文档文本内容
第 3 讲 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个
数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析 y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsin x为偶
函数.
答案 B
2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A.奇函数，且在(0，1)内是增函数
B.奇函数，且在(0，1)内是减函数
C.偶函数，且在(0，1)内是增函数
D.偶函数，且在(0，1)内是减函数
解析 易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y
＝f(x)为奇函数，
又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，
所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数.
答案 A
3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)
＝6，则a的值为( )
A.5 B.1 C.－1 D.－3
解析 ∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5.
答案 A
4.已知函数f(x)＝x，若f(x )<f(x )，则( )
1 2
A.x >x B.x ＋x ＝0
1 2 1 2
C.x <x D.x<x
1 2
解析 ∵f(－x)＝－x＝f(x).
∴f(x)在R上为偶函数，
f′(x)＝ex－＋x，
∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
由f(x )<f(x )，得f(|x |)<f(|x |)，
1 2 1 2
∴|x |<|x |，∴x<x.
1 2答案 D
5.(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则
f(4)＋f(5)的值为( )
A.2 B.1 C.－1 D.－2
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.
∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.
答案 A
二、填空题
6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
解析 由于f(－x)＝f(x)，
∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，
∴a＝－.
答案 －
7.(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式
为f(x)＝则f＋f＝________.
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝.
答案
8.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的
集合为________.
解析 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上
递增，且f＝0，
∴f(x)>0时，x>或－<x<0.
答案
三、解答题
9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－
1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x).
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数.
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
10.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以1<a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3].
11.(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，
f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A.(－1，4) B.(－2，0)
C.(－1，0) D.(－1，2)
解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝，
∴<1，即<0，
解得－1<a<4.
答案 A12.对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称
且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )
A.0 B.2 C.3 D.4
解析 y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，
即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
答案 B
13.(2017·东北四市联考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当
0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数
为________.
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案 7
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S ＝4×＝4.
△OAB
