文档内容
第五单元 长方形和正方形『易错笔记培优讲练』
〔解析版〕
模块一 讲义简介 内容梳理
同学你好，该份讲义用于苏教版数学新教材三年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全
面，非常适合培优拔尖使用。资料包含：
1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确
理解运用知识点，查漏补缺；
2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精
耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍
3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选 20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解
掌握，充分发挥解题技巧。
模块二 易错点拨 思路指引
易错点一 相交与平行
1. 平行的特征及性质：忽略同一平面内前提，误将不相交线段判定为互相平行。
2. 垂直的特征：认为只有横竖直线才垂直，不知只要夹角是直角就互相垂直。
3. 画垂线：三角尺摆放不贴合直线，作图歪斜，忘记标注直角符号。
4. 点到直线的距离：不理解垂直线段最短，错把任意斜线段当作点到直线的距离。
5. 画平行线：徒手目测绘制，未用平移方法，画出线条不平行、长短不一致。
易错点二 长方形和正方形
1. 长方形的概念及特点：只记得对边相等，忽略长方形四个角都是直角这一关键特征。
2. 正方形的概念及特点：不明白正方形是特殊的长方形，混淆两者边与角的共有特点。
3. 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形：长度刻度测量不准，邻边未画直角，对边长度
不相等。
4. 数图形：没有有序观察，只数单个图形，遗漏组合拼成的长方形、正方形。模块三 易错考点 讲练结合
高频易错考点一 平行的特征及性质
【典例精讲】（24-25四年级上·全国·单元测试）在下面各组线中，互相平行的有( )，互相垂
直的有( )。
【答案】 ③⑤ ②⑦
【易错思路引导】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则互相平行的只有
③⑤；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的有②⑦，据此解答即可。
【完整解答】由分析可知，互相平行的有③⑤，互相垂直的有②⑦。
【变式训练1】（23-24四年级上·辽宁·课后作业）如图，真真家、洋洋家、乐乐家在同一条路上，他们
家附近有一个汽车站，现在要经过汽车站修一条公路，使他们家到这条公路的距离都相等，应该怎样修，
请在图中画出来。
【答案】见详解
【易错思路引导】根据平行线间的距离处处相等，可以过汽车站修一条路与真真家、洋洋家和乐乐家所在
的直线平行。
画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。把三角尺的一条直角边与已知直线重合，直尺靠在另
一条直角边上，固定直尺，移动三角板使直角边与汽车站这个点重合，沿着三角板的直角边画直线即为所
求平行线。
【完整解答】【变式训练2】（23-24三年级下·山东泰安·期末）图中有( )组互相平行的线段，有( )组互
相垂直的线段。
【答案】 1 2
【易错思路引导】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行；垂直的概念：两条直线相交成直
角时，这两条直线互相垂直；
观察图形可知，AB⊥BC、DC⊥BC，在同一平面内，两条线段都与一条线段垂直，那么这两条直线互相平行，
所以AB∥DC，据此解答即可。
【完整解答】由分析可知，AB∥DC，AB⊥BC、DC⊥BC；这个图形中所以有1组互相平行的线段，有2组互
相垂直的线段。
高频易错考点二 垂直的特征
【典例精讲】（23-24四年级上·全国·课后作业）下图中( )垂直于( )，( )是
AB的垂线，可以画( )条直线垂直于AB，经过点E能画( )条直线垂直于AB。
【答案】 CD AB CD 无数 1/一
【易错思路引导】如果两条直线相交形成的四个角是直角，则这两条直线互相垂直，观察图可以发现，AB
与CD相交形成的四个角是直角，说明AB垂直于CD，或CD垂直于AB，那么CD是AB的垂线。根据垂直的性
质可知，过直线AB上任意一点，都可以画1条直线与直线AB垂直，则可以画无数条直线与直线AB垂直。
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，所以经过点E能画一条直线垂直于AB。
【完整解答】由分析可知，图中CD垂直于AB，CD是AB的垂线，可以画无数条直线垂直于AB，经过点E能画1条直线垂直于AB。
【变式训练1】（23-24四年级上·全国·课后作业）同一平面内，不相交的两条直线( )，其中一
条直线是另一条直线的( )。两条直线相交成直角时，这两条直线( )，这两条直线的交点
叫做( )。过直线外一点，可以画( )条已知直线的垂线。
【答案】 互相平行 平行线 互相垂直 垂足 1
【易错思路引导】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平
行线；
垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条
