文档内容
第5讲 数列的综合应用
数列与数学文化
(1)(2020·贵阳市四校联考)中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：
“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，
意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77
文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是
( )
A．丙分34文，丁分31文
B．丙分37文，丁分40文
C．丙分40文，丁分37文
D．丙分31文，丁分34文
(2)(2020·广州市调研检测)1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和
行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大
行星距离太阳的平均距离如下表：
星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星
与太阳的距离 4 7 10 16 52 100
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某数列规律)．当时德国数
学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳 28 应该还有一颗大行
星.1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离
太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始
由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是( )
A．388 B．772
C．1 540 D．3 076
【解析】 (1)方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a ，a ，a ，
1 2 3
a ，a ，a ，a ，且成等差数列，设公差为d，根据题意可得即解得所以丙分得a ＝a
4 5 6 7 3 1
＋2d＝34(文)，丁分得a ＝a ＋3d＝31(文)，故选A.
4 1
方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a
－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，则解得所以丙分得a－d＝34(文)，丁分得a＝31(文)，
故选A.(2)设a 是从水星开始，第n个行星与太阳的平均距离，依题意可知a ＝a
n n n－1
＋3·2n－3(n≥3)，a ＝10，a ＝16，a ＝28，a ＝52，a ＝100，所以a ＝(a －a )＋(a
3 4 5 6 7 n n n－1 n
－a )＋…＋(a －a )＋a ＝3·(2n－3＋2n－4＋…＋21)＋10＝3×2×＋10＝3·2n－2
－1 n－2 4 3 3
＋4(n≥3)．a ＝7也满足上式，故a ＝3·2n－2＋4(n≥2)．所以a ＝3×210－2＋4＝
2 n 10
772.故选B.
【答案】 (1)A (2)B
解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学
文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列
或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如
求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等．
1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：
把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是
较小的两份之和，问最小的一份为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一
人得20块面包，设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d，
由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一
份为20－2d＝20－2×＝.
2．朱载堉(1536年～1611年)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文
历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目
前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的
频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间
的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前三个音的频率
总和为A ，前六个音的频率总和为A ，则＝( )
1 2
A．1＋2 B．1＋2
C．1－2 D．1－2
解析：选A.依题意13个音的频率依次成等比数列，记为{a }，设公比为q，则
n
a ＝a qn－1.因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，所以a ＝2a ＝a q12，解
n 1 13 1 1
得q＝2，所以＝＝1＋q3＝1＋2，故选A.数列中的新定义问题
(2020·河北石家庄4月模拟)数列{a }的前n项和为S ，定义{a }的“优
n n n
值”为H ＝，现已知{a }的“优值”H ＝2n，则S ＝________．
n n n n
【解析】 由H ＝＝2n，
n
得a ＋2a ＋…＋2n－1a ＝n·2n，①
1 2 n
当n≥2时，a ＋2a ＋…＋2n－2a ＝(n－1)2n－1，②
1 2 n－1
由①－②得2n－1a ＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即a ＝n＋1(n≥2)，
n n
当n＝1时，a ＝2也满足式子a ＝n＋1，
1 n
所以数列{a }的通项公式为a ＝n＋1，
n n
所以S ＝＝.
n
【答案】
破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定
义的含义，如本题，题眼{a }的“优值”H ＝2n的含义为＝2n；二是想“减法”，如
n n
本题，欲由等式a ＋2a ＋…＋2n－1a ＝n·2n求通项，只需写出a ＋2a ＋…＋2n－2a
1 2 n 1 2 n
＝(n－1)·2n－1，通过相减，即可得通项公式．
－1
(多选)若数列{a }满足：对任意的 n∈N*且n≥3，总存在 i，
n
j∈N*，使得a ＝a＋a(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{a }是“T数列”．则下列数列
n i j n
是“T数列”的为( )
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D.
