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期末复习易错题（26 个考点 60 题）
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．已知|a﹣2007|+❑√a−2008=a，则a﹣20072的值是 ．
二．二次根式的性质与化简（共4小题）
√ 1
2．把x❑− 根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
x
A．❑√x B．❑√−x C．−❑√−x D．−❑√x
3．若2＜a＜3，则 等于（ ）
❑√a2−4a+4−❑√(a−3) 2
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
4 ． 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 化 简 ：
的结果是（ ）
❑√(a+1) 2+|a−b|+2❑√(1−b) 2−|a+b|
A．2a﹣b+1 B．a﹣2b+1 C．﹣a+2b﹣1 D．2a+b﹣1
5．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的
性质化去一层根号．
例如： ❑√3+2❑√2=❑√3+2×1×❑√2=❑√12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√ (1+❑√2) 2= |1 +❑√2 |＝1
+❑√2．
解决问题：
化简下列各式：
（1）❑√7+4❑√3；
（2）❑√9−4❑√5．
三．二次根式的乘除法（共1小题）
1
6．计算：3÷❑√3× 的结果为 ．
❑√3
四．分母有理化（共2小题）1 1
7．已知：a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
2−❑√3 2+❑√3
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
8．阅读下列材料，然后回答问题：
5 2
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以
❑√3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
将其进一步化简： = = ❑√3；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
2
=
2×(❑√3−1)
=
2(❑√3−1)
=❑√3−1 ．以上这种化简过程叫做分母有理化．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1
2
还 可 以 用 以 下 方 法 化 简 ：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1) ．
= = = =❑√3−1
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
4
（1）请用其中一种方法化简 ；
❑√15−❑√11
2 2 2 2
（2）化简： + + +⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√99+❑√97
五．二次根式的加减法（共2小题）
1 1
9．（易错题）已知x+ =❑√6，则x− 的值是（ ）
x x
A．❑√2 B．−❑√2 C．±❑√2 D．不能确定
√ y √ x
10．已知xy＝3，那么x❑ + y❑ 的值是 ．
x y
六．二次根式的化简求值（共1小题）
11．如果f（x）
=
x2 并且f（
❑√1
）表示当x
=❑√1
时的值，即f（
❑√1
）
=
(❑√1) 2
=
1，f
1+x2 1+(❑√1) 2 22
√1
(❑ )
（√1）表示当x √1时的值，即f（√1） 2 1，那么f（ ）+f（ ）+f
❑ =❑ ❑ = = ❑√1 ❑√2
2 2 2 √1 2 3
1+(❑ )
2
（√1）+f（ ） √1 √1 的值是（ ）
❑ ❑√3 +f(❑ )+⋯+f(❑√n)+f(❑ )
2 3 n
1 3 5 1
A．n− B．n− C．n− D．n+
2 2 2 2
七．函数自变量的取值范围（共1小题）
❑√x−1
12．函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
八．函数的图象（共3小题）
13．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄
傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟
已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S 、S 分别表示乌龟和兔子赛跑的
1 2
路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
14．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度 h随时间t的
变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（
）A． B． C． D．
15．快车与慢车分别从甲乙两地同时出发，匀速而行，快车到达乙地后停留 1h，然后按原
路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用
的时x（h）的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为 km；快车的速度为 km/h；慢车
的速度为 km/h；
（2）出发 h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发 h相距150km．
九．动点问题的函数图象（共1小题）
16．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处
停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所
示，则矩形MNPQ的面积是 ．
一十．一次函数的图象（共1小题）2
17．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y= x−a的图象大致是（ ）
3
A． B． C． D．
一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
1
18．已知点（﹣4，y ），（2，y ）都在直线y=− x+2上，则y ，y 大小关系是（ ）
1 2 1 2
2
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．不能比较
1 2 1 2 1 2
一十二．一次函数与一元一次不等式（共3小题）
19．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可
得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（ ）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
20．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x
的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2
21．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是
．一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
22．如图，一次函数 y＝k x+b 的图象 l 与 y＝k x+b 的图象 l 相交于点 P，则方程组
1 1 1 2 2 2
{y=k
1
x+b
1 )的解是（ ）
y=k x+b
2 2
{x=−2) { x=3 ) {x=2) {x=−2)
A． B． C． D．
y=3 y=−2 y=3 y=−3
一十四．一次函数的应用（共9小题）
23．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l 和l 分别表示甲、乙两
1 2
人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．424．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）
之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
25．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴
2
于点 C（﹣1，0），若光线 AB 满足的函数关系式为： y=− x+b，则 b 的值是
3
（ ）
3 2
A．2 B． C． D．1
2 3
26．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由
线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果
可节省 元．27．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶 A、B
两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15
辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和
8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地
A村（元/辆） B村（元/辆）
车型
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，
前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货
车调配方案，并求出最少费用．
28．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共 23层，销售价格如下：第八
层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，
楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠
方案更加合算．29．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放
入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的
所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x大 ，求y与x大 的函数关系式（不必写出x大 的范围）；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小
①求y与x小 的函数关系式（不必写出x小 范围）；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
30．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，
用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的
售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数
量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜
20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最
大的进货方案．31．综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节
扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的
长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分
与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材1
对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是
x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据：
双层部分 2 6 10 14 a
长度x
（cm）
素材2
单层部分 116 108 100 92 70
长度y
（cm）
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3
