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§8.10 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 (2022·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆
1 2
C上，以PF 为直径的圆E：x2＋2＝过焦点F.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重
合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围．
解 (1)在圆E的方程中，令y＝0，得x2＝3，
解得x＝±，
所以F，F 的坐标分别为(－，0)，(，0)．
1 2
因为E，
又因为|OE|＝|FP|，OE∥FP，
2 2
所以点P的坐标为，
所以2a＝|PF|＋|PF|＝2×＋＝4，
1 2
得a＝2，b＝1，
即椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)右顶点为A(2,0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，
设直线AM的方程为y＝k(x－2)，
由MN与x轴不垂直，故k≠±1.
由
得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，又点A(2,0)，
1 1 2 2
则由根与系数的关系可得2x＝，
1
得x＝，y＝k(x－2)＝，
1 1 1
因为AM⊥AN，
所以直线AN的方程为y＝－(x－2)，
用－替换k可得，x＝，y＝，
2 2
所以点Q坐标为，
所以直线AQ的斜率
k＝＝，
1
直线MN的斜率
k＝＝＝，
2
所以kk＝＝，
1 2
因为k2>0且k2≠1，
所以2k2＋＋1>2＋1＝5，
所以0<<，
即kk∈.
1 2
所以直线MN与AQ的斜率之积的取值范围是.
教师备选
(2022·武汉调研)过双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F 的动直线l与Γ的左支交于A，B
1
两点，设Γ的右焦点为F.
2
(1)若△ABF 可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
2
(2)若存在直线l，使得AF⊥BF，求Γ的离心率的取值范围．
2 2
解 (1)依题意得|AF|＝2，|AF|＝4，
1 2
|FF|＝2.
1 2
∴2a＝|AF|－|AF|＝2，a＝1，
2 1
2c＝|FF|＝2，c＝，b2＝c2－a2＝2，
1 2
此时Γ的标准方程为x2－＝1.
(2)设l的方程为x＝my－c，与－＝1联立，
得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
由AF⊥BF，F2A·F2B＝0，
2 2
(x－c)(x－c)＋yy＝0，
1 2 1 2
(my－2c)(my－2c)＋yy＝0
1 2 1 2
⇒(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0
⇒(m2＋1)b4＝4a2c2
⇒(m2＋1)＝≥1
⇒4a2c2≥(c2－a2)2，
∴c4＋a4－6a2c2≤0⇒e4－6e2＋1≤0，
又∵e>1，∴15.
综上所述，2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹方程C：＋x2＝1.
(2)由已知得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
联立方程
消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，
Δ＝8k2－8m2＋16>0，
解得m2b>0)过点A，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点．
求△MON的面积的最大值．
解 (1)依题意得＋＝1，而b＝1，
则＋＝1⇒＝1－＝⇒a2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，l的方程为y＝kx＋2，
由
得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
则有Δ＝(8k)2－4·(2k2＋1)·6
＝16k2－24>0⇒k2>，
即k<－或k>，
设点M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，
1 2
xx＝，
1 2
所以|MN|＝·|x－x|
1 2
＝·
＝·
＝·
＝·，
而原点O到直线l：kx－y＋2＝0的距离d＝，△MON的面积S＝·|MN|·d
＝···
＝，
令t＝⇒2k2＝t2＋3(t>0)，
S＝＝，因为t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时k2＝，
即k＝±，符合要求，
从而有S≤＝，
故当k＝±时，
△MON的面积的最大值为.
教师备选
(2022·厦门模拟)设椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A，B，C分别为Γ的上、左、右顶
点，且|BC|＝4.
(1)求Γ的标准方程；
(2)点D为直线AB上的动点，过点D作l∥AC，设l与Γ的交点为P，Q，求|PD|·|QD|的最
大值．
解 (1)由题意得2a＝|BC|＝4，解得a＝2.
又因为e＝＝，
所以c＝，则b2＝a2－c2＝1.
所求Γ的标准方程为＋y2＝1.
(2)方法一 由(1)可得A(0,1)，B(－2,0)，C(2,0)，
则k ＝－，
AC
直线AB的方程为x－2y＋2＝0，
设直线l的方程为y＝－x＋λ.
联立消去y，
整理得，x2－2λx＋2λ2－2＝0.①
由Δ>0，得－<λ<，
联立
解得D的坐标为，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
由①知②
又|PD|＝|x－(λ－1)|，
1
|QD|＝|x－(λ－1)|，
2
所以|PD|·|QD|＝|xx－(λ－1)(x＋x)＋(λ－1)2|，③
1 2 1 2
将②代入③，
得|PD|·|QD|＝|λ2－1| ，λ∈(－，)，
所以当λ＝0时，|PD|·|QD|有最大值.
