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[基础题组练]
1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则( )
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；
对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；
对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误，D正确．
2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β( )
A．若l⊥β，则α⊥β
⊂ ⊂
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
解析：选A.选项A，因为l⊥β，l α，所以α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，l α，m β，l与m的
位置关系不确定；选项C，因为l∥β，l α，所以α∥β或α与β相交；选项D，因为α∥β，l α，
⊂ ⊂ ⊂
m β，此时l与m的位置关系不确定．故选A.
⊂ ⊂
3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四
⊂
面体PABC中共有直角三角形的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且
PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即
△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．
4.如图，在斜三棱柱ABCABC 中，∠BAC＝90°，BC ⊥AC，则C 在
1 1 1 1 1
底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A.由AC⊥AB，AC⊥BC ，得AC⊥平面ABC.
1 1
因为AC 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ABC.
⊂ 1
所以C 在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．
15.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的
中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
解析：选D.因为BC∥DF，DF 平面PDF，
BC⊄平面PDF， ⊂
所以BC∥平面PDF，故选项A正确；
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且AE，PE 平面PAE，
所以BC⊥平面PAE，
⊂
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，
又DF 平面PDF，
从而平面PDF⊥平面PAE.
⊂
因此选项B，C均正确．
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，
PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH
为PM的最小值，等于2.
答案：2
7．如图所示，在四棱锥PABCD中PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一
动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即
可)
解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以
PA⊥BD.又 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC.所以当
DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.
而PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
⊂
8.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________．解析：①AE 平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，
PB 平面PBC AE⊥PB，AF⊥PB，EF 平面AEF EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC AF⊥
⊂ ⇒
平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．
⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⇒
答案：①②④
9.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯
形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝
2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．
(1)求证：BF∥平面ADP；
(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.
证明：(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，
因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，
因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，
FG∥CD，因为CD∥AB，AB＝2PE，
所以AB∥FG，AB＝FG，
即四边形ABFG是平行四边形，
所以BF∥AG，
又BF⊄平面ADP，AG 平面ADP，
所以BF∥平面ADP.
⊂
(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，
因为BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，
所以ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.
所以FM∥PD，因为PD⊥平面ABCD，
所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，
因为AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，
所以BD⊥平面AOF.
10．由四棱柱ABCDABC D 截去三棱锥C BCD 后得到的几何体如图所示．四边形
1 1 1 1 1 1 1
ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，AE⊥平面ABCD.
1
(1)证明：AO∥平面BCD
1 1 1;
(2)设M是OD的中点，证明：平面AEM⊥平面BCD.
1 1 1
证明：(1)取BD 的中点O，连接CO，AO，
1 1 1 1 1 1由于ABCDABC D 是四棱柱，
1 1 1 1
所以AO∥OC，AO＝OC，
1 1 1 1
因此四边形AOCO 为平行四边形，
1 1
所以AO∥OC，
1 1
又OC 平面BCD，AO⊄平面BCD，
1 1 1 1 1 1
所以A 1⊂O∥平面B
1
CD
1
.
(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD，
又AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
1
所以AE⊥BD，
1 ⊂
因为BD∥BD，
1 1
所以EM⊥BD，AE⊥BD，
1 1 1 1 1
又AE，EM 平面AEM，AE∩EM＝E，
1 1 1
所以BD⊥平面AEM，
1 1 ⊂ 1
又BD 平面BCD，
1 1 1 1
所以平面AEM⊥平面BCD.
⊂ 1 1 1
[综合题组练]
1．(创新型)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位
线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，
则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′FED的体积有最大值．
A．① B．①②
C．①②③ D．②③
解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.
2．(创新型)如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE
沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①
不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时
就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正
确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP 平面
BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在
⊂
平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．
3．(创新型)在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行
翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
解析：①假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AE⊥BD 于 E，连接 CE.则⇒BD⊥平面
AEC BD⊥CE，而在平面BCD中，EC与BD不垂直，故假设不成立，①错．
②假设AB⊥CD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，
⇒
存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．
③假设AD⊥BC，
因为DC⊥BC，所以BC⊥平面ADC，
所以BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，
③错．综上，填②.
答案：②
4．(应用型)如图，直三棱柱ABCABC 中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，
1 1 1
∠ACB＝90°，D是AB 的中点，F是BB 上的动点，AB ，DF交于点E.要使
1 1 1 1
AB⊥平面C DF，则线段BF的长为________．
1 1 1
解析：设BF＝x，因为AB⊥平面C DF，DF 平面C DF，所以AB⊥DF.
1 1 1 1 1
由已知可以得AB＝，
1 1 ⊂
设Rt△AAB 斜边AB 上的高为h，则DE＝h，
1 1 1
又2×＝h×，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DBE中，BE＝＝.
1 1
由面积相等得× ＝x，得x＝.即线段BF的长为.
1
答案：
5.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD.
(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；
(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面△SAB的面积．
解：(1)证明：设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且
∠BCD＝90°，
则BD＝a，∠CBD＝45°，
所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，
在△ABD中，
AD＝＝a，
因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，
由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面SAD，
⊂
又BD 平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.
(2)由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60°＝a，
⊂
作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，
则SH＝SDsin 60°＝a，
由(1)知BD⊥平面SAD，
因为SH 平面SAD，所以BD⊥SH，
又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，
⊂
所以SH为三棱锥SBCD的高，
所以V ＝×a××a2＝，
SBCD
解得a＝1，由BD⊥平面SAD，SD 平面SAD，可得BD⊥SD，
则SB＝＝＝2，
⊂
又AB＝2，SA＝，
在等腰三角形SBA中，
边SA上的高为 ＝，
则△SAB的面积为××＝.
6．如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF
＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)求点A到平面PBE的距离．
解：(1)证明：在题图2中，连接EF，
由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，
因为BF∩EF＝F，BF 平面ABED，EF 平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，
⊂ ⊂
所以PF为三棱锥PABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，
因为V ＝V ，即××6×9×h＝××12×6×2，所以h＝，
APBE PABE
即点A到平面PBE的距离为.
