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[基础题组练]
1．焦点在x轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则长轴长是( )
A．3 B．6
C．2 D.
解析：选C.因为椭圆＋＝1(m>0)的焦点在x轴上，所以m＞1，
则a2＝m，b2＝1，
所以c＝＝，
由题意可得2＝4，即m＝5.所以a＝.
则椭圆的长轴长是2.故选C.
2．(2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的
标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B.因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确
定，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
3．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F，F 分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭
1 2
圆C上，且∠FPF＝60°，则|PF|·|PF|＝( )
1 2 1 2
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选A.由|PF|＋|PF|＝4，|PF|2＋|PF|2－2|PF|·|PF|·cos 60°＝|FF|2，得3|PF|·|PF|
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝12，所以|PF|·|PF|＝4，故选A.
1 2
4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|
AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又|PF|＝|
AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
5．(2019·辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两
个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
6．与圆C ：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C ：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方
1 2
程为________．
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC |＝r＋1，|PC |＝9－r.所以|PC |＋|PC |
1 2 1 2
＝10>|C C |＝6，即P在以C (－3，0)，C (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹
1 2 1 2
方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F，F 为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一
1 2
象限．若△MF F 为等腰三角形，则M的坐标为________．
1 2
解析：不妨令F，F 分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF F 为
1 2 1 2
等腰三角形，所以易知|FM|＝2c＝8，所以|FM|＝2a－8＝4.
1 2
设M(x，y)，
则得
所以M的坐标为(3，)．
答案：(3，)
8．(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，
直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭
圆E的离心率的取值范围是________．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝
2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0b>0)的右焦点为F(3，0)，离心率为e.
2
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF，BF 的中点，若坐标原点
2 2
O在以MN为直径的圆上，且b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角
1 2
为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF⊥AF，S ＝2，则椭圆C的方程为( )
1 2 △F1AF2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF|＋|AF|＝2a，对其平方，得|AF|2＋|AF|2＋2|AF||
1 2 1 2 1
AF|＝4a2，又AF⊥AF，所以|AF|2＋|AF|2＝4c2，则2|AF||AF|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF||AF|＝
2 1 2 1 2 1 2 1 2
2b2，所以S ＝|AF||AF|＝b2＝2.又△AFF 是直角三角形，∠FAF＝90°，且O为FF 的中
△F1AF2 1 2 1 2 1 2 1 2
点，所以|OA|＝|FF|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF ＝30°，所以A(c，c)，则S
1 2 2 △F1AF2
＝|FF|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.
1 2
2．(2019·广东中山一模)设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第
二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率
为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为
△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.
3．(2019·浙江温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦
点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方
形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，
e2<＝，所以0b>0)的右焦点为F(1，
2
0)，点H在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PFQ的周长是定值．
2
解：(1)设椭圆的左焦点为F，
1
根据已知，椭圆的左、右焦点分别是F(－1，0)，F(1，0)，c＝1，
1 2
因为H在椭圆上，
所以2a＝|HF|＋|HF|＝
1 2
＋＝6，
所以a＝3，b＝2，故椭圆的方程是＋＝1.
(2)证明：设P(x，y)，Q(x，y)，则＋＝1，
1 1 2 2
|PF|＝
2
＝＝，
因为0