直线的交点叫做垂足；
过直线上或直线外一点作垂线：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；从直线外一点到这条直线的线
段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；据此解答。
【完整解答】根据分析：同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做垂足。过直线外一点，可以画1条
已知直线的垂线。
【变式训练2】（23-24三年级下·山东济宁·期末）如图。
(1)平行四边形( )轴对称图形。（是或不是）。
(2)线段( )和( )互相平行；线段( )和( )互相垂直。
【答案】(1)不是
(2) ① ② ⑤ ①
【易错思路引导】（1）一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图
形，折痕所在的直线就是对称轴；据此可知，平行四边形不是轴对称图形。
（2）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的
交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答。
【完整解答】（1）平行四边形不是轴对称图形。
（2）线段①和②互相平行，③和④互相平行；线段⑤和①互相垂直，线段⑤和②互相垂直。
高频易错考点三 画垂线
【典例精讲】（24-25四年级上·四川成都·期末）下图是一块平行四边形的露营地，奇思在这块露营地的小路上跑步，淘气在草坪上跑步。
（1）淘气跑的路线与小路平行，请你画一条直线表示淘气跑步的路线。
（2）笑笑想走到奇思所在的这条小路，请你画出她去这条小路的最短路线。
【答案】见详解
【易错思路引导】（1）固定三角尺，使其一条直角边和小路的一边重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直
角边，固定直尺，然后平移三角尺，使淘气这一点位于该直角边上，沿着这条直角边再画出一条直线，这
条直线就是淘气跑步的路线；
（2）从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，所以作笑笑到奇思所
在的这条小路的垂线段，路线最短；过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与小路的一边重
合，让三角尺的另一条直角边通过笑笑这一点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是笑笑去
这条小路的最短路线。
【完整解答】（1）（2）如下图：
【变式训练1】（24-25四年级上·湖南湘潭·期末）同学们练习投掷沙包时，站在起掷线上原地投掷。沙
包落地点到起掷线的距离为同学们的投掷成绩。下图是三位同学投掷沙包示意图，（ ）的成绩最好，
请在图中画出他沙包落地点到起掷线的距离。
【答案】小军；画图见详解
【易错思路引导】根据题意，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的投掷成绩，从起掷线起，三条虚线分
别表示了到起掷线的距离，小强的落地点在第三条虚线内，小军的落地点在第三条虚线外，小宇的落地点在第二条虚线上，可见小军的落地点距离起掷线最远，所以小军的成绩最好；
根据从直线外一点向已知直线作垂线的方法，用三角尺的一条直角边与起掷线重合，再沿着起掷线平移，
使三角尺的另一条直角边与小军落地点重合，沿三角尺的另一条直角边从落地点向起掷线画出的垂直线段，
就是他沙包落地点到起掷线的距离，标上直角符号即可。据此解答。
【完整解答】根据分析可知：
小军的成绩最好；画图如下：
【变式训练2】（23-24四年级上·吉林长春·期末）请在下面的点子图上画出直线a的平行线和直线b的
垂线。
【答案】见详解
【易错思路引导】过直线外一点画平行线：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；用直尺紧靠着三角
尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后，沿直角边画出另一条直线；
过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使
直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；
这条直线就是已知直线的垂线；据此作图。
【完整解答】根据分析如图：
（答案不唯一）
高频易错考点四 点到直线的距离
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）下图中，点P可以在方格纸（每格高是1）上自由移动。
(1)当点P移动到什么位置时，它到直线l的距离是2？(2)画出几个表示这些位置的点。这些点在同一条直线上吗？
(3)这些点所在的直线与直线l有什么关系？
【答案】(1)点P在直线l上方2格处的水平线上的任意一个位置
(2)见详解
(3)这些点所在的直线都和直线l互相平行。
【易错思路引导】（1）点到直线的距离是点到直线的垂线段长度，已知每格高度是1，要求距离为2，点
P在直线l上方2格处的水平线上的任意一个位置。
（2）在直线l上方2格处的水平线上画任意几个位置并连接，判断是否在同一条直线上。
（3）平行：在同一平面内，不相交的两条直线相互平行。