解析：选AD.令a ＝2n，则a ＝a ＋a (n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令
n n 1 n－1
a ＝n2，则a ＝1，a ＝4，a ＝9，所以a ≠a ＋a ，所以数列{n2}不是“T数列”；令
n 1 2 3 3 1 2
a ＝3n，则a ＝3，a ＝9，a ＝27，所以a ≠a ＋a ，所以数列{3n}不是“T数列”；
n 1 2 3 3 1 2
令a ＝，则a ＝＋＝a ＋a (n≥3)，所以数列是“T数列”，故选AD.
n n n－1 n－2
数列与其他知识的交汇
角度一 数列与函数的交汇
(1)(2020·上海模拟)已知数列{a }是公比不等于1的正项等比数列，且
n
lg a ＋lg a ＝0，若函数f(x)＝，则f(a )＋f(a )＋…＋f(a )＝( )
1 2 021 1 2 2 021
A．2 020 B．4 040C．2 021 D．4 042
(2)已知S 是数列{a }的前n项和，a ＝1，且∀n∈N*，2S ＝(n＋1)a ，b ＝S ，
n n 1 n n n n
则数列{b }的前2 020项之和T ＝________．
n 2 020
【解析】 (1)因为数列{a }是公比不等于1的正项等比数列，且lg a ＋lg a2
n 1
021＝0，所以lg(a ·a )＝0，即a ·a ＝1. 因为函数f(x)＝，所以f(x)＋f＝＋＝
1 2 021 1 2 021
＝2，所以f(a )＋f(a )＝2. 令T＝f(a )＋f(a )＋…＋f(a )．则T＝f(a )＋f(a
1 2 021 1 2 2 021 2 021 2
)＋…＋f(a )．所以2T＝f(a )＋f(a )＋f(a )＋f(a )＋…＋f(a )＋f(a )＝2×2
020 1 1 2 021 2 2 020 2 021 1
021，所以T＝2 021.故选C.
(2)因为2S ＝(n＋1)a ①，
n n
所以当n≥2时，2S ＝na ②，
n－1 n－1
①－②得，2a ＝(n＋1)a －na ，
n n n－1
即(n－1)a ＝na (n≥2)，
n n－1
两边同时除以n(n－1)，得＝(n≥2)，
即数列为常数列，
故＝＝1，a ＝n，
n
于是S ＝，
n
于是b ＝，
n
令c ＝b ＋b ＋b ＋b (n∈N*)，
n 4n－3 4n－2 4n－1 4n
则c ＝×(0＋1)＋×(－1＋0)＋×(0－1)＋×(1＋0)＝2，
n
于是T ＝c ＋c ＋…＋c ＝2×505＝1 010.
2 020 1 2 505
【答案】 (1)C (2)1 010
数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究
数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式
前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解
决问题时要注意这一特殊性．
角度二 数列与不等式的交汇
(1)(多选)已知数列{a }满足2a ≤a ＋a (n∈N*，n≥2)，则( )
n n n－1 n＋1
A．a ≥4a －3a B．a ＋a ≤a ＋a
5 2 1 2 7 3 6C．3(a －a )≥a －a D．a ＋a ≥a ＋a
7 6 6 3 2 3 6 7
(2)设数列{a }的通项公式为a ＝2n－1，记数列的前n项和为T ，若对任意的
n n n
n∈N*，不等式4T ＜a2－a恒成立，则实数a的取值范围为________．
n
【解析】 (1)由2a ≤a ＋a (n≥2)，可得a －a ≤a －a ，所以有a －
n n－1 n＋1 n n－1 n＋1 n 2
a ≤a －a ≤…≤a －a ，所以 a －a ＋a －a ＋a －a ≥3(a －a )，化简得
1 3 2 n＋1 n 5 4 4 3 3 2 2 1
a ≥4a －3a ，故选项A正确；由a 7－a 6≥a －a 可得a ＋a ≥a ＋a ，故选项B
5 2 1 3 2 7 2 6 3
错误；由3(a －a )≥a －a ＋a －a ＋a －a ＝a －a ，故可知选项C正确；若a ＝
7 6 6 5 5 4 4 3 6 3 n
n，满足2a ≤a ＋a (n≥2)，但a ＋a ＝5＜a ＋a ＝13，所以选项D错误．故
n n－1 n＋1 2 3 6 7
选AC.
