文档内容
§8.7 离心率的范围问题
重点解读 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的
转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2023·德阳模拟)已知F ，F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，
1 2
∠FPF＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为( )
1 2
A．2 B．1 C. D．2
答案 C
解析 不妨设|PF|＝m，|PF|＝n(m>n)．
1 2
椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a，两曲线的半焦距均为c，
1 2
由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a，m－n＝2a，于是m＝a＋a，n＝a－a，
1 2 1 2 1 2
又在△PFF 中，由余弦定理得
1 2
m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒(a＋a)2＋(a－a)2－(a＋a)(a－a)＝4c2，
1 2 1 2 1 2 1 2
则a＋3a＝4c2，得＋＝4，
由基本不等式得4＝＋≥2⇒ee≥，当且仅当e＝，e＝时，等号成立，
1 2 1 2
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为.
(2)(2023·襄阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为
(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取
值范围为__________．
答案
解析 由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，可得|AF|＝＝5.
因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13.
设F 为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF|＋2a，
2 2
故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF|＋2a，
2
当A，P，F 三点共线时，|PA|＋|PF|＋2a取最小值，最小值为|AF|＋2a，即5＋2a，
2 2 2
所以5＋2a≥13，即a≥4.
因为c＝2，所以e＝＝≤.
又e>1，所以e∈.
思维升华 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关
于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
跟踪训练1 (2023·宁波模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F(－c,0)，
1
F(c,0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF F 的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取
2 1 2值范围是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 △MF F 的面积为|FF|·|y |，
1 2 1 2 M
因为△MF F 的内切圆半径为，
1 2
所以△MF F 的面积可表示为(2a＋2c)·，
1 2
所以·2c·|y |＝(2a＋2c)·，
M
解得|y |＝，
M
因为|y |≤b，所以≤b，
M
两边平方得2≤b2，
又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，
因为e＝，不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆C上，若离心率e
1 2
＝，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B.
C. D.
答案 D
解析 因为e＝，所以|PF|＝e|PF|，
1 2
由椭圆的定义得|PF|＋|PF|＝2a，
1 2
解得|PF|＝，
2因为a－c≤|PF|≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，
2
两边同除以a得1－e≤≤1＋e，
解得e≥－1，
因为00，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过
点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的
离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
答案 B
解析 由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形，
∵△ABE是锐角三角形，
∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°，
将x＝－c代入－＝1，可得y＝±，
故在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，
∵∠AEF<45°，
∴|AF|<|FE|，∴0，
∴e2－e－2<0，∴－11，∴1b>0)的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满
足FA⊥FB，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．(0,1) B.
C. D.
答案 C
解析 设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，如图所示．由椭圆的性质得，AF′∥BF，∠FAF′＝，
即椭圆上存在点A，满足∠FAF′＝，即以FF′为直径的圆与椭圆有公共点．
设椭圆C的半焦距为c(c>0)，
所以只需c≥b，即c2≥a2－c2，即e2≥，
又0b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段
1 2
PF 的中垂线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
1 2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，因为线段PF 的中垂线过F，
1 2
∴|FF|＝|PF|＝2c，
1 2 2
又|QF|＝－c，且|PF|≥|QF|，
2 2 2
故2c≥－c，即3c2≥a2，故e2≥，
又00，b>0)的左、右支
分别交于A，B两点，F是C的焦点，若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值范
围是( )
A．(1，) B．(，7)
C．(2,7) D．(2，)
答案 D
解析 不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程为y＝x，由得x＝±，且b2>3a2，
所以y ＝－，y ＝，
A B
因为S ＝·|OF|·|y －y |＝·c·＝，
△ABF B A
且S >＝ac，
△ABF
所以>ac，所以>，
解得03a2，解得e>2，所以2b>0)，
由题意得A(a,0)，B(0，b)，B(0，－b)，F(c,0)，
2 1 2 2
则B2A2＝(a，b)，F2B1＝(－c，b)．
因为∠BPA 为向量B2A2与F2B1的夹角，
1 2
且∠BPA 为钝角，
1 2
所以B2A2·F2B1<0，所以b2－ac<0.
又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，
两边同时除以a2得1－e－e2<0，
解得e<或e>，
因为e∈(0,1)，所以b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，椭圆上存在点A，使得∠FAF ＝，
1 2 1 2
则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠FAF ＝，则只需∠FBF≥即
1 2 1 2
可．
当∠FBF＝时，△FBF 为正三角形，此时a＝2c，故当∠FBF≥时，a≤2c，即≤.