【完整解答】（1）点P在直线l上方2格处的水平线上的任意一个位置，如下图所示：（答案不唯一）
（2）在直线l上方2格处的水平线上画任意4个位置并连接，画图如下：
即可观察发现这些点在同一条直线上。
（3）这些点所在的直线都和直线l互相平行。
【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为新建的
天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的长度最短。
请你在图中画出天然气管道铺设的位置。
【答案】见详解
【易错思路引导】根据从直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂直线段最短，所以，要使新铺设的天
然气管道的长度最短，只需从B点分别向两条直线画垂直线段即可。
【完整解答】根据分析，画图如下：【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）小恒家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米、
210米、150米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（ ）。
A．270米 B．210米 C．150米
【答案】C
【易错思路引导】因为这条小路与公路是垂直的，根据点到直线的距离垂线段最短，比较这三条小路的长
度，最短的就是这条与公路垂直的小路的长度。
【完整解答】150米<210米<270米
小恒家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米、210米、150米，其中有一条小路与公路是垂直的，
这条小路的长度是150米。
故答案为：C
高频易错考点五 画平行线
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）
(1)请你设计一条航行路线，使游船A在下图这段河道上航行时总是平行于a岸。请在图中画出这条路线
c。
(2)已知a岸平行于b岸，则路线c( )于b岸。（填“平行”或“相交”）
(3)请给游船A设计一条路线，使其去b岸的路线最近。请在图中画出这条路线。
【答案】(1)图见详解
(2)平行
(3)图见详解
【易错思路引导】（1）把三角尺的一条直角边和已知直线a重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿
直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线a重合的直角边和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线
即可。
（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直
线也互相平行，据此解答；
（3）直线外一点到直线的距离垂线段最短，用直角三角尺的一条直角边和直线b重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。
【完整解答】（1）如图：
（2）已知a岸平行于b岸，则路线c平行于b岸。
（3）如图：
【变式训练1】（24-25四年级上·山东德州·期中）画一画，想一想。
（1）在下面的点子图上画出已知直线的一条平行线。
（2）过直线上的3个点A、B、C分别向另一条直线画垂直线段。
（3）度量可以发现画出的这三条垂直线段的长度（ ），由此可以推断，在两条平行线之间，所有的
（ ）的长度都相等。
（4）由于画挂歪了，于是倩倩将挂画的两根绳子的长度调整成一样长后，画就正了，这是运用了平行线
之间的（ ）的道理。
【答案】（1）见详解
（2）见详解（3）相等；垂线段；
（4）距离处处相等
【易错思路引导】（1）画已知直线的平行线：先把三角板的一条直角边与已知直线重合，并把直尺靠在
三角板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与任意点重合，最后沿着三角板
直角边过点画出直线，即为已知直线的平行线。
（2）过点A、B、C分别画已知直线的垂线：先将直尺的一边与已知直线重合，把直角三角板的一条直角边
靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边分别与已知点A、B、C重合，最后沿着三角板另一
条直角边画出两平行之间的垂线段，并标直角符号。
（3）通过刻度尺测量得出结论即可。
（4）在两平行线之间可以画无数条垂直线段，所有的垂线段的长度都相等，这些垂直的线段的长度又叫
做这两条平行线之间的距离，据此分析倩倩这样操作的原因。
【完整解答】（1）（2）如图所示：
（3）度量可以发现画出的这三条垂直线段的长度相等，由此可以推断，在两条平行线之间，所有的垂线
段的长度都相等。
（4）由于画挂歪了，于是倩倩将挂画的两根绳子的长度调整成一样长后，画就正了，这是运用了平行线
之间的距离处处相等的道理。
【变式训练2】（24-25三年级下·山东济南·期末）幸福村要铺设通往村庄的自来水管道，首先铺设经过
A点并且与河岸平行的1号管道。请在图中画出来，随后铺设从A点到岸边最近的2号管道，请在图中画出
来。
【答案】见详解
【易错思路引导】1号管道是画过A点且与河岸平行的直线，可以利用三角板的直角边与已知直线重合，通过平移三角板确定过A点的平行线位置。先将三角板的一条直角边与河岸所在的直线重合；再用直尺紧
靠三角板的另一条直角边，固定直尺；然后沿直尺平移三角板，使与河岸重合的直角边经过A点；最后过