方法二 设AD＝λAB＝λ(－2，－1)＝(－2λ，－λ)，
则D(－2λ，1－λ)，
由点斜式，可得直线l的方程为
y－(1－λ)＝－(x＋2λ)，
即y＝－x－2λ＋1.
联立
消去y，得x2＋(4λ－2)x＋8λ2－8λ＝0，①
由Δ＝(4λ－2)2－4×(8λ2－8λ)>0，
解得<λ<，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
由①得②
由题意可知|PD|＝|x＋2λ|，
1
|QD|＝|x＋2λ|，
2
所以|PD|·|QD|＝|xx＋2λ(x＋x)＋4λ2|，③
1 2 1 2
将②代入③得|PD|·|QD|＝|4λ2－4λ|＝5|λ2－λ|，
当λ＝时，|PD|·|QD|有最大值.
思维升华 圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这
个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调
性法等.
跟踪训练2 如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦
点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的
距离d的最小值．
解 (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)，
∵PA⊥PF，∴AP·FP＝0，则
可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6.
由于y>0，故x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是.
(2)由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0，
点B(6,0)．
设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝2＋15，
由于－6≤x≤6，
由f(x)＝2＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
课时精练
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且OP·OQ＝0，求|OP|2＋|OQ|2
的最小值．
解 (1)因为e＝＝2，
所以c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2.
所以双曲线的方程为－＝1，
即3x2－y2＝3a2.
因为点M(，)在双曲线上，
所以15－3＝3a2，
所以a2＝4.所以所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OQ的方程为y＝－x，
由
得
所以|OP|2＝x2＋y2＝.
同理可得|OQ|2＝＝，
所以＋＝
＝＝.
设|OP|2＋|OQ|2＝t，
则t·＝2＋2＋2
≥2＋2＝4，
所以t≥＝24，
即|OP|2＋|OQ|2≥24(当且仅当|OP|＝|OQ|＝2时取等号)．
所以当|OP|＝|OQ|＝2时，|OP|2＋|OQ|2取得最小值24.
2．(2022·阳泉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为，P是
1 2
椭圆C上的一个动点，当P是椭圆C的上顶点时，△FPF 的面积为1.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率存在的直线PF ，与椭圆C的另一个交点为Q.若存在T(t,0)，使得|TP|＝|TQ|，求t
2
的取值范围．
解 (1)由题意可知
解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，Q(x，y)，线段PQ的中点为N(x，y)，直线PF 的斜率为k，
1 1 2 2 0 0 2
由(1)设直线PQ的方程为y＝k(x－1)．
当k＝0时，t＝0符合题意；
当k≠0时，联立
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
∴Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8>0，
x＋x＝，
1 2
∴x＝＝，
0
y＝k(x－1)＝，
0 0
即N .
∵|TP|＝|TQ|，
∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，即k ·k＝－1.
TN
∴·k＝－1，
∴t＝＝.
∵k2>0，∴>0 ,2＋>2，
∴0<<，
即t∈.
3．(2021·北京)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为
4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3
于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．
解 (1)因为椭圆过A(0，－2)，故b＝2，
因为四个顶点围成的四边形的面积为4，
故×2a×2b＝4，即a＝，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
因为直线BC的斜率存在，故xx≠0，
1 2
故直线AB：y＝x－2，令y＝－3，则x ＝－，
M
同理x ＝－.
N
直线BC：y＝kx－3，由
可得(4＋5k2)x2－30kx＋25＝0，
故Δ＝900k2－100(4＋5k2)>0，
解得k<－1或k>1.
又x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
故xx>0，所以x x >0.
1 2 M N
又|PM|＋|PN|＝|x ＋x |
M N
＝＝
＝＝＝5|k|，
故5|k|≤15，即|k|≤3，
综上，－3≤k<－1或10)，则k ＝－2t，
AM
所以l ：y＋2t2＝－2t(x－2t)，
AM
即y＝－2tx＋2t2，
所以M(t,0)，
又k ＝＝－t，所以k ＝，
OA BC
所以l ：y－0＝(x－t)，即y＝x－1，
BC
所以直线BC过定点(0，－1)．
(2)解 联立方程
整理得x2＋x－2＝0，
设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，xx＝－2，
1 2 1 2
则MB·MC＝(x－t，y)·(x－t，y)
1 1 2 2
＝(x－t)(x－t)＋yy
1 2 1 2
＝xx－t(x＋x)＋t2＋xx＝1＋t2≥2，
1 2 1 2
所以t2≥1，
又由|AD|＝＝·t，
|AO|＝＝2t，所以|AD|·|AO|＝·t·2t·
＝2－，
因为2t2≥2，所以当2t2＝2，即t＝1时，
|AD|·|AO|的最小值是6.
