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§8.11 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 (2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且k ＋k ＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的
OA OB
取值范围．
解 (1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，可得b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，k ＋k ＝0，不符合题意．
OA OB
故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以k ＋k ＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
OA OB
由k ＋k ＝－，可得m2＝4k＋1，
OA OB
所以k≥－，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，
综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等
量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取
值范围．
跟踪训练1 (2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y)到其焦点F的距离
0
为2.
(1)求实数p的值；
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(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l ，l ，且
1 2
l，l 的交点为Q，l，l 与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．
1 2 1 2
解 (1)因为点C(1，y)到其焦点F的距离为2，
0
由抛物线的定义知1＋＝2，
解得p＝2.
(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，
设A，B(y≠0，y≠0)，
1 2
设l：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y＋y＝4t，yy＝－4，
1 2 1 2
设l：y－y＝k，
1 1
联立方程组
消去x，整理得ky2－4y＋4y－ky＝0，
1
所以Δ＝16－4k(4y－ky)
1
＝4(4－4ky＋k2y)＝0，
1
所以k＝，
则l：y－y＝，
1 1
即y＝x＋，
令x＝0，得M，
同理l：y＝x＋，N，
2
联立
得交点Q的横坐标为x ＝＝－1，
Q
∴S ＝|MN|·|x |＝×1＝＝≥1，
△QMN Q
∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．
题型二 最值问题
例2 (2022·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，
直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
解 (1)由题设可知
解得
则C：－y2＝1.
(2)设点M的横坐标为x >0，
M
当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，
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易知点M到y轴的距离为x ＝2；
M
当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋m，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，
则x＋x＝－＝－＝－，则x ＝＝－>0，
1 2 M
即km<0，
则x＝＝4＋>4，
即x >2，
M
此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述，点M到y轴的最小距离为2.
思维升华 圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这
个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性
法等.
跟踪训练2 (2023·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离
1 2
心率为，直线x＝被C截得的线段长为.
(1)求C的方程；
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2＝λBF1，求四边形ABFF 面积的最大值．
1 2
解 (1)∵e＝＝，
∴＝，∴c2＝a2，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，
由⇒y＝±，
由题可知2＝，解得a2＝3，
∴C：＋y2＝1.
(2)由AF2＝λBF1，
得AF∥BF，如图，
2 1
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延长BF ，AF 交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，
1 2
且四边形ABFF 的面积为四边形ABCD的面积的一半．
1 2
由题知，BF 的斜率不为零，
1
故设BF 的方程为x＝my－，
1
联立
得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
∵Δ>0，
∴y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
故|BC|＝·|y－y|＝，
1 2
O到BF 的距离d＝，
1
＝S ＝×4S
四边形ABCD △OBC
＝2××|BC|·d＝|BC|·d
＝·
＝2·＝2·
＝2·≤2×＝，
当且仅当＝，即m＝±1时取等号，
∴当m＝±1时，四边形ABFF 的面积最大，最大值为.
1 2
课时精练
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|
BN|，求实数m的取值范围．
解 (1)∵a＝1，＝2，
∴c＝2，b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.
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(2)设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
线段MN的中点Q(x，y)，
0 0
联立得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意
即①
由根与系数的关系可得x＋x＝，
1 2
x·x＝－，
1 2
则x＝＝，
0
y＝kx＋m＝，
0 0
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴k ＝＝＝－，
BQ
∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m>0，③
由①②③得m<－或0b>0)的离心率为，且经过点P(，
1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k ，直线OB的斜率为k ，且k k ＝
1 2 1 2
－，求OA·OB的取值范围．
解 (1)由题意可得
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，
联立
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，
则又kk＝＝－，
1 2
故yy＝－xx 且xx≠0，即3t2－9≠0，则t2≠3，又y＝kx＋t，y＝kx＋t，
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
所以＝＝k2＋＝k2＋
＝＝－，
整理得2t2＝9k2＋3≥3，则t2≥且Δ>0恒成立．
OA·OB＝xx＋yy＝xx－xx＝xx＝·＝3·＝3，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
又t2≥，且t2≠3，故3∈[－3,0)∪(0,3)．
当直线l的斜率不存在时，x ＝x ，y ＝－y ，则kk ＝－＝－，又＋＝1，解得x＝，则
2 1 2 1 1 2
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OA·OB＝x－y＝x＝3.
综上，OA·OB的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．
3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且
△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，
分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)由题意可得
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2 3 3
易知x＝ty ＋1>0，x＝ty ＋1>0，
1 1 2 2
联立
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y＋y＝4t，yy＝－4.
1 2 1 2
由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y＝－t(x－x)，
1 1
联立消去x得ty2＋4y－4tx －4y＝0.
1 1
所以y＋y＝－，yy＝.
1 3 1 3
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty ＋2|
1
＝·(ty ＋2)．
1
同理可得|BD|＝·(ty ＋2)，
2
所以|AC|＋|BD|＝·[t(y＋y)＋4]＝(t2＋1)＝8，
1 2
令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.
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4．已知椭圆的两个焦点是F(0，－2)，F(0,2)，点P(，2)在椭圆上．
1 2
(1)求此椭圆的方程；
(2)过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的
2
取值范围．
解 (1)由题意知，c＝2，
因为焦点在y轴，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
将点P的坐标代入上式得＋＝1，
联立方程
解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图，当过F 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，
2
则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为y＝－x＋2，
设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2 3 3 4 4
联立直线AB与椭圆方程
得x2＋kx－＝0，
由根与系数的关系得x＋x＝－，x·x＝－，
1 2 1 2
线段AB的长为|AB|＝|x －x|＝×＝4×，同理联立直线CD与椭圆方程得到|CD|＝×|x －x|＝
1 2 3 4
4×，
因为AB⊥CD，
所以四边形ACBD的面积
S＝|AB|·|CD|＝16×
＝8×，
令f(k)＝·，t＝，
则有0