A点沿这条直角边画直线，即为1号管道。
依据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，分析出2号管道是画A点到河岸的垂线段，可以利用
三角板的直角边与河岸重合，确定垂线段位置。先将三角板的一条直角边与河岸所在的直线重合；再沿重
合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边经过A点；最后过A点沿这条直角边向河岸画直线，与河
岸相交于一点，该线段即为2号管道。
【完整解答】根据分析如图：
高频易错考点六 长方形的概念及特点
【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）有一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸。
(1)在这张纸上剪一个最大的正方形，把你的剪法在图中画出来。剪出的正方形的边长是（ ）厘米。
(2)剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。
【答案】(1)图见详解；4
(2) 4 2
【易错思路引导】（1）由题意得，在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形，那么正
方形的边长就等于长方形的宽，即剪出的正方形的边长是4厘米。
（2）由（1）可知，剪出的正方形的边长是4厘米。由图可知，小长方形的长也等于正方形的边长。求小
长方形的宽时，直接用6厘米减去4厘米即可解答。
【完整解答】（1）如图：剪出的正方形的边长是4厘米。
（2）6－4＝2（厘米）
剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是4厘米，宽是2厘米。
【变式训练1】（25-26三年级上·辽宁·课后作业）下面说法不正确的是（ ）。
A．角的大小与角的两条边的长短有关
B．角的开口可以朝向任何方向
C．长方形中的直角个数与正方形的相等
【答案】A
【易错思路引导】角的大小与角的两条边张开的大小有关，与边的长短无关；角的开口可以朝向任何方向，
长方形有4 个角，4个角都是直角，正方形也有4个角，4个角都是直角，据此判断。
【完整解答】A．角的大小与角的两条边的长短无关，所以此选项错误；
B．角的开口可以朝向任何方向，此说法正确；
C．长方形中的直角有4个，正方形中的直角也有4个，所以长方形中的直角个数与正方形的相等，此说法
正确。
故答案为：A
【变式训练2】（25-26三年级上·福建泉州·期中）如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。
（1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解
决）
（2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困难，可以通
过画图帮助解决）
【答案】（1）画图见详解；4厘米
（2）画图见详解；长8厘米、宽2厘米或者长16厘米、宽1厘米
【易错思路引导】（1）因为宽是1厘米，长是4厘米，可以如下图拼成正方形：，边长是4厘米；
（2）如果拼成一个长方形，有两种不同拼法，第一种如图：
，长为4×2厘米，宽为1×2厘米；
第二种如图：
，长为4×4厘米，宽为1厘米。
【完整解答】
（1） ，正方形边长为4厘米；
（2）有两种不同拼法，第一种：
4×2＝8（厘米）
1×2＝2（厘米）
第二种：
4×4＝16（厘米）
答：如果拼成一个长方形，长方形的长为8厘米，宽为2厘米或者长为16厘米，宽为1厘米。
高频易错考点七 正方形的概念及特点
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）
(1)用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？
(2)用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需要多
少个？
【答案】(1)正方形需要3个，长方形需要2个；
或正方形需要6个，长方形需要1个。
(2)正方形需要3个，长方形需要3个；
或正方形需要6个，长方形需要2个。【易错思路引导】根据题意可知：要拼成一个边长是3厘米的正方形，使用边长1厘米的小正方形需要3个
并排放置，此时保证长是3厘米，而宽是1厘米，需要再用2个长3厘米，宽1厘米的长方形，即可拼成；也
可以用6个边长为1厘米的正方形拼成2排和一个长3厘米，宽1厘米的长方形
要拼成一个长4厘米，宽3厘米的长方形，需要1个边长1厘米的小正方形和一个长为3厘米，宽为1厘米的
长方形并排放置，此时长4厘米，宽1厘米，再按照这样的方式再摆两排即可拼成；也可以6个正方形和一
个长方形拼成，用据此解答。
【完整解答】（1）
答：正方形需要3个，长方形需要2个。
答：正方形需要6个，长方形需要1个。
（答案不唯一）
（2）
答：正方形需要3个，长方形需要3个。答：正方形需要6个，长方形需要2个。
（答案不唯一）
【变式训练1】（25-26三年级上·福建泉州·期中）如图所示，在一张长方形纸上剪下一个最大的正方形
①，剩下的长方形刚好可以分成3个一样大的正方形②、③、④，其边长为3厘米，原来长方形纸的长为(
)厘米，宽为( )厘米。
【答案】 12 9
【易错思路引导】根据题意可知。三个小正方形的边长相加就是大正方形的边长，正方形的特征是方方正
