文档内容
§8.8 直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长
公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与
圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．( √ )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．( × )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( √ )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ )
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A. B．－
C．± D．±
答案 C
解析 由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．16答案 C
解析 联立消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝6，xx＝1，
1 2 1 2
所以|AB|＝＝×＝8.
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率
为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴－＝1，－＝1，
两式相减得＝，
∵M(3,2)是线段AB的中点，
∴x＋x＝6，y＋y＝4，
1 2 1 2
∴＝，
∴k ＝＝.
AB
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交
点有( )
A．1个 B．至多1个
C．2个 D．0个
答案 C
解析 因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，
所以>3，即m2＋n2<9，
所以＋≤＋<1，
即点(m，n)在椭圆＋＝1内，
所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(
)A．1 B. C. D.
答案 BC
解析 双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，
故有≤1.
即＝＝e2－1≤1，
所以e2≤2，所以10，
由得y2－4my＋4＝0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即y ＝2，
B
∴△OAB的面积为×1×2＝1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与
双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
答案 (1,2)
解析 ∵直线l的斜率k＝tan 60°＝，
l
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则<，
∴e＝＝<2，故1b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率
为.(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点
共线的充要条件是|MN|＝.
(1)解 由题意得，
椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝·
＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，
即kx－y＋m＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦
点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
解 (1)由得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F(－1,0)，B(2,0)，
1
设直线l的方程为x＝my－1，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
即y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
又S ＝|BF|·|y|＋|BF|·|y|
△BMN 1 1 1 2
＝|BF|·|y－y|
1 1 2
＝|BF|·
1
＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
题型三 中点弦问题
例3 (2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，
1 2
短轴顶点分别为M，N，四边形MF NF 的面积为32.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
解 (1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF NF 的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4，
1 2
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意得，直线l的斜率存在．
设A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
两式相减得＋＝0，
所以＝－·.
因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
思维升华 (1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ，y)，B(x ，y)，将这两点坐标
1 1 2 2
分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 AB的中点和直线AB斜率有
关的式子，可以大大减少计算量．
(2)点差法常用结论
已知A(x ，y )，B(x ，y )为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x ，y )，直线AB的斜率
1 1 2 2 0 0
为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
跟踪训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，相
交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则＝1，＝3，＝1，
由
两式相减可得－＝0，
则－＝0，即a2＝3b2，则a＝b，则＝，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x
－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
答案 A
解析 因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，
所以y2＝2x.设点P(x，y)，Q(x，y)．
1 1 2 2
则
则(y－y)(y＋y)＝2(x－x)，
1 2 1 2 1 2
∴k ＝，
PQ又∵P，Q关于直线l对称，
∴k ＝－1，即y＋y＝－2，
PQ 1 2
∴PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．
课时精练
1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
答案 C
解析 由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线l过定点(0，－1)，
因为＋<1，所以该点在椭圆C：＋＝1内部．
所以直线l与椭圆C相交．
2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|
AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，
则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，
代入抛物线方程可解得p＝1.
3．已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支
交于不同的两点，则实数k的取值范围是( )
A．(－，) B．[1，)
C．[－，] D．(1，)
答案 D
解析 联立
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，
所以
解得10，
此时直线l与椭圆有2个交点，此时有2个P点，
所以共有3个P点．
5．(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x ，y)，B(x ，y)两点，O为坐标
1 1 2 2
原点，直线OA，OB的斜率分别记为k，k，则( )
1 2
A．yy 为定值
1 2
B．kk 为定值
1 2
C．y＋y 为定值
1 2
D．k＋k＋t为定值
1 2
答案 ABD
解析 由得y2－4ty－16＝0，
则
对于A，yy＝－16为定值，故A正确；
1 2
对于B，kk＝＝＝＝－1为定值，故B正确；
1 2
对于C，y＋y＝4t，不为定值，故C错误；
1 2
对于D，k＋k＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确．
1 2
6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，其中|FF|＝2c.直线l：y
1 2 1 2
＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是( )A．△ABF 的周长为4a
2
B．若AB的中点为M，则k ·k＝
OM
C．若AF1·AF2＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝
答案 AC
解析 由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F.