1 2 1 2 1 2
又0b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上
1 2
的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q点．若四边形QPF F 为平行四边形，则椭圆C
1 2
的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设P(x，y)，则Q，
0 0
∵四边形QPF F 为平行四边形，
1 2
∴|PQ|＝|FF|，∴－x＝2c，
1 2 0
即x＝－2c＝∈(－a，a)，
0
∴－1<<1，
∴－1<2－e2－2e<1，
解得－10)与双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)，若在双曲线
1 2
C 上存在一点P，使得过点P所作的圆C 的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝，则双曲
2 1
线C 的离心率的最小值为( )
2
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图所示，△POA≌△POB，|OB|＝|OA|＝b，∠APB＝，∴∠OPB＝，
又OB⊥BP，∴|OP|＝2b，又|OP|≥a，故2b≥a，
即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，∴e≥.
4．(2023·承德模拟)已知过点P(1,2)可作双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切
点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(，＋∞) B．(1，)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案 B
解析 要满足题意，点P(1,2)必须在渐近线y＝x与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y
轴上．所以必须满足<2，
所以e＝＝＝<，
又e>1，所以12，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a,0)，B(0，b)，点
(2,0)到直线AB的距离为d ，点(－2,0)到直线AB的距离为d ，且d ＋d≥c，则双曲线离心
1 2 1 2
率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依题意得直线AB：＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，又a>2，
所以d＝＝，
1
d＝＝，
2
所以d＋d＝＋＝≥c，
1 2
所以5·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4，
即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，
又e>1，所以e∈.
6．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，A为其右顶点，P为双曲
1 2
线右支上一点，直线PF 与y轴交于Q点．若AQ∥PF ，则双曲线E的离心率的取值范围为
1 2
( )
A．(，＋∞) B．[＋1，＋∞)
C．(＋1，＋∞) D．(，＋1]
答案 C
解析 如图所示，根据题意可得F(－c,0)，F(c,0)，A(a,0)，
1 2设P(x，y)，则直线PF 的方程为y＝(x＋c)，
1 1 1
所以直线PF 与y轴的交点Q，
1
由AQ∥PF 可得k ＝ ，即＝，
2 AQ
整理得(a＋c)x＝c2－ac，即x＝，
1 1
又因为P为双曲线右支上一点，所以x≥a，
1
当x＝a时，AQ，PF 共线，与题意不符，即x>a，
1 2 1
可得x＝>a，
1
整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0，
解得e>＋1或e<1－(舍去)，
即双曲线E的离心率的取值范围为(＋1，＋∞)．
二、多项选择题
7．(2023·西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B，F为椭
圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率可能是( )
A. B. C. D.
答案 AD
解析 由题意，A关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，设左焦点为F，如图所示，
1
∵AF⊥BF，∴四边形AFBF为矩形，∴|AB|＝|FF|＝2c.
1 1
∵∠ABF＝α，
∴|AF|＝2csin α，|BF|＝|AF|＝2ccos α，
1
由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α，
∴e＝＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，∴e∈.
8．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，
以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则( )
A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点
B．双曲线C的离心率的最大值是C．若FA·FB>0，则双曲线C的离心率的取值范围是
D．若OA＝AB，则双曲线C的离心率为
答案 ACD
解析 对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切
的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确；
对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，因为圆F与直线l相交，所以b1，所以双曲线C的离心率的取值范围是(1，)，故选
项B错误；
对于C，若FA·FB>0，则0<∠AFB<，
故0<∠AFD<，故0，b>0)的右顶点为A，点B(3a,0)．若在双曲线E的渐近线上存
在点P，使得PA·PB＝0，则双曲线E的离心率的取值范围是________．
答案
解析 由题意得双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，渐近线方程为y＝±x，即
bx±ay＝0，PA·PB＝0，即PA⊥PB，
∴点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点，圆心为AB中点(2a,0)，半径为r＝a，
依题意，渐近线与该圆有公共点，
故≤a，即3b2≤a2，
即3(c2－a2)≤a2，即3c2≤4a2，∴1b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，
线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且|OM|2＝|OP||OQ|，若直线BQ与圆x2＋
y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围为________．答案
解析 设直线OP的方程为y＝x，
由解得
即点M，
设点Q(λa，λb)，其中λ∈，
由|OM|2＝|OP||OQ|得
＝·λ，
解得λ＝，故Q，
则直线BQ的方程为bx＋ay－ab＝0，
由直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，
得<，
故a4－b4－a2b2>0，即b4
