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第 3 讲 变量间的相关关系与统计案例
一、选择题
1.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2
如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1的相关指数R2为0.98
B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.25
解析 相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好.
答案 A
2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 ＝3， ＝3.5，则由该
观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y＝0.4x＋2.3 B.y＝2x－2.4
C.y＝－2x＋9.5 D.y＝－0.3x＋4.4
解析 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A满足.
答案 A
3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一
组样本数据(x，y)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－
i i
85.71，则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(x，y)
C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析 ∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；
∵回归直线经过样本点的中心( ， )，∴B正确；
∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，
∴C正确.
答案 D
4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k ) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
参照附表，得到的正确结论是( )
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不
超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.
答案 A
5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭
得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝ －b ，据此估计，该
社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元 B.11.8万元
C.12.0万元 D.12.2万元
解析 由题意知， ＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).
答案 B
二、填空题
6.若8名学生的身高和体重数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 54 64 61 43 59
第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y＝0.849x－85.712，则第3名学生
的体重估计为________.
解析 设第3名学生的体重为a，则
(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×(165＋165＋157＋170＋175＋
165＋155＋170)－85.712.解之得a≈50.
答案 50
7.(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随
机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
理科 文科 总计
男 13 10 23
女 7 20 27
总计 20 30 50
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能
性约为________.
解析 由K2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为
5%.
答案 5%
8.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用
电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64
由表中数据得回归直线方程y＝bx＋a中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用
电量约为________度.
解析 根据题意知x＝＝10，y＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a＝
40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约
为68度.
答案 68
三、解答题9.(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千
元)的数据如下表：
年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯
收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b＝，a＝y－bt.
解 (1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
∑ (t－ )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
i
∑ (t－ )(y－ )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋
i i
(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b＝＝＝0.5，
a＝ －b ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年
增加，平均每年约增加0.5千元.
将2017年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，故
预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
10.(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个
价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与
态度如下：
月收入(单位：
[15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
百元)
赞成定价
1 2 3 5 3 4
者人数
认为价格偏
4 8 12 5 2 1
高者人数
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成
定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入
以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
月收入不低于 月收入低于
总计
55百元的人数 55百元的人数
认为价格偏高者
赞成定价者
总计
附：K2＝
P(K2≥k ) 0.05 0.01
0
k 3.841 6.635
0
解 (1)“赞成定价者”的月平均收入为
x ＝≈50.56.
1
“认为价格偏高者”的月平均收入为
x ＝＝38.75，
2
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是 x －x ＝
1 2
50.56－38.75＝11.81(百元).
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
月收入不低于 月收入低于
总计
55百元的人数 55百元的人数
认为价格偏高者 3 29 32
赞成定价者 7 11 18
总计 10 40 50
K2＝≈6.27<6.635，
∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差
异”.
11.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：
元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：
售价x 4 4.5 5.5 6
销售量y 12 11 10 9
为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回
归方程为y＝－1.4x＋a，那么方程中的a值为( )A.17 B.17.5 C.18 D.18.5
解析 ＝＝5，
＝＝10.5，
∵回归直线过样本点的中心，
∴a＝10.5＋1.4×5＝17.5.
答案 B
12.根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
解析 作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，y＝a>0.故a>0，b<0.
答案 B
13.(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，
某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50
名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选
择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的
概率不超过________.
附表：P(K2≥k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
解析 由列联表计算K2的观测值
k ＝≈5.556>5.024.
0
∴推断犯错误的概率不超过0.025.
答案 0.025
14.(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣
传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8
年的年宣传费x 和年销售量y(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散
i i
点图及一些统计量的值.
表中 ＝， ＝∑ .
wi w wi
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣
传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列
问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u ， )，(u ， )，…，(u ， )，其回归直线 ＝α＋βu的斜率和截
1 v1 2 v2 n vn v距的最小二乘估计分别为：
β＝，α^＝ －β
解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归
方程类型.
(2)令 ＝，先建立y关于 的线性回归方程，由于
w w
d＝＝＝68，
c＝y－d ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于 的线性回归方程为y＝100.6＋68 ，因此y关于x的回归方程为y
w w
＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