1
所以△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AF|＋|BF|＋|AF|＋|BF|＝4a，
2 2 2 1 1 2 2
所以A正确；
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则M，
k ＝，k＝，
OM
所以k ·k＝·＝，
OM
由
①－②得＋＝0，
所以＝－，
则k ·k＝＝－，所以B错误；
OM
AF1＝(－c－x，－y)，AF2＝(c－x，－y)，
1 1 1 1
所以AF1·AF2＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，
则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
可得e＝∈，
所以C正确；
因为过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解
得a＝2c，
所以e＝＝，所以D错误．
7．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，斜率为的直线l过左焦点F 且交C
1 2 1
于A，B两点，且△ABF 内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为，则|AB|＝________.
2
答案 4
解析 如图所示，由椭圆定义可得|AF|＋|AF|＝2a，|BF|＋|BF|＝2a ，
1 2 1 2
则△ABF 的周长为4a，设A(x，y)，B(x，y)，
2 1 1 2 2
△ABF 内切圆的半径为r，
2
又△ABF 内切圆的周长是2π，
2故2π＝2πr，则r＝1，
由题意得×4a×r＝×2c×|y－y|，
1 2
得|y－y|＝＝＝4，
1 2
所以|AB|＝|y－y|＝4.
1 2
8．(2023·保定模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C交
于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．
答案 5
解析 设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＝2px，y＝2px，
1 2
两式相减得y－y＝2px－2px，
1 2
即(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)，
1 2 1 2 1 2
因为M，N两点在斜率为的直线l上，
所以＝，
所以由(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)得(y＋y)＝2p，
1 2 1 2 1 2 1 2
因为线段MN中点的纵坐标为，
所以y＋y＝2，
1 2
则×2＝2p，p＝5，
所以F到C的准线的距离为5.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为，长轴长为4.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取
值范围．
(1)解 因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为
y＝k，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有k ＝＝－，
AB
AB中点的坐标为(x，y)，
0 0
则
两式相减得3(x＋x)(x－x)＝－4(y＋y)(y－y)，即3kx＝4y，
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
又y＝k，
0
解得x＝1，y＝，
0 0因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以＋<1，即＋<1，
解得－20，b>0)的两个焦点分别为F(－2,0)，F(2,0)，点P(5，)在双曲
1 2
线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面
积为2，求直线l的方程．
解 (1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0b>0)，则在椭圆上一
点A(x ，y)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C ：＋y2＝1，O为坐
0 0 1
标原点，点B为C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的切线l，l分别与x轴和y轴的正
1 1半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
答案 C
解析 设B(x，y)，(x>0，y>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋yy＝1，
1 1 1 1 1
令y＝0，可得C，
令x＝0，可得D，
所以△OCD面积S＝××＝，
又点B在椭圆上，所以＋y＝1，
所以S＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当＝，
即x＝1，y＝时等号成立，
1 1
所以△OCD面积的最小值为.
12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A
在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则
直线AB的斜率为________．
答案
解析 如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，
∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，
所以∠MFO＋∠NFO＝，所以MF⊥NF，
又|MF|＝|NF|，所以∠NMF＝，
所以∠MFO＝∠AFM＝，故∠AFx＝，所以直线AB的斜率为tan ＝.
13．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)
(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M ，M ，M ，M 四点，则下列各式结果为定值的是(
1 2 3 4
)
A．|MM|·|MM| B．|FM|·|FM|
1 2 3 4 1 4
C．|MM|·|MM| D．|FM|·|MM|
1 3 2 4 1 1 2
答案 A
解析 如图，分别设M，M，M，M 四点的横坐标为x，x，x，x，
1 2 3 4 1 2 3 4
由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，
0
由定义得，|MF|＝x＋1，
1 1
又|MF|＝|MM|＋1，
1 1 2
所以|MM|＝x，
1 2 1
同理|MM|＝x，
3 4 4
由消去y，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
设M(x，y)，M(x，y)，
1 1 1 4 4 4
则xx＝1，即|MM|·|MM|＝1.
1 4 1 2 3 4
14．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，
1
F ，离心率为.过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是
2 1 2
________．
答案 13
解析 如图，连接AF，DF，EF，
1 2 2
因为C的离心率为，
所以＝，
所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF|＝|AF|＝a＝2c＝|FF|，
1 2 1 2
所以△AFF 为等边三角形，
1 2
又DE⊥AF，
2
所以直线DE为线段AF 的垂直平分线，所以|AD|＝|DF|，|AE|＝|EF|，且∠EFF ＝30°，所
2 2 2 1 2
以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x ，
1y)，E(x，y)，
1 2 2
则x＋x＝－，xx＝－，
1 2 1 2
所以|DE|＝
＝＝＝6，
解得c＝，所以a＝2c＝，
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF|＋|EF|＋|DE|＝4a＝13.
2 2