(2)因为a ＝2n－1，
n
所以＝＝，
所以T ＝＝＜，
n
又4T ＜a2－a，
n
所以2≤a2－a，解得a≤－1或a≥2，
即实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
【答案】 (1)AC (2)(－∞，－1]∪[2，＋∞)
数列与不等式的综合问题
(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数
列对应的函数的单调性比较大小．
(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值
(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，
有时也可以通过构造函数进行证明．
1．已知数列{a }的前n项和为S ，点(n，S ＋3)(n∈N*)在函数y＝ 3×2x的图
n n n
象上，等比数列{b }满足b ＋b ＝a (n∈N*)，其前n项和为T ，则下列结论正确
n n n＋1 n n
的是( )
A．S ＝2T B．T ＝2b ＋1
n n n n
C．T ＞a D．T ＜b
n n n n＋1
解析：选D.因为点(n，S ＋3)在函数y＝3×2x的图象上，所以S ＋3＝3×2n，即
n n
S ＝3×2n－3.
n
当n≥2时，a ＝S －S ＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，
n n n－1又当n＝1时，a ＝S ＝3适合上式，
1 1
所以a ＝3×2n－1.
n
设b ＝b qn－1，则b qn－1＋b qn＝3×2n－1，
n 1 1 1
可得b ＝1，q＝2，
1
所以数列{b }的通项公式为b ＝2n－1.
n n
由等比数列前n项和公式可得T ＝2n－1.
n
结合选项可知，只有D正确．
2．等差数列{a }的前n项和为S ，a ＋a ＝48，a ＝28，若S ＋30＞nλ对任意
n n 2 4 5 n
n∈N*恒成立，则λ的取值范围为________．
解析：由题意得a ＋a ＝a ＋a ＝48，因为a ＝28，
2 4 5 1 5
所以a ＝20，则d＝＝＝2，
1
所以S ＝20n＋×2＝n(n＋19)，
n
由n(n＋19)＋30＞nλ得λ＜＝n＋＋19，
由函数f(x)＝x＋＋19的单调性及f(5)＝f(6)＝30知，
当n＝5或n＝6时，n＋＋19取最小值30，故λ ＜30.
答案：(－∞，30)
思想方法系列12 解决数列问题的七大常用技巧
技巧一 巧用性质减少运算
等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不
必求出每个量，从整体上使用公式．
(1)在等比数列{a }中，已知a ＋a ＝8，a ＋a ＝4，则a ＋a ＋a ＋a
n 1 3 5 7 9 11 13 15
的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
(2)设等差数列{a }的前n项和为S ，若S >S >S ，则满足S S <0的正整数k
n n 6 7 5 k k＋1
＝__________．
【解析】 (1)方法一：因为{a }为等比数列，所以a ＋a 是a ＋a 与a ＋a 的
n 5 7 1 3 9 11
等比中项，所以(a ＋a )2＝(a ＋a )·(a ＋a )，故a ＋a ＝＝＝2.
5 7 1 3 9 11 9 11
同理，a ＋a 是a ＋a 与a ＋a 的等比中项，
9 11 5 7 13 15
所以(a ＋a )2＝(a ＋a )(a ＋a )，
9 11 5 7 13 15故a ＋a ＝＝＝1.
13 15
所以a ＋a ＋a ＋a ＝2＋1＝3.
9 11 13 15
方法二：设等比数列{a }的公比为q，
n
则a ＝a q4，a ＝a q4，所以q4＝＝＝.
5 1 7 3
又a ＋a ＝a q8＋a q8＝(a ＋a )q8＝8×＝2，
9 11 1 3 1 3
a ＋a ＝a q12＋a q12＝(a ＋a )q12＝8×＝1，
13 15 1 3 1 3
所以a ＋a ＋a ＋a ＝2＋1＝3.
9 11 13 15
(2)依题意得a ＝S －S >0，
6 6 5
a ＝S －S <0，a ＋a ＝S －S >0，
7 7 6 6 7 7 5
则S ＝＝11a >0，
11 6
S ＝＝>0，
12
S ＝＝13a <0，
13 7
所以S S <0，即满足S S <0的正整数k＝12.
12 13 k k＋1
【答案】 (1)C (2)12
技巧二 巧用升降角标法实现转化
在含有a ，S 对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再
n n
得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公
式和解决其他问题．
设S 是数列{a }的前n项和，已知a ＝3，a ＝2S ＋3(n∈N*)．求数
n n 1 n＋1 n
列{a }的通项公式．
n
【解】 当n≥2时，由a ＝2S ＋3，
n＋1 n
得a ＝2S ＋3，
n n－1
两式相减，得a －a ＝2S －2S ＝2a ，
n＋1 n n n－1 n
所以a ＝3a ，
n＋1 n
所以＝3.
