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必刷大题 6 导数的综合问题
1．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，
则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x) ＝h()＝2e，
min
则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，
故a的取值范围是[－，]．
2．设f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.
(2)证明 令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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又g(1)＝0，所以当00
当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
3．(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体
育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家
的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中
某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税
收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件．
(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；
(2)求出f(x)的最大值Q(a)．
解 (1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2 万件，
而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，
∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．
(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，
∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝18，而10≤a≤13，则16≤≤18，
①若16≤<17，即10≤a<11.5，
当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x) ＝f ＝(13－a)3；
max
②若17≤≤18，即11.5≤a≤13，
则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，
∴f(x) ＝f(17)＝12－a，
max
综上，Q(a)＝
4．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x2＋2x－aln ，a∈R.
(1)当a＝4时，求f(x)的极值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点，求a的取值范围．
解 (1)由题意，f(x)＝x2＋2x－4ln ，x>0，
则f′(x)＝2x＋2－＝(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)，
故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
有极小值f(1)＝3－4ln ，无极大值．
(2)设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln ，x∈(0,4]，
则g′(x)＝2x＋(2－a)－＝[2x2＋(2－a)x－a]＝(x＋1)(2x－a)，
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①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；
②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，
x→0时，g(x)<0，
由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且
只有一个交点．
③当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
若<4，即00，
则要g(4)＝16＋4(2－a)－aln 2<0，则a>，
故a≥8，
综上，a的取值范围为(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞)．
5．(2023·济宁质检)已知函数f(x)＝acos x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切
线方程为y＝－x.
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
解 (1)因为f′(x)＝－asin x＋bex，
所以解得
(2)因为f(x)＝cos x－ex，x∈，
所以f′(x)＝－sin x－ex，设g(x)＝－sin x－ex，
g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)．
当x∈时，cos x≥0，ex>0，
所以g′(x)<0，
当x∈(0，＋∞)时，－1≤cos x≤1，ex>1，
所以g′(x)<0.
所以，当x∈时，g′(x)<0，g(x)即f′(x)单调递减．
因为f′(0)＝－1<0，f′＝－ ＝ － ，
因为 >e>2，所以 < ，
所以f′>0.
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所以∃x∈，使得f′(x)＝－sin x－ ＝0，即 ＝－sin x.
0 0 0 0
所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
0
所以f(x) ＝f(x)＝cos x－ ＝cos x＋sin x＝sin.
max 0 0 0 0
因为x∈，所以x＋∈，
0 0
所以sin∈，
所以f(x)∈(0,1)．
0
由题意知，c≥f(x)，所以整数c的最小值为1.
0
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