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[基础题组练]
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n 的正整数n都成立”时，第一步证明中的起
0
始值n 应取( )
0
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，
当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，
当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，
当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，
当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，
当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n 应取5.
0
2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋
1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，
f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，
那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．
3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的
基础上加上( )
A. B．－
C.－ D.＋
解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，
左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.
4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋
2)2.
5．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝
k＋1时，左边增加了( )A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：选D.令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋
＋…＋，
其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.
故左边增加了2k项．
6．用数学归纳法证明 1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证的不等式是
________．
解析：由n∈N*，n>1知，n取第一个值n＝2，
0
当n＝2时，不等式为1＋＋<2.
答案：1＋＋<2
7．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等
式的左边增加的式子是________．
解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
答案：
8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证
的目标不等式是________________．
答案：＋＋…＋＋>－
9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－
1·.
那么，当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k·.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
10．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.
证明：用数学归纳法证明．
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，
不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
[综合题组练]
1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．
证明：①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.
因为左边>右边，所以不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即·…·>.
则当n＝k＋1时，
·…·
>·＝＝
>＝＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
2．已知数列{x}满足x＝，且x ＝(n∈N*)．
n 1 n＋1
(1)用数学归纳法证明：0<x<1；
n
(2)设a＝，求数列{a}的通项公式．
n n
解：(1)证明：①当n＝1时，x＝∈(0，1)，不等式成立．
1
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，
即x∈(0，1)，
k
则当n＝k＋1时，x ＝，
k＋1
因为x∈(0，1)，所以2－x>0，即x >0.
k k k＋1
又因为x －1＝<0，所以0<x <1.
k＋1 k＋1
综合①②可知0<x<1.
n
(2)由x ＝可得＝＝－1，
n＋1
即a ＝2a－1，所以a －1＝2(a－1)．
n＋1 n n＋1 n
令b＝a－1，
n n
则b ＝2b，又b＝a－1＝－1＝1，
n＋1 n 1 1
所以{b}是以1为首项，2为公比的等比数列，
n
即b＝2n－1，所以a＝2n－1＋1.
n n
3．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，
18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和如下：
S＝1，
1
S＝2＋3＝5，
2
S＝4＋5＋6＝15，
3S＝7＋8＋9＋10＝34，
4
S＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
5
S＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
6
…
试猜测S＋S＋S＋…＋S 的结果，并用数学归纳法证明．
1 3 5 2n－1
解：由题意知，当n＝1时，S＝1＝14；
1
当n＝2时，S＋S＝16＝24；
1 3
当n＝3时，S＋S＋S＝81＝34；
1 3 5
当n＝4时，S＋S＋S＋S＝256＝44.
1 3 5 7
猜想：S＋S＋S＋…＋S ＝n4.
1 3 5 2n－1
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S＝1＝14，等式成立．
1
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即S＋S＋S＋…＋S ＝k4，
1 3 5 2k－1
那么，当n＝k＋1时，S＋S＋S＋…＋S ＋S ＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…
1 3 5 2k－1 2k＋1
＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对于任意的n∈N*，S＋S＋S＋…＋S ＝n4都成立.
1 3 5 2n－1