当n＝1时，a ＝3，a ＝2S ＋3＝2a ＋3＝9，则＝3.
1 2 1 1
所以数列{a }是以3为首项，3为公比的等比数列．
n
所以a ＝3×3n－1＝3n.
n
技巧三 巧用不完全归纳找规律
解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出
其一般性规律．
在数列{a }中，已知a ＝1，a ＋(－1)na ＝cos[(n＋1)π]，记S 为数列
n 1 n＋1 n n{a }的前n项和，则S ＝__________．
n 2 024
【解析】 由a ＝1，a ＋(－1)na ＝cos [(n＋1)π]，得a ＝a ＋cos 2π＝1＋1
1 n＋1 n 2 1
＝2，a ＝－a ＋cos 3π＝－2－1＝－3，a ＝a ＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a ＝－a
3 2 4 3 5 4
＋cos 5π＝2－1＝1，…由此可知，数列{a }是以4为周期的周期数列，且a ＋a ＋
n 1 2
a ＋a ＝－2，所以S ＝506(a ＋a ＋a ＋a )＝506×(－2)＝－1 012.
3 4 2 024 1 2 3 4
【答案】 －1 012
技巧四 巧用辅助数列求通项
已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其
转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原
数列的通项公式．
(1)当出现a ＝a ＋m(n≥2)时，构造等差数列；
n n－1
(2)当出现a ＝xa ＋y(n≥2)时，构造等比数列．
n n－1
(1)设数列{a }满足a ＝2，a －4a ＝3×2n＋1，求数列{a }的通项公式
n 1 n＋1 n n
(2)已知在数列{a }中，a ＝1，a ＝(n∈N*)，求数列{a }的通项公式．
n 1 n＋1 n
【解】 (1)由a －4a ＝3×2n＋1得，－＝3，
n＋1 n
设b ＝，则b ＝2b ＋3，设b ＋t＝2(b ＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以
n n＋1 n n＋1 n
b ＋3＝2(b ＋3)，所以＝2，又b ＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{b ＋3}是以4为
n＋1 n 1 n
首项，2为公比的等比数列，所以b ＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以b ＝2n＋1－3，所以a
n n n
＝b ·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n.
n
(2)因为a ＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋
n＋1
＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1
＝，所以a ＝.
n
技巧五 巧用裂项求和
裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试
裂项，裂项的基本原则是a ＝f(n)－f(n＋1)．
n
已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝3，若数列{S ＋1}是公比为4的等
n n 1 n
比数列．
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝，n∈N*，求数列{b }的前n项和T .
n n n
【解】 (1)由题意知S ＋1＝(S ＋1)·4n－1＝4n，
n 1
所以S ＝4n－1，
n
当n≥2时，a ＝S －S ＝3·4n－1，且a ＝3满足上式，
n n n－1 1所以数列{a }的通项公式为a ＝3·4n－1.
n n
(2)b ＝＝
n
＝，
所以T ＝b ＋b ＋…＋b ＝×＋×＋…＋×
n 1 2 n
＝＝－.
技巧六 巧用分组妙求和
分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点
是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和．
若数列{a }的通项公式为a ＝22n＋1，令b ＝(－1)n－1×，则数列{b }的
n n n n
前n项和T ＝____________．
n
【解析】 由题意得b ＝(－1)n－1
n
＝(－1)n－1
＝(－1)n－1，
当n为偶数时，T ＝－＋…＋－＝－，
n
当n为奇数时，T ＝－＋…－＋＝＋，
n
所以T ＝－(－1)n.
n
【答案】 －(－1)n
技巧七 巧用特值验算保准确
使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错
误，应该在求出结果后使用a ＝S 进行检验，如果出现a ≠S ，则说明运算结果一
1 1 1 1
定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果．
已知数列{a }的通项公式为a ＝，则其前n项和S ＝__________．
n n n
【解析】 S ＝＋＋＋…＋，
n
2S ＝2＋＋＋…＋，
n
两式相减得S ＝2＋＋＋…＋－，
n
S ＝2＋－＝5－.
n
【答案】 5－
[A级 基础练]
1．(2020·开封市定位考试)等比数列{a }的前n项和为S ，若a ＋4S ＝0，则公
n n 3 2
比q＝( )A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选C.方法一：因为a ＋4S ＝0，所以a q2＋4a ＋4a q＝0，因为a ≠0，所
3 2 1 1 1 1
以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.
