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第 5 节 古典概型、概率的基本性质
考试要求 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的
样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求
几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.
1.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称
古典概型.
(1)有限性：样本空间的样本点只有 有限 个 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中
的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 －
P ( B ) ；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为
∅⊆A Ω，所以0≤P(A)≤1.
⊆
性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
⊆
P(A∩B).
概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝
∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
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1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点
是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结
果是等可能事件.( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
(4)概率为0的事件一定是不可能事件.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个
事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个样本点，所以(2)不
正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.
2.(易错题)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人
参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加
活动的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 1～3天，第2～4
天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝＝.
3.(2022·九江一模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每
一“重卦”由从下到上排列的 6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴
爻“— —”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3
个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数 n＝26＝64，恰有3个阳爻的
样本点数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3个阳爻的
概率P＝＝.
4.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，
则取到的3点共线的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有C＝10种，其中取到的
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3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选
A.
5.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 法一 4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4
个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A种
排法，再将0A，0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝.
法二 将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排
法，其中将 4个1排成一行，把 2个0插空，即在 5个位置中选2个位置安排
0，共有C种排法.所以2个0不相邻的概率P＝＝.
6.(易错题)抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点
数是3的倍数”，则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
答案
解析 抛掷一枚骰子，样本空间出现的点数是{1，2，3，4，5，6}，
事件A∪B包括出现的点数是{1，3，5，6}这4个样本点，故P(A∪B)＝；
事件A∩B包括出现的点数是{3}这1个样本点，故P(A∩B)＝.
考点一 古典概型
例1 (1)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子
中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设5只兔子中测量过某项指标的 3只为a ，a ，a ，未测量过这项指标的
1 2 3
2只为b ，b ，则从5只兔子中随机取出 3只的所有可能情况为(a ，a ，a )，
1 2 1 2 3
(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，b ，b )，(a ，a ，
1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 1 1 2 2 3
b )，(a ，a ，b )，(a ，b ，b )，(a ，b ，b )，共10种可能.其中恰有2只测量
1 2 3 2 2 1 2 3 1 2
过该指标的情况为(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，
1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2
a ，b )，(a ，a ，b )，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为＝.
3 1 2 3 2
(2)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的
概率是________.
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答案
解析 从10件产品中取4件，共有C种取法，恰好取到1件次品的取法有CC
种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.
感悟提升 求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有
序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.
训练1 (1)(2022·济南质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，
2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出 2个球，那么至少有1个
红球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 一次随机取出 2个球，样本点总数为 C＝15，至少有1个红球包含的样
本点个数为CC＋C＝9，
所以至少有1个红球的概率P＝＝.
(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 两位男同学和两位女同学排成一列一共有 A＝24种方法，两位女同学相
邻的排法有AA＝12种，
∴两位女同学相邻的概率P＝＝.
考点二 概率基本性质的应用
例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共 200公里，遇到红灯个数的概率如表所
示：
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
解 (1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，
事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，
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则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，
即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D.
则P(D)＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.
感悟提升 复杂事件概率的求解方法
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此
互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对
立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
训练2 (1)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非
现金支付的概率为0.15，则只用非现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案 B
解析 只用非现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示
“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 法一 A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3
的情况，
所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(A∪B)＝＝.
法二 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝1－＝.
考点三 古典概型的综合应用
例3 某城市 100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，
200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频
率分布直方图如图.
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(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分
层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节
目，求参加节目的2户来自不同组的概率.
解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x
＝0.007 5，
所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5，
且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，
所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.002 0＋0.009
5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，
所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]内的用户分别有 0.007
5×20×100＝15(户)，
0.005×20×100＝10(户)，0.002 5×20×100＝5(户).
抽样方法为分层随机抽样，所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别
抽取3户、2户和1户.
设参加节目的2户来自不同组为事件A，则P(A)＝＝.
感悟提升 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概
率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等
给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为
互斥事件或对立事件的概率问题.
训练3 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续
教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.
某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，
从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，
B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现
从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 A B C D E F
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项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M
发生的概率.
解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样
的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，
(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，
F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点.
②由表格知，符合题意的样本空间为{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，
D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，所
以事件M发生的概率P(M)＝.
1.一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( )
A. B. C. D.0
答案 A
解析 列举出所有样本点，找出“只有1次正面”包含的结果.一枚硬币连掷2
次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现
正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.
2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同
学的概率为( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
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答案 D
解析 将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2
人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情
况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，
(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3
种，故P(A)＝＝0.3.
3.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个
球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 一个袋子中装有大小形状完全相同的 4个白球和3个黑球，从中一次摸
出3个球，
基本事件总数n＝C＝35，
摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数m＝CC＋CC＝22，
则摸出白球个数多于黑球个数的概率为
P＝＝.
4.(2022·广州模拟)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个
“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直
角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风
叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风
叶”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的样本点有 C＝28
个，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的样本点有4C＝12个，根据古典概型
的概率计算公式，可得所求概率P＝＝.
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5.(多选)下列是古典概型的是( )
A.从6名同学中，随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀地骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案 ABD
解析 ABD为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，
而C不适合等可能性，故不为古典概型.
6.(多选)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，
P(B)＝4a－5，则实数a的值可以是( )
A. B. C. D.
答案 CD
解析 由题意可知
即即
解得＜a≤.
7.(2022·武汉模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依
次走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________.
答案
解析 2位男同学记为男 ，男 ，则三位同学依次走出教室包含的样本点有：
1 2
男 男 女，男 女男 ，女男 男 ，男 男 女，男 女男 ，女男 男 ，共6种，
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
其中第2位走出的是女同学包含的样本点有2种.
故第2位走出的是女同学的概率是P＝＝.
8.2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，
《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片.甲、乙两
位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则
甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________.
答案
解析 甲观看了六部中的两部共有C＝15种，乙观看了六部中的一部共有C＝6
种，则甲、乙两人观影共有 15×6＝90种，则甲、乙两人观看同一部动画片共
有C·C＝2×5＝10种，所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为P＝＝.
9.现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或
计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是 0.6，故我们用0，1，
2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为
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一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为________.
答案 0.2
解析 表示“3例心脏手术全部成功”的有569，989，所以估计“3例心脏手术
全部成功”的概率为＝0.2.
10.空气质量指数(简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照
AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～
200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染.一环保人士记录了
某地2021年某月10天的数据为45，52，74，75，103，104，117，118，199，
215.
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有
30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI＞100)的这些天中，随机地抽取两天深入分
析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.
解 (1)从数据中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，
故该样本中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的概率为，从而
估计该月空气质量优良的天数为30×＝12.
(2)设抽取的两天的空气质量等级恰好不同为事件A，则P(A)＝＝，
所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.
11.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女
生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于
集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3人、女生中随机抽取3
人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不
少于2人的概率.
解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于 2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事
件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
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由互斥事件的概率加法公式，得 P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率
为.
12.若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x
＋y的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 C
解析 由题意知＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝2y时等
号成立.
13.(2022·杭州质检)某公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值
班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 该公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安
排2人，每人值班1天，基本事件总数n＝CCC，6位员工中甲不在1日值班包
含的基本事件个数m＝CCC，∴6位员工中甲不在1日值班的概率P＝＝＝.
14.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各
随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学
成绩的频率分布直方图.
注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
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(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取 5人，从这5人中任意
选取2人，求至少有一名男生的概率.
解 (1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数
为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为
30×＝2，女生人数为45×＝3.
则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，
则至少有一名男生有C－C＝7种.故至少有一名男生的概率为P＝，即选取的2
人中至少有一名男生的概率为.
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