．
(2)由中心广场先向东偏( )( )行驶( )千米到达医院，再向( )偏( )( )的方向行驶( )千米到达体育馆．21．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校联考期中）请补全下面的解题过程
已知：如图，点A，O，B在同一条直线上， 平分 ， ．
求证： 是 的平分线．
证明：因为 是 的平分线，
所以 ．
因为 ．
所以 ，
②°．
因为 ，
所以 ．
所以 是 的平分线．
22．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①， 且两个角重合．
（1）将 绕着顶点O顺时针旋转 如图②，此时OB平分 ； 的余角有 个，分别是： ．
【实践探究】
（2）将 绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若 ，射线OE在 内部，且请探究：
① 的补角是哪几个角？ ．
②求 的度数．
23．（2023上·河北承德·七年级统考期中）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF
重合， ，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度 ，
(如图2)，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的
角时，求 的值．
24．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）已知 ，过顶点O作射线 ，且 平分 ，
平分 ．
(1)如图，若 在 内．
①当 平分 时， 的度数为
②当 时，求 的度数．
(2)嘉嘉说∶“若 在 内旋转，因为 和 的度数不能确定，所以 的度数不能计
算．”琪琪说∶“你说的不对， 的度数能算到，且 的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由
(3)若射线 从 出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于 ），请直接写出 的度数．
25．（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）如图1，已知线段 ， ，线段 在线段
上运动（点 不与点 重合），点 、 分别是 、 的中点．
(1)若 ，则 __________ ．
(2)当线段 在线段 上运动时，试判断线段 的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段 的
长度；如果变化，请说明理由．
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知 在 内部转动， 、 分别平分
和 ．类比以上发现的线段的规律，若 ， ，求 的度数．
26．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）如图，O是直线 上一点，OD平分 ， ．
(1)若 ，求 的度数；