方法二：因为a ＋4S ＝0，所以a q＋＋4a ＝0，因为a ≠0，所以q＋＋4＝0，
3 2 2 2 2
即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C.
2．已知数列{a }的通项公式为a ＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ＜1”是“数列{a }
n n n
为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若数列{a }为递增数列，则有a －a ＞0，得2n＋1＞2λ，得λ＜对
n n＋1 n
任意的n∈N*都成立，于是λ＜.由λ＜1可推得λ＜，但反过来，由λ＜不能得到λ＜
1，因此“λ＜1”是“数列{a }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.
n
3．已知等差数列{a }的前n项和为S ，公差d>0，a 和a 是函数f(x)＝ln x＋x2
n n 6 8
－8x的极值点，则S ＝( )
8
A．－38 B．38
C．－17 D．17
解析：选A.因为f(x)＝ln x＋x2－8x，
所以f′(x)＝＋x－8＝
＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.
又a 和a 是函数f(x)的极值点，且公差d>0，
6 8
所以a ＝，a ＝，
6 8
所以解得
所以S ＝8a ＋×d＝－38，故选A.
8 1
4．(2020·高考全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三
层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成
第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向
外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有
扇面形石板(不含天心石)( )A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
解析：选C.由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个
等差数列，记为{a }，易知其首项a ＝9、公差d＝9，所以a ＝a ＋(n－1)d＝9n.设
n 1 n 1
数列{a }的前n项和为S ，由等差数列的性质知S ，S －S ，S －S 也成等差数列，
n n n 2n n 3n 2n
所以2(S －S )＝S ＋S －S ，所以(S －S )－(S －S )＝S －2S ＝－2×＝9n2＝
2n n n 3n 2n 3n 2n 2n n 2n n
729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S ＝＝＝3 402，故选C.
3n
5．(多选)(2020·山东临沂罗庄期中)已知各项均为正数的等比数列{a }，a ＞
n 1
1，0＜q＜1，其前n项和为S ，下列说法正确的是( )
n
A．数列{ln a }为等差数列
n
B．若S ＝Aqn＋B，则A＋B＝0
n
C．S S ＝S
n 3n
D．记T ＝a a ·…·a ，则数列{T }有最大值
n 1 2 n n
解析：选ABD.由题意可知，a ＝a qn－1，S ＝.对于A，ln a ＝ln a qn－1＝ln a
n 1 n n 1 1
＋(n－1)ln q, ln a ＝ln a qn＝ln a ＋nln q，所以ln a －ln a ＝ln q，所以
n＋1 1 1 n＋1 n
{ln a }为等差数列，所以A正确．对于B，S ＝＝qn＋，又S ＝Aqn＋B，所以A＋B
n n n
＝－＋＝0，所以B正确．对于C，由题意，得S S ＝·＝，S＝，显然S S ≠S，所以
n 3n n 3n
C错误．对于D，因为在等比数列{a }中，a ＞0，0＜q＜1，所以数列{a }为单调递
n 1 n
减数列，所以存在从某一项开始使得a ＝a qk－1∈(0，1)，所以在数列{T }中，T
k 1 n k－1
＝a a ·…·a 为最大值，所以D正确，故选ABD.
1 2 k－1
6．已知f(x)＝2sin x，集合M＝{x||f(x)|＝2，x＞0}，把M中的元素从小到大依
次排成一列，得到数列{a }，n∈N*.数列{a }的通项公式为________．
n n
解析：因为|f(x)|＝2，所以x＝kπ＋，k∈Z，x＝2k＋1，k∈Z.
又因为x＞0，所以a ＝2n－1(n∈N*)．
n
答案：a ＝2n－1(n∈N*)
n
7．若数列{a }满足－＝0，则称{a }为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦
n n
想数列”，且b ＋b ＋b ＝1，则b ＋b ＋b ＝________．
1 2 3 6 7 8
解析：由－＝0可得a ＝a ，故{a }是公比为的等比数列，故{}是公比为的等
n＋1 n n比数列，则{b }是公比为2的等比数列，b ＋b ＋b ＝(b ＋b ＋b )25＝32.
