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第 3 讲 几何概型
一、选择题
1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为( )
A. B. C. D.
解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概
率为P＝.
答案 B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中
随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积
是( )
A. B.π C.2π D.3π
解析 设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得
＝，则S＝3π.
答案 D
3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生
的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，
解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的
概率为＝，故选A.
答案 A
4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中
其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
答案 B
5.在棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，点O为底面ABCD的中心，在正方
1 1 1 1
体ABCD－A B C D 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(
1 1 1 1
)A. B.1－ C. D.1－
解析 设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部.
∴V ＝23＝8，V ＝π·13×＝π.
正方体 半球
∴P(A)＝＝1－.
答案 B
6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使
△ABD为钝角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段
BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4
时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角
形.所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
答案 C
7.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
解析 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的
区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内
到原点距离大于 2的区域，易知该阴影部分的面积为 4－π，
因此满足条件的概率是.故选D.
答案 D
8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概
率为( )
A. B. C. D.
解析 由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的
正方形及其内部，其中满足 x＋2y≤8的区域为如图所
示的阴影部分.
易知A(4，2)，S ＝16，
正方形
S ＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.
阴影
答案 D
9.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得V ＜V 的概率是( )
P－ABC S－ABC
A. B. C. D.
解析 当点P到底面ABC的距离小于时，
V ＜V .
P－ABC S－ABC
由几何概型知，所求概率为P＝1－＝.
答案 A
10.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋π B.＋ C.－ D.－
解析 因为复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝
≤1，即(x－1)2＋y2≤1，
即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x
表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率
为弓形的面积与圆的面积之比，即P＝＝－.
答案 D
二、填空题
11.在区间[－2，4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为，则 m＝
________.
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去.
当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.
答案 3
12.如图，在长方体ABCD－A B C D 中，有一动点
1 1 1 1
在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 A－
A BD内的概率为________.
1
解析 因为 VA－A BD＝VA －ABD＝AA ×S
1 1 1 △ABD
＝×AA ×S ＝V ，故所求概率为＝.
1 矩形ABCD 长方体
答案
13.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－
5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析 直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx
的距离小于3.
则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝＝.答案
14.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，
再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投
一点，此点落在星形区域内的概率为________.
解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于()2
－4＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1.
答案 －1
15.在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥的概率是( )
A. B. C. D.
解析 由2x－x2≥，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.
∴所求事件的概率P＝＝.
答案 D
16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小
圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规
则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km
的概率为( )
A. B. C. D.
解析 根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积
为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A)＝＝.
答案 B
17.已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则
取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直
线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.
答案 A
18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sin x∈的概率为(
)A. B. C. D.
解析 由0≤sin x≤，且x∈[0，π]，
解之得x∈∪.
故所求事件的概率P＝＝.
答案 C
19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角
三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大
正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的
概率为( )
A. B. C. D.
解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是，由直角三角形的较短边
长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，
面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝＝.
答案 B
20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在
这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B. C. D.
解析 V ＝2π，V ＝×π×13＝π，＝，故点P到O的距离大于1的概率为.
圆柱 半球
答案 A
21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p 为事件“x＋y≤”的概
1
率，p 为事件“xy≤”的概率，则( )
2
A.p