正的、四条边都相等，则根据加法的意义，一个大正方形的边长＋一个小正方形的边长＝长方形纸的长，
长方形纸的宽就是大正方形的边长。据此解答即可。
【完整解答】根据分析可知：
3＋3＋3
＝6＋3
＝9（厘米）
9＋3＝12（厘米）
如图所示，在一张长方形纸上剪下一个最大的正方形①，剩下的长方形刚好可以分成3个一样大的正方形
②、③、④，其边长为3厘米，原来长方形纸的长为12厘米，宽为9厘米。
【变式训练2】（25-26三年级上·辽宁·单元测试）选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正
方形。
(1)选择( )根( )厘米的小棒就能摆出一个正方形。(2)选择( )根( )厘米和( )根( )厘米的小棒就能摆出一个长方形。
(3)选择( )就能摆出一个边长是4厘米的正方形。
【答案】(1) 4 2
(2) 2 1 2 2
(3)2根1厘米的、2根3厘米和4根2厘米的小棒
【易错思路引导】（1）已知正方形的四条边长度相等，所以，在图中选出4根长度相等的小棒，即4根2
厘米的小棒就能摆出一个正方形。
（2）已知长方形相对的两条边长度相等，所以，在图中分别选出两对长度相等的小棒，即可以选择2根1
厘米和2根2厘米的小棒，或选择2根1厘米和2根3厘米的小棒，或选择2根2厘米和2根3厘米的小棒，
都能摆出一个长方形。
（3）要摆出一个边长是4厘米的正方形，则需要把图中小棒组成4条长4厘米边，因2＋2＝4，1＋3＝4，
则可以选择2根1厘米和2根3厘米的小棒，分别组成2条4厘米的边，再选择4根2厘米的小棒，分别组
成2条4厘米的边，即可摆出一个边长是4厘米的正方形。据此解答。
【完整解答】（1）根据分析可知（如图）：
选择4根2厘米的小棒就能摆出一个正方形。
（2）根据分析可知（如图）：
选择2根1厘米和2根2厘米的小棒就能摆出一个长方形；
选择2根1厘米和2根3厘米的小棒就能摆出一个长方形；选择2根2厘米和2根3厘米的小棒就能摆出一个长方形。
（3）根据分析可知（如图）：
选择2根1厘米的、2根3厘米的和4根2厘米的小棒就能摆出一个边长是4厘米的正方形。
高频易错考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形
【典例精讲】（23-24三年级上·辽宁鞍山·期末）按要求画一画。（每个小方格的边长为1厘米）
（1）在方格纸中画一个长是6厘米，宽是4厘米的长方形。
（2）在方格纸中画一个边长是3厘米的正方形。
【答案】见详解
【易错思路引导】（1）画一个直角，在两条直角边上分别取6厘米和4厘米，然后分别过这两点作这两条
边的平行线，据此可画图。
（2）先作一条边长为3厘米的线段， 分别以这条线段的两个端点为垂足，作这条线段的3厘米垂线段，
再连接两条垂线段的另一个端点即可。
【完整解答】
【变式训练1】假设每个小正方形的边长是1厘米。
（1）画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。
（2）画一个边长是4厘米的正方形。【答案】见详解
【易错思路引导】（1）画一个直角，在两条直角边上分别取5厘米，3厘米，然后分别过这两点作这两条
边的平行线，据此画图。
（2）根据正方形的特征：四边相等，四个角都是直角，画出边长是4厘米的正方形即可。
【完整解答】作图如下：
【变式训练2】画一画。（1）在上面方格纸上画一个长是14厘米、宽是6厘米的长方形。
（2）再在这个长方形中画一个最大的正方形，涂上阴影。
【答案】（1）（2）见详解
【易错思路引导】（1）根据长方形对边相等、4个角都是直角的特征，即可画出一个长14厘米、宽6厘
米的长方形；
（2）在长方形中画一个最大的正方形，以长方形的宽为正方形的边长作图即可。
【完整解答】（1）（2）作图如下：
【考点剖析】本题主要考查画指定长、宽的长方形以及在长方形中画最大的正方形的画法，结合题意分析
解答即可。
高频易错考点九 数图形
【典例精讲】（25-26三年级上·河北唐山·期末）下图中一共有( )个三角形。
【答案】6
【易错思路引导】根据题意，单独的三角形有3个，两个三角形组成的三角形有2个，三个三角形组成的
三角形有1个，一共有（3＋2＋1）个三角形，据此填空即可。
【完整解答】3＋2＋1＝6（个）
图中一共有6个三角形。
【变式训练1】（25-26三年级上·河北·单元测试）观察下列图形，则第12个图形中三角形的个数是（
）。A．52 B．44 C．48
【答案】C
【易错思路引导】观察图形，第1个图形：有4个三角形；第2个图形：在第1个的基础上增加了4个三
角形，共4×2＝8个；第3个图形：在第2个的基础上再增加4个三角形，共4×3＝12个；观察可得，图
形的规律是：三角形个数＝4×图形的序号，即第12个图形中三角形的个数用4乘12计算。
【完整解答】由分析可知，图形的规律是：三角形个数＝4×图形的序号；
4×12＝48（个）
所以第12个图形中三角形的个数是48个。
故答案为：C
【变式训练2】（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）观察下图，图中一共有( )个正方形。
【答案】30
【易错思路引导】观察图形，这是一个4×4的方格图（横向、纵向都有4个小方格）。1×1的小正方形
有：4×4＝16个；2×2的正方形有：3×3＝9个；3×3的正方形有：2×2＝4个；4×4的正方形有：1×1
＝1个；然后把数量相加即可得出一共有多少个正方形。
【完整解答】1×1的小正方形：4×4＝16（个）
2×2的正方形：3×3＝9（个）
