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§8.12 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为，过F 的直线与椭圆交于M，N
1 1
两点，当MN⊥x轴时，|MN|＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点H(0，－1)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直
线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围．
解 (1)当MN⊥x轴时，设F(－c,0)，M(－c，m)，
1
则c2＝a2－b2，＋＝1，即m2＝，
又|MN|＝3，即＝3，
又＝，得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线PQ的斜率一定存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx－1(k≠0)，
P(x，y)，Q(x，y)，F(－x，y)，
1 1 2 2 1 1
联立整理得(3＋4k2)x2－8kx－8＝0，
Δ＝64k2＋32(3＋4k2)＝192k2＋96>0，
则x＋x＝，xx＝－，
1 2 1 2
直线FQ的方程y－y＝(x＋x)，设G(0，y )，
1 1 G
则y －y＝·x，y ＝＋kx－1＝－1＝－3，
G 1 1 G 1
S ＝＝|x－x|＝＝＝.
△PQG 1 2
令2k2＋1＝t，t∈(1，＋∞)，
则S ＝4×＝4×，t∈(1，＋∞)，
△PQG
由于4t＋＋4∈(9，＋∞)，∈，
所以∈，
则4×∈，
所以△PQG面积的取值范围为.
思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等
量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取
值范围．
跟踪训练1 (2024·佛山模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右
焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形．
(1)求双曲线C的方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k ，k ，若kk ＝－2，求点A
1 2 1 2
到直线MN的距离d的取值范围．
解 (1)依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，
得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(a＝－2<0舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)显然直线MN不可能与x轴平行，
故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立消去x整理得
(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在条件下，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝－，yy＝，
1 2 1 2
由kk＝－2，得yy＋2(x＋1)(x＋1)＝0，
1 2 1 2 1 2
即yy＋2(my＋n＋1)(my＋n＋1)＝0，
1 2 1 2
整理得(2m2＋1)yy＋2m(n＋1)(y＋y)＋2(n＋1)2＝0，
1 2 1 2
代入根与系数的关系得，3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化简得n2－4n－5＝0，
解得n＝5或n＝－1(舍去)，
则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝，
又M，N都在双曲线的右支上，且kk＝－2，
1 2
故yy＝＝<0，
1 2
即3m2－1<0,0≤m2<，
此时1≤<，d＝∈(3，6]，
所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6]．
题型二 最值问题
例2 (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，FM·FN＝0，求△MFN面积的最小值．
解 (1)设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
由可得y2－4py＋2p＝0，
所以y ＋y ＝4p，y y ＝2p，
A B A B
所以|AB|＝×＝4，
即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)．
(2)由(1)知y2＝4x，
所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my＋n，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由可得y2－4my－4n＝0，
所以y＋y＝4m，yy＝－4n，
1 2 1 2
Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，
由题意得FM·FN＝0，
FM＝(x－1，y)，FN＝(x－1，y)，
1 1 2 2
所以(x－1)(x－1)＋yy＝0，
1 2 1 2
即(my＋n－1)(my＋n－1)＋yy＝0，
1 2 1 2
即(m2＋1)yy＋m(n－1)(y＋y)＋(n－1)2＝0，
1 2 1 2
将y＋y＝4m，yy＝－4n代入得，
1 2 1 2
4m2＝n2－6n＋1，
所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，
解得n≥3＋2或n≤3－2.
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，
|MN|＝
＝
＝
＝2|n－1|，
所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝×2|n－1|×＝(n－1)2，
而n≥3＋2或n≤3－2，
所以当n＝3－2时，△MFN的面积最小，为S ＝(2－2)2＝12－8＝4(3－2)．
min
思维升华 圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这
个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性
法等．
跟踪训练2 (2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E
上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，
分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)由题意可得
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2 3 3
易知x＝ty ＋1>0，x＝ty ＋1>0，
1 1 2 2
联立
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y＋y＝4t，yy＝－4.
1 2 1 2
由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y＝－t(x－x)，
1 1
联立消去x得ty2＋4y－4tx －4y＝0.
1 1
所以y＋y＝－，yy＝.