n 6 7 8 1 2 3
答案：32
8．已知在数列{a }中，a ＝2a －1，a ＝2，设其前n项和为S ，若对任意的
n n＋1 n 1 n
n∈N*，(S ＋1－n)k≥2n－3恒成立，则k的最小值为________．
n
解析：由a ＝2a －1，可得a －1＝2(a －1)．又因为a －1＝1，所以数列
n＋1 n n＋1 n 1
{a －1}是公比为2，首项为1的等比数列，所以a ＝1＋2n－1，所以S ＝＋n＝2n－1
n n n
＋n.因为对任意的n∈N*，(S ＋1－n)k≥2n－3恒成立，所以k≥.令b ＝，因为b
n n n＋1
－b ＝－＝，所以数列{b }的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．所以n＝3
n n
时，数列{b }取得最大值b ＝，所以k≥.
n 3
答案：
9．数列{a }的前n项和记为S ，a ＝1，a ＝2S ＋1(n≥1)．
n n 1 n＋1 n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)等差数列{b }的各项为正数，其前n项和为T 且T ＝15，又a ＋b ，a ＋b ，
n n 3 1 1 2 2
a ＋b 成等比数列，求T .
3 3 n
解：(1)由a ＝2S ＋1，可得a ＝2S ＋1(n≥2)，
n＋1 n n n－1
两式相减，得a －a ＝2a ，a ＝3a (n≥2)．
n＋1 n n n＋1 n
又因为a ＝2S ＋1＝3，
2 1
所以a ＝3a .
2 1
故{a }是首项为1，公比为3的等比数列，
n
所以a ＝3n－1.
n
(2)设{b }的公差为d，
n
由T ＝15，得b ＋b ＋b ＝15，可得b ＝5，
3 1 2 3 2
故可设b ＝5－d，b ＝5＋d.
1 3
又a ＝1，a ＝3，a ＝9，
1 2 3
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d ＝2，d ＝－10.
1 2
因为等差数列{b }的各项为正数，
n
所以d＞0，所以d＝2.
T ＝3n＋×2＝n2＋2n.
n
10．给定一个数列{a }，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变
n
它们在数列{a }中的先后次序，得到的数列称为数列{a }的一个m阶子数列．已
n n
知数列{a }的通项公式为a ＝(n∈N*，a为常数)，等差数列a ，a ，a 是数列{a }的
n n 2 3 6 n一个3阶子数列．
(1)求a的值；
(2)设等差数列b ，b ，…，b 是{a }的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b ＝
1 2 m n 1
(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1.
解：(1)因为a ，a ，a 成等差数列，所以a －a ＝a －a .
2 3 6 2 3 3 6
又因为a ＝，a ＝，a ＝，
2 3 6
所以－＝－，解得a＝0.
(2)证明：设等差数列b ，b ，…，b 的公差为d.
1 2 m
因为b ＝，所以b ≤，
1 2
从而d＝b －b ≤－＝－.
2 1
所以b ＝b ＋(m－1)d≤－.
m 1
又因为b ＞0，
m
所以－＞0.
即m－1＜k＋1，所以m＜k＋2.
又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1.
[B级 综合练]
11．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除
此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之
积最接近(lg2≈0.3)( )
A．10300 B．10400
C．10500 D．10600
解析：选A.如图，将数字塔中的数写成幂的形式，可发现其指数恰好构成
“杨辉三角”，前10层的指数之和为1＋2＋22＋…＋29＝210－1＝1 023，所以原
数字塔中前10层所有数字之积为21 023＝101 023lg 2≈10300.
12．(2020·开封市第一次模拟考试)若数列{a }满足a －a 0，解得t<.
答案：
13．在①b ＝a ＋a ；②b ＋b ＝3a ＋3a ；③a ＋a ＝b 这三个条件中任选一
4 3 5 4 6 3 5 2 3 4
个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．
已知{a }是等差数列，其前n项和为S ，{b }是公比大于0的等比数列，b ＝
n n n 1
1，b ＝b ＋2，b ＝a 4＋2a ，且________，设c ＝，是否存在k，使得对任意的
3 2 5 6 n
n∈N*，都有c ≤c
k n?
解：设数列{a }的公差为d，{b }的公比为q(q＞0)，
n n
因为{b }是公比大于0的等比数列，且b ＝1，b ＝b ＋2，
n 1 3 2
所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去)．所以b ＝2n－1.
n
若存在k，使得对任意的n∈N*，都有c ≤c ，则c 存在最小值．
k n n
若选①，则由b ＝a ＋2a ，b ＝a ＋a 可得得
5 4 6 4 3 5
所以S ＝n2＋n，c ＝＝＝.
n n
因为n∈N*，所以n2＋n≥2，所以c 不存在最小值．
n
即不存在满足题意的k.