3×3的正方形：2×2＝4（个）
4×4的正方形：1×1＝1（个）
16＋9＋4＋1＝30（个）
图中一共有30个正方形。
模块四 易错真题 提升训练
1．（2025三年级上·辽宁·专题练习）把一张长方形纸先上下对折，再左右对折，展开后可以得到（）个直角。
A．4 B．8 C．16
【答案】C
【易错思路引导】把一张长方形纸先上下对折，再左右对折后形成了4个小长方形，每个长方形都有4个
直角，所以一共有4×4个直角。
【完整解答】4×4＝16（个）
展开后可以得到16个直角。
故答案：C
2．（25-26三年级上·辽宁·单元测试）把长方形按如图方式对折，可以验证（ ）。
A．长方形有4个直角 B．长方形对边相等 C．长方形邻边相等
【答案】B
【易错思路引导】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。长方形两组对边平行且相等，
两条对角线相等且互相平分，长方形是特殊的平行四边形。
【完整解答】把长方形沿虚线对折，会发现长方形的对边能够完全重合，说明长方形的对边相等。
因此，把长方形对折可以验证长方形对边相等。
故答案为：B
3．（24-25三年级下·山东淄博·期末）沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到
起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，（ ）的有效成绩最好。
A．小雨 B．小芳 C．小丽 D．无法确定
【答案】B
【易错思路引导】根据题意，因为规定是落地点到起掷线的距离为有效成绩，小雨和小丽的落地点都还在
虚线的范围内，只有小芳已经过了虚线范围，所以小芳的有效成绩最好，据此解答。
【完整解答】由分析可知：小芳的有效成绩最好。
故答案为：B
4．（22-23二年级下·山东·单元测试）把一张正方形纸按下面的操作对折，可以验证（ ）。A．正方形的四条边都相等
B．正方形的对边相等
C．正方形的邻边相等
【答案】A
【易错思路引导】图中是将正方形对折，再对折，对折后四条边互相重叠，即四条边都相等。
【完整解答】A．正方形的四条边都相等，说法正确；
B．对边是指相对的边，对边相等，但与题中验证的不符；
C．邻边是指相邻的边，邻边相等，但与题中验证的不符。
故答案为：A
【考点剖析】本题考查正方形的特征。
5．（24-25三年级上·江苏南京·期末）用2个边长都是4厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的
长是_______厘米，周长是_______厘米。
【答案】 8 24
【易错思路引导】
拼成的长方形如图： ，这个长方形的长是（4×2）厘米，宽是4厘米。
长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式计算即可。
【完整解答】4×2＝8（厘米）
（8＋4）×2
＝12×2
＝24（厘米）
用2个边长都是4厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的长是8厘米，周长是24厘米。
6．（25-26三年级上·辽宁·课后作业）在括号里填上合适的数。（单位：厘米）【答案】见详解
【易错思路引导】长方形，其对边相等；正方形，四条边都相等。据此解答。
【完整解答】根据分析可知：
7．（25-26四年级上·广东深圳·期中）如图，淘气家有4条路可通往东和路，长度分别约是300米、
330米、510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是( )米。
【答案】300
【易错思路引导】根据图示，线路②是淘气家到东和路的垂直线段，根据直线外一点到该直线的垂线段最
短，可知线路②是淘气家通往东和路的最短路线，据此解答。
【完整解答】根据分析可得：
因为直线外一点到该直线的垂线段最短
故线路②是淘气家通往东和路的最短路线
而四条路中最短的是300米
所以线路②的长度约是300米。
8．（25-26三年级上·福建泉州·期中）如图所示，涂色部分是一个正方形，那么最大长方形的长是(
)厘米。【答案】22
【易错思路引导】根据题意，涂色部分和右边一个小长方形组成的长方形长是12厘米，涂色部分是一个边
长是8厘米的正方形，用12－8即可求出右边的小长方形的宽是多少厘米，涂色部分和左边的长方形组成
的长方形长是18厘米，再加上右边小长方形的宽，即可求出最大长方形的长是多少厘米。
【完整解答】18＋（12－8）
＝18＋4
＝22（厘米）
如图所示，涂色部分是一个正方形，那么最大长方形的长是22厘米。
9．（25-26三年级上·河北唐山·期末）长方形和正方形都是四边形，且对边相等。( )（判断对
错）
【答案】√
【易错思路引导】根据题意，长方形和正方形都是四边形。根据定义，长方形的对边相等；正方形的四条
边都相等，因此对边也相等。题干中“对边相等”的描述对两者均成立，故说法正确。
【完整解答】根据分析可知：
长方形有四个角都是直角，对边相等；正方形有四个角都是直角，四条边都相等。因此，长方形和正方形
都是四边形，且对边相等。原题说法正确。
故答案为：√
10．（25-26四年级上·河北张家口·期末）下图中，直线①和直线②互相平行，直线②和直线③互相垂
直。( )（判断对错）
【答案】√
【易错思路引导】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内，如果两条直线永不相交，我们就说它们互相
