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第 3 讲 二项式定理
一、选择题
1.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A.－15x4 B.15x4
C.－20ix4 D.20ix4
解析 (x＋i)6的展开式的通项为T ＝Cx6－rir(r＝0，1，2，…，6)，令r＝2，得含
r＋1
x4的项为Cx4i2＝－15x4，故选A.
答案 A
2.(2017·漳州模拟)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常
数项为( )
A.－7 B.7
C.－28 D.28
解析 依题意有＋1＝5，∴n＝8.二项式的展开式的通项公式T ＝(－1)kCx8－
k＋1
k，令8－k＝0得k＝6，故常数项为T ＝(－1)6C＝7.
7
答案 B
3.(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则
奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210 C.211 D.212
解析 由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.
答案 A
4.(2017·郑州质检)二项式的展开式的第二项的系为－，则x2dx的值为( )
A. B. C.3 D.
解析 ∵T ＝C(ax)6－r＝Ca6－r·x6－r，
r＋1
∴第二项的系数为Ca5·＝－，∴a＝－1，
∴x2dx＝x2dx＝x3|＝－＝.
答案 B
5.(2016·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A. B. C.1 D.2
解析 依题意，注意到的展开式的通项公式是T ＝C·x10－r·＝C·x10－2r，的
r＋1
展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C
－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，选D.
答案 D6.已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于( )
A.63 B.64 C.31 D.32
解析 逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即
3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A.
答案 A
7.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a ＋a (1－x)＋a (1－x)2＋…＋a (1－x)n，则
0 1 2 n
a －a ＋a －…＋(－1)na 等于( )
0 1 2 n
A.(3n－1) B.(3n－2)
C.(3n－2) D.(3n－1)
解析 在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a －a ＋a －a ＋…＋(－
0 1 2 3
1)na ，即a －a ＋a －a ＋…＋(－1)na ＝＝(3n－1).
n 0 1 2 3 n
答案 D
8.(2017·九江模拟)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为( )
A.－210 B.210
C.30 D.－30
解析 (x2－x＋1)10＝[(x2－x)＋1]10的展开式的通项公式为T ＝C(x2－x)10－r，
r＋1
对于(x2－x)10－r的通项公式为T ＝(－1)r′Cx20－2r－3r′.令20－2r－r′＝3，根据
r′＋1
0≤r′≤10－r，r，r′∈N，解得或∴(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为CC(－1)
＋CC(－1)＝－90－120＝－210.
答案 A
二、填空题
9.(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答).
解析 (1－2x)6的展开式的通项公式为T ＝C(－2x)k＝C(－2)k·xk，令k＝2得
k＋1
x2的系数为C(－2)2＝60.
答案 60
10.(2016·山东卷)若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________(用数字作
答).
解析 的展开式的通项T ＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r·x10－，令10－r＝5，得r＝
r＋1
2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.
答案 －2
11.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a ＋a (1＋x)＋a (1＋x)2＋…＋a (1＋x)5，其中
0 1 2 5
a ，a ，a ，…，a 为实数，则a ＝________(用数字作答).
0 1 2 5 3解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为T ＝C(1＋x)5－k·(－1)k，T ＝C(1＋
k＋1 3
x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a ＝10.
3
答案 10
12.若(1＋x＋x2)6＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x12，则a ＋a ＋…＋a ＝________(用
0 1 2 12 2 4 12
数字作答).
解析 令x＝1，得a ＋a ＋a ＋…＋a ＝36，令x＝－1，得a －a ＋a －…＋a
0 1 2 12 0 1 2 12
＝1，∴a ＋a ＋a ＋…＋a ＝.令x＝0，得a ＝1，∴a ＋a ＋…＋a ＝－1＝364.
0 2 4 12 0 2 4 12
答案 364
13.(2017·青岛模拟)已知(x＋1)10＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x10.若数列 a ，a ，
1 2 3 11 1 2
a ，… ，a (1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
3 k
A.5 B.6 C.7 D.8
解析 由二项式定理知a ＝C(n＝1，2，3，…，n).又(x＋1)10展开式中二项式系数
n
最大项是第6项.∴a ＝C，则k的最大值为6.
6
答案 B
14.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋
f(1，2)＋f(0，3)＝( )
A.45 B.60
C.120 D.210
解析 在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为
C，故f(m，n)＝C·C.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC
＝120.
答案 C
15.(2017·合肥模拟)已知二项式的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数
的和之比为64，则展开式中x的系数为________.
解析 由已知得＝64，所以n＝6.展开式的通项为T ＝3rCx3－r，令3－r＝1得r
r＋1
＝2，所以x的系数为9C＝135.
答案 135
16.若(2＋x＋x2)的展开式中的常数项为a，则
(3x2－1)dx＝________.
解析 ∵＝1－＋＋，
∴(2＋x＋x2)·的展开式中的常数项为a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.
故(3x2－1)dx＝(x3－x)|＝6.答案 6