若选②，由b ＝a ＋2a ，b ＋b ＝3a ＋3a 可得得
5 4 6 4 6 3 5
所以S ＝－n2＋n，c ＝＝.
n n
因为当n≤20时，c ＞0，当n≥21时，c ＜0，
n n
所以易知c 的最小值为c ＝－.
n 21
即存在k＝21，使得对任意的n∈N*，都有c ≤c .
k n
若选③，则由b ＝a ＋2a ，a ＋a ＝b 可得得
5 4 6 2 3 4
所以S ＝，c ＝＝.
n n
因为2n2＋26n≥28，所以c 不存在最小值，
n
即不存在满足题意的k.
14．已知数列{a }满足a ＝1，且点(a ，2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．
n 1 n n＋1(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列的前n项和为S ，不等式S ＞log (1－a)对任意的正整数n恒成立，
n n a
求实数a的取值范围．
解：(1)由点(a ，2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，可得a －a ＋1＝0，即
n n＋1 n n＋1
a －a ＝1，
n＋1 n
所以{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a ＝n.
n n
(2)由(1)知a ＝n，
n
则＝＝，
所以S ＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，
n
则S －S ＝＞0，
n＋1 n
所以数列{S }单调递增，
n
所以(S ) ＝S ＝.
n min 1
要使不等式S ＞log (1－a)对任意的正整数n恒成立，只要＞log (1－a)即可．
n a a
易知0＜a＜1，则1－a＞a，解得0＜a＜.
所以实数a的取值范围是.
[C级 创新练]
15．(2020·河南濮阳一模)已知数列{a }满足a ＋a ＝a (m，n∈N*)且a ＝1，
n n m m＋n 1
若[x]表示不超过x的最大整数，则数列的前10项和为( )
A．12 B.
C．24 D．40
解析：选C.数列{a }满足a ＋a ＝a (m，n∈N*)且a ＝1，
n n m m＋n 1
所以令m＝1，可得a ＋a ＝a ，可得a －a ＝1，
n 1 n＋1 n＋1 n
所以数列{a }为等差数列，公差为1，首项为1.
n
所以a ＝1＋n－1＝n，所以a ＝2n＋3.
n 2n＋3
令＝f(n)，则当1≤n≤3时，f(n)＝1；4≤n≤5时，f(n)＝2；6≤n≤8时，f(n)＝3，
n＝9，10时，f(n)＝4.
所以数列的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.故选C.
16．(多选)已知在△ABC中，A ，B 分别是边BA，CB的中点，A ，B 分别是线
1 1 2 2
段A A，B B的中点，…，A ，B 分别是线段A A，B B(n∈N*，n＞1)的中点，设数
1 1 n n n－1 n－1
列{a }，{b }满足BnAn＝a CA＋b CB(n∈N*)，给出下列四个结论，其中正确的是(
n n n n
)
A．数列{a }是递增数列，数列{b }是递减数列
n nB．数列{a ＋b }是等比数列
n n
C．数列{}(n∈N*，n＞1)既有最小值，又有最大值
D．若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则|BnAn|最小时，a ＋b ＝
n n
解析：选ABD.由BAn＝BA＝(CA－CB)，得BnB＝CB，得BnAn＝BnB＋BAn＝
CB＋(CA－CB)＝CA＋CB，所以a ＝1－，b ＝－1，则数列{a }是递增数列，数列
n n n
{b }是递减数列，故A正确；数列{a ＋b }中，a ＋b ＝，a ＋b ＝，即数列{a ＋b }
n n n n n 1 1 n n
是首项为，公比为的等比数列，故B正确；当n＞1时，在数列中，＝＝－1＋，所以
数列递增，有最小值，无最大值，故C错误；若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则|
BnAn|2＝(a＋b)·CA2＋2a b CA·CB＝(a＋b)CA2，a＋b＝＋＝5×－6×＋2＝5＋，当
n n
n＝1时，a＋b取得最小值，故当|BnAn|最小时，a ＋b ＝，故D正确．故选ABD.
n n