小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包
的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地
面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩
1
宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的 ．
8
素材4
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，
以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，
任务1 根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果
是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取
值范围．设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长
任务2 度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长
度x之间的函数表达式．
当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度
任务3
时．求此时双层部分的长度．
一十五．一次函数综合题（共4小题）
32．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C
1
（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y=− x+b过点C．
2
（1）求m和b的值；
1
（2）直线y=− x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴
2
负方向运动．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请
说明理由．
3
33．已知：如图，一次函数y= x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x
4轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，
E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
（1）直线 CD 的函数表达式为 ；点 D 的坐标
；（直接写出结果）
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上
方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1
34．如图，直线y=− x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l
2
与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．
（1）求OC的长；
（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出
所有满足条件的点P的坐标．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点G是直线BC上一动点，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线y＝2x+6
1
交于点H，且满足GH= GM，求点G的横坐标；
2
（3）若点G是线段BC上一动点，点N在x轴上，且满足∠OGN＝45°，OG＝GN，直
接写出点G和点N的坐标．
一十六．等腰三角形的性质（共1小题）
36．已知实数x，y满足|x−4|+❑√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周
长是 ．
一十七．勾股定理（共6小题）
1
37．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧（弧所在
2
圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，
E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．638．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S 、S 、S 、S 的关系为（ ）
1 2 3 4
A．S +S +S ＝S B．S +S ＝S +S
1 2 3 4 1 2 3 4
C．S +S ＝S +S D．不能确定
1 3 2 4
39．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，
△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（ ）
1
A． B．1 C．❑√2 D．❑√3
2
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形
CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正
方形AHIB的面积分别为S
1
，S
2
，若S
1
＝4，S
2
＝7，则S△ACP ：S△BCP 等于（ ）
A．2：❑√3 B．4：3 C．❑√7：❑√3 D．7：4
41．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若 S ＝30，S ＝40，则S ＝
1 2 3
．42．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两
个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿
B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s．
（1）出发2s后，求MN的长；
（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？
（3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．
一十八．勾股定理的证明（共3小题）
43．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个
全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长
分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（
）
A．12 B．13 C．14 D．15
44．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH
都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的
长为（ ）A．4 B．1+❑√2 C．1+❑√5 D．❑√3
45．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正
方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S 、S 、S ．若S +S +S ＝
1 2 3 1 2 3
60，则S 的值是（ ）
2
A．12 B．15 C．20 D．30
一十九．勾股定理的逆定理（共1小题）
46．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三
角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则
点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求
BN的长．
二十．三角形中位线定理（共2小题）47．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接
AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
48．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝
6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（ ）
A．28 B．32 C．18 D．25
二十一．平行四边形的判定与性质（共1小题）
49．如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点
A向点D运▱动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．
两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．
当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四
边形是平行四边形．
二十二．菱形的性质（共1小题）
50．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，
则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．3❑√3 B．3+3❑√3 C．6+❑√3 D．6❑√3
二十三．菱形的判定与性质（共1小题）51．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交
CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
二十四．矩形的性质（共3小题）
52．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，
交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
48 32 24 12
A． B． C． D．
5 5 5 5
53．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三
角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M
（2，0），在边 AB 存在点 P，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点 P 的坐标为
（ ）
A．（3，1）或（3，3）
1
B．（3， ）或（3，3）
2
1
C．（3， ）或（3，1）
21
D．（3， ）或（3，1）或（3，3）
2
54．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与
△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
二十五．矩形的判定（共1小题）
55．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
二十六．正方形的性质（共5小题）
56．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A ，A ，…，A 分别是正方
1 2 n
形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）1 n−1 n 1
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．（ ）ncm2
4 4 4 4
57．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，
连接 AE，AF，AM 平分∠EAF 交 CD 于点 M．若 BE＝DF＝1，则 DM 的长度为
（ ）
12
A．2 B．❑√5 C．❑√6 D．
5
58．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B．❑√2 C．❑√3 D．2
59．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交
BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．60．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC
上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．
（1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN；
（2）如图2，若E点不与O点重合：
①EM还等于EN吗？说明理由；
②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由．
