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必刷小题 2 函数的概念与性质
一、单项选择题
1．(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－10，
所以f(x)在R上单调递增，
又因为a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，
所以a<－b，c<－a，b<－c，
所以f(a)f(3)>f ，
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则f >f(1)>f .
8．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f(－ln x)<2f(1)的解集为( )
A．(e，＋∞) B．(0，e)
C.∪(1，e) D.
答案 D
解析 函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsin x＋cos x＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，
f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，当x>0时，2＋cos x>0，则f′(x)>0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)<2f(1)，
可得f(|ln x|)0，所以2kπf(5)
B．f(－1)＝f(5)
C．f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2)
D．f(0)与f(3)的大小不确定
答案 AD
解析 由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
可得f(2)>f(5)，故A正确；
题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称，
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所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确；
根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续，
所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确；
x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，
所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确．
11．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，f(1＋x)＝－f(1－x)，下列四个结论正确的
是( )
A．f(x)是周期为4的周期函数
B．f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(x)是偶函数
D．f(x)的图象经过点(－2,0)
答案 ABC
解析 由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故A正确；
又f(1＋x)＝－f(1－x)，
所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确；
又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，故C正确；
又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)，
无法判断其值，故D错误．
12．(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(
)
A．f(－2)＝0 B．f(1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 ACD
解析 因为f(x＋2)为奇函数，
所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确；
由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)
＝0，
因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，
所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确；
令f(x)＝sin x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足．
三、填空题
13．(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f ＝________.
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答案
解析 由题意，可得f ＝sin ＝－sin ＝－，则f ＝f ＝2＋1＝.
14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；
③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________．
答案 f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一)
解析 根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，
若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶
函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；
若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝
－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.
15．已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，则实数a的值是________．
答案 －9或－6
解析 当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)，
f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意；
当a<0时，y＝x3＋2x＋a在[1,2]上单调递增，
3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a，
而3＋a<3,3＋a<12＋a，
则或
所以a＝－9或a＝－6.
16．已知函数f(x)＝－ln|x|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是________．
答案 ∪
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－ln|－x|＝－ln|x|＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝－ln x，
因为函数y＝，y＝－ln x均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则
即即
解得－f(t＋3)成立的实数t的取值范围是∪.
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