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[基础题组练]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是
(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为( )
A．18 B．21
C．24 D．27
解析：选D.因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，
因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A．a1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a0，且10，所以b>1，
因为bx1，
因为x>0，所以>1，
所以a>b，所以10时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝
2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x
＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
6．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.函数y＝与y＝的图象如图所示．
1 2
由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
7．函数f(x)＝ax＋b－1(其中00，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由f(1)＝得a2＝.
又a>0，
所以a＝，
因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9．不等式<恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由题意，y＝是减函数，
因为<恒成立，
所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，
所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，
所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，
即(a－2)(a－2＋4)<0，
即(a－2)(a＋2)<0，
故有－2e.
故f(x)的最小值为f(1)＝e.
答案：e
11．设f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．
解：(1)根据题意，f(x)＝，
则f(－x)＝＝＝＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
(2)因为f(x)＝＝－x＋，
所以f′(x)＝－1＋＝－1＋－，
因为x＞0，所以2x＋1＞2，
所以＜1，
所以－1＋＜0，
所以f′(x)＜0，
故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，
t∈，
故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
设2x＝m>0，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，
过点(0，－1)，不成立．当a>0时，开口向上，
对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
[综合题组练]
1．(应用型)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(
)
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D.
2．(创新型)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义f (x)＝给出函数f(x)
K
＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有f (x)＝f(x)，则( )
K
A．K的最大值为0
B．K的最小值为0
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1
解析：选D.根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有f (x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1
K
上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故
选D.
3．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为
________．
解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当01时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．所以f(t) ＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．
max
综上得a＝或3.
答案：或3
4．(应用型)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
故k的取值范围为.
