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第 8 讲 函数与方程、函数的应用
一、选择题
1.(2017·赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(－2，－1) D.(－1，0)
解析 由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点.
答案 D
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log x＝
2
0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的
一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，
所以0<a<3.
答案 C
4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的
水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过
m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
5.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2
＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B. C.－ D.－解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是
R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一
个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
二、填空题
6.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，
x∈R，则实数a＝________，b＝________.
解析 ∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)
＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.
答案 －2 1
7.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，
每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已
知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1).
解析 设过滤n次才能达到市场要求，
则2%≤0.1%，即≤，
所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
答案 8
8.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的
图象只有一个交点，则a的值为________.
解析 函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函
数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
答案 －
三、解答题
9.已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判
断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围.
解 (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.
依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－
2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，
只需即解得<a<.
故实数a的取值范围为.
10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，
研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 (单位：m/s)与其耗氧量Q之
v
间的关系为 ＝a＋blog (其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧
v 3
量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个
单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个
单位，故有a＋blog ＝0，
3
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog ＝1，整理得a
3
＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知， ＝－1＋log .所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有 ≥2，即－1＋
v 3 v
log ≥2，即log ≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低
3 3
于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
11.已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(
)
A.[0，1) B.(－∞，1)
C.(－∞，1]∪(2，＋∞) D.(－∞，0]∪(1，＋∞)
解析 函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)
＋x＝的大致图象(图略).
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)
＋x－m有零点.
答案 D
12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加
工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如
图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工
时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系
式，联立方程组得消去c化简得
解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最
大值，即最佳加工时间为3.75分钟.
答案 B
13.(2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是
________.
解析 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直
角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|
2x－2|－b有两个零点.
答案 (0，2)
14.设函数f(x)＝(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围.
解 (1)如图所示.
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数.
由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不
同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根.