平行，或者说其中一条直线是另一条直线的平行线；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线；据此解答即可。
【完整解答】直线①和直线②互相平行，直线②和直线③互相垂直。原题说法正确。故答案为：√
11．（24-25四年级上·山东·期末）兰兰在泳池B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。
（1）画出妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线。
这样画的理由是______。
（2）画出妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。
这样画的理由是______。
【答案】（1）见详解；两点之间线段最短。
（2）见详解；从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。
【易错思路引导】（1）妈妈从A点到B点的最短路线就是直接画线段AB。理由：因为在平面上两点之间，
线段最短。
（2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线是从B点向泳池边界作垂线，直接到达池边。理由：
因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。
【完整解答】（1）妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线如下：
理由：因为在平面上两点之间，线段最短。
（2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线如下：
理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。
12．（24-25四年级上·山东滨州·期末）老旧小区改造工程正在进行中。（1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明
理由。
（2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（ ）。
【答案】（1）见详解；点到直线的垂直线段最短。
（2）互相平行
【易错思路引导】（1）从小区 A、B 到水管的最短连接方式是分别作 A、B 到管道的垂线，这样用料最
省。理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。
（2）画出的这两条水管在平面内的位置关系是平行，因为它们都与同一条直线（原水管管道）垂直。
【完整解答】根据分析可知
（1）画图如下：
理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。
（2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是互相平行。
13．（25-26三年级下·全国·课后作业）下图是将一张正方形纸沿AB折叠后的示意图，其中∠1＝
30°。你能求出∠2的度数吗？
【答案】30°
【易错思路引导】正方形的每个内角都是直角（即90°），由图可知，已知∠1＝30°，将一张正方形纸
沿AB折叠，根据折叠的性质，∠2与其相邻的另一个角（即折叠前的角）相等，那么用90°减去∠1，可得到∠2与其相邻的另一个角之和，再除以2，即可得到∠2的度数，据此解答。
【完整解答】∠2＝（90°－∠1）÷2
＝（90°－30°）÷2
=30°
答：∠2为30°。
【考点剖析】熟练掌握折叠的性质：折叠后重合的角相等，是解题的关键。
14．（24-25四年级上·江西九江·期末）如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果
你是裁判员，那么应该怎样测量她的立定跳远成绩？
（1）请在图中表示出合理的测量方法。
（2）画出的两条线段的位置关系是互相（ ）。
【答案】（1）见详解；（2）平行
【易错思路引导】（1）立定跳远的成绩应该测量脚跟落点到起跳线的距离，也就是从脚跟落点向起跳线
作垂线段，测量垂线段的长度即是立定跳远的成绩。
（2）垂直于同一直线的两条线段互相平行。据此解答即可。
【完整解答】（1）如图：
（2）画出的两条线段的位置关系是互相平行。
15．（24-25三年级上·江苏无锡·期末）把一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸板，剪成4个相同的小
长方形，想一想有哪些不同的剪法？在图中画一画，并算出每种剪法中的小长方形的周长。
【答案】图见详解；第一种剪法：28厘米；
第二种剪法：22厘米；
第三种剪法：20厘米；
【易错思路引导】可以拿出一张长方形彩纸动手折一折，看看你能找到几种折法。如果我们沿长边开始对
折，再对折，再沿折痕剪开就得出第一种剪法；观察图形可知，每个小长方形的长是12厘米，宽是8÷4
＝2（厘米），根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可算出小长方形的周长。
如果我们沿短边开始对折，再对折，再沿折痕剪开，就得到了第二种剪法；观察图形可知，每个小长方形
的宽是8厘米，长是12÷4＝3（厘米），同理可算出小长方形的周长。
如果我们先沿长边开始对折，然后横过来再沿短边对折，再沿折痕剪开，就得到了第三种剪法；观察图形
可知，小长方形的长是12÷2＝6（厘米），宽是8÷2＝4（厘米），同理可算出小长方形的周长。