1 3 1 3
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty ＋2|
1
＝·(ty ＋2)．
1
同理可得|BD|＝·(ty ＋2)，
2
所以|AC|＋|BD|＝·[t(y＋y)＋4]＝(t2＋1)＝8，
1 2
令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|取得最小值为12.课时精练
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a,2)在抛物线C上．
(1)若|MF|＝6，求抛物线C的标准方程；
(2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点
O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围．
解 (1)由题意及抛物线的定义得a＋＝6，
又因为点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa，
由可得或
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝20x.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立消去y可得x2－2(p＋t)x＋t2＝0，
则x＋x＝2p＋2t，xx＝t2，
1 2 1 2
因为NA⊥NB，
所以NA·NB＝(x－1)(x－1)＋yy
1 2 1 2
＝(x－1)(x－1)＋(t－x)(t－x)
1 2 1 2
＝2xx－(t＋1)(x＋x)＋t2＋1＝0，
1 2 1 2
所以2t2－(t＋1)(2p＋2t)＋t2＋1＝0，
可得2p＝，
由原点O到直线AB的距离不小于，
可得≥，
解得t≥2或t≤－2，
因为p>0，所以t≤－2不成立，所以t≥2，
因为2p＝＝t＋1＋－4，且函数y＝t＋1＋－4在[2，＋∞)上单调递增，
所以2p≥＝，所以p≥，
即p的取值范围为.
2．(2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且k ＋k ＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的
OA OB
取值范围．
解 (1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点坐标为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，可得b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k ＋k ＝0，不符合题意．
OA OB
故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以k ＋k ＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
OA OB
因为k ＋k ＝－，可得m2＝4k＋1，所以k≥－，
OA OB
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，
综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
3．(2024·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为
F，离心率为2，且过点P(2,3)．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线l 在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l
1 2
在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边
形ABCD面积的最小值．
解 (1)由双曲线E的离心率为2，得＝2.①
因为双曲线E过点P(2,3)，所以－＝1.②
又c2＝a2＋b2，③
联立①②③式，解得a＝1，b＝.
故双曲线E的标准方程为x2－＝1.
(2)由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以S ＝4S .
四边形ABCD △OAD
由题意知直线AD的斜率不为零且过右焦点F(2,0)，
设直线AD的方程为x＝my＋2.
联立消去x，
得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0.
Δ＝36(m2＋1)>0，设A(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
因为A，D均在双曲线右支上，
所以所以
解得0≤m2<.
所以S ＝×|OF|×|y－y|
△OAD 1 2
＝
＝
＝.
令＝t，则m2＝t2－1.
所以S ＝＝.
△OAD
令函数f(t)＝－3t，
易得f(t)在区间上单调递减，
所以当t＝1时，(S ) ＝6.
△OAD min
所以四边形ABCD面积的最小值为24.
4．(2023·衡阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A(－1,0)，渐近线方程为y
＝±x.直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为－2.
(1)证明：直线l过定点；
(2)若在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR的斜率的最大值．
(1)证明 由题知a＝1，b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1，
显然直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋m，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，
且x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
设直线AP，AQ的斜率分别为k，k，
1 2
则k＝，k＝，
1 2
故k＋k＝＋＝，
1 2
又xy＋xy＝x(kx＋m)＋x(kx＋m)
1 2 2 1 1 2 2 1
＝2kxx＋m(x＋x)＝，
1 2 1 2
y＋y＝k(x＋x)＋2m＝＋2m＝，
1 2 1 2
∴k＋k＝
1 2
＝＝＝－2，∴(m－k)(m－k－2)＝0，
∵PQ不过点A，∴m－k≠0，∴m＝k＋2，
∴y＝k(x＋1)＋2，∴直线l过定点(－1,2)．
(2)解 由题意可设直线PR：y＝t(x＋1)＋r(r≠0)，直线AP的斜率为k ，直线AQ的斜率为
1
k.
2
由得P.
由得P.
故|AP|2＝，
同理|AQ|·|AR|＝.
由∠APQ＝∠ARP可知，|AP|2＝|AQ|·|AR|，
即＝.
∵k≠k，k＋k＝－2，
1 2 1 2
化简得t＝－≤－.
当时取等号，
∴直线PR的斜率的最大值为－.