【完整解答】
第一种剪法：
（12＋8÷4）×2
＝（12＋2）×2
＝14×2
＝28（厘米）
第二种剪法：
（8＋12÷4）×2
＝（8＋3）×2
＝11×2
＝22（厘米）
第三种剪法：
（12÷2＋8÷2）×2
＝（6＋4）×2
＝10×2
＝20（厘米）
答：第一种剪法中小长方形的周长是28厘米；第二种剪法中小长方形的周长是22厘米；第三种剪法中小长方形的周长是20厘米。
16．（24-25四年级上·福建泉州·期中）王阿姨计划在新华小区和公路L附近开一家早餐店，现有A、
B、C三家店铺可以出租，经过调研，这个小区的住户多数为学生和上班族，如何选址才能吸引客人？请你
在图上画一画，并说明你这样设计的道理。
【答案】B店铺；图见详解图；理由见详解
【易错思路引导】由题意可知，新华小区的住户多数为学生和上班族，不管是上学的学生，还是上班族的
住户，上学或上班时通常都会选择路线较近、且“顺路”的地方吃个早餐，因此连接小区经过A、B、C到
公交站之间的线段，根据直线外一点到直线的垂线段最短，而B点到公交站的距离正好是B点到公交站的
垂线段，据此画出合适的路线并确定最佳的店铺。
【完整解答】
由分析可得：选择B店铺；理由是：根据直线外一点到直线的垂线段最短，而B点到公交站的距离正好是
B点到公路L的垂线段，距离最短。
17．（24-25四年级上·山东青岛·期中）数学家韦恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法。
他作出一系列简单闭曲线，将平面分为许多间隔，利用这种图表表达概念间的关系。今天我们把这种逻辑
图称作“韦恩图”。同学们，你觉得下列哪一种韦恩图最能表示本学期学习的平面内两条直线相交、平行、
垂直三者的关系（ ），并把这三个词填入你选择的韦恩图中。
A． B． C．
【答案】B；
【易错思路引导】在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线。因此在同一平面内的两条直线，它们的
位置关系有相交和平行两种情况。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互
相垂直。垂直是相交的一种特殊情况，据此解答即可。【完整解答】
分析可知，B选项的韦恩图 最能表示本学期学习的平面内两条直线相交、平行、垂直三者的
关系，把这三个词填入韦恩图中。如图： 。
18．（23-24三年级上·全国·课后作业）在一张长15厘米、宽10厘米的长方形纸中剪下一个最大的正
方形，请在下图中先画一画，再填一填。
剪下的最大的正方形的边长是（ ）厘米；剩下的图形是一个（ ），长是（ ）厘米，宽是（
）厘米。
【答案】10；长方形；10；5
图见详解
【易错思路引导】首先，找出剪去的正方形的边长，由于剪去的是最大的正方形，所以正方形的边长等于
长方形的宽，剩下的图形是一个小长方形，这个小长方形的长是原来大长方形的宽，也就是10厘米，这个
小长方形的宽是原来大长方形长与宽的差。据此解答即可。
【完整解答】如下图：
正方形的边长等于长方形的宽，所以剪下的最大的正方形的边长是10厘米；观察右边的图形，剩下的图形
是一个小长方形，这个小长方形的长是10厘米，这个小长方形的宽是15−10=5（厘米）。
19．（22-23四年级下·江苏淮安·期末）在如图所示的一组平行线之间画一个最大的正方形。
（1）画出正方形。
（2）写出你操作过程。
（3）你有什么发现？【答案】（1）（2）（3）见详解
【易错思路引导】四条边都相等、四个角都相等的四边形是正方形。先在两条平行线中画出一条垂线段，
量出长度，然后以这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，在两条平行线上分别截取和垂线段相等的
两条线段，连接截取的另两个端点即可得出平行线里最大的正方形。根据自己实际的发现情况说明即可。
【完整解答】（1）画图如下：
（2）先在两条平行线中画出一条垂线段，量出长度，以这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，在
两条平行线上分别截取和垂线段相等的两条线段，连接截取的两条线段的另两个端点。
（3）发现两条平行线之间的距离就是正方形的边长。（答案不唯一）
20．（23-24三年级上·江苏南通·期末）如图，一个长方形被分成了一个大正方形和两个小正方形。
（1）小正方形的边长是2厘米，那么，原来长方形的宽是 厘米，长是 厘米。
（2）如果涂色的小正方形表示10，那么原来长方形表示 。
（3）在图中合适的地方涂色，使它变成一个轴对称图形。
【答案】（1）4；6；
（2）60；
（3）见详解
【易错思路引导】（1）观察图，结合题意可知：长方形的宽是小正方形的边长的2倍，也是大正方形的边
长，用2×2即可求出长方形的宽。长方形的长是大正方形的边长加小正方形的边长，也是小正方形边长的
3倍；（2）观察图可知：长方形的宽上可以摆2个小正方形，长方形的长上可以摆3个小正方形，整个长方形可
以摆6个小方形，用6×10即可解答；
（3）如果一个图形沿着一条直线对折，左右两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。据此
涂色即可。
【完整解答】（1）2×2＝4（厘米）
2×3＝6（厘米）
所以，小正方形的边长是2厘米，那么原来长方形的宽是4厘米，长是6厘米。
（2）6×10＝60
如果涂色的小正方形表示10，那么原来长方形表示60。
（3）在图中合适的地方涂色，使它变成一个轴对称图形。如图：
