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第 6 讲 双曲线
一、选择题
1.(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲
线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线
的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
答案 B
2.(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F (5，0)，则
2
双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F (5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝
2
4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
答案 C
3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线
的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析 ∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝x的距离为2，即＝2，又
b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝
＝，∴离心率e＝＝＝.
答案 B
4.已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF |＝2|PF |，则
1 2 1 2
cos ∠F PF ＝( )
1 2
A. B. C. D.
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.
由双曲线定义，|PF |－|PF |＝2a＝2，
1 2
又|PF |＝2|PF |，
1 2
∴|PF |＝4，|PF |＝2，
1 2
在△PF F 中，|F F |＝2c＝4，由余弦定理，得
1 2 1 2
cos ∠F PF ＝＝.
1 2答案 C
5.(2017·成都调研)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线
的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B.2 C.6 D.4
解析 由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y
＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案 D
二、填空题
6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________.
解析 由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
答案 2
7.(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC
所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝
________.
解析 取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为
正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案 2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E
上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是
________.
解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2
－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).
答案 2
三、解答题
9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F ，F 在坐标轴上，
1 2
离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F (－2，0)，F (2，0)，
1 2
∴k ＝，k ＝，
MF1 MF2
k ·k ＝＝－.
MF1 MF2
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故k ·k ＝－1，∴MF ⊥MF .∴MF1·MF2＝0.
MF1 MF2 1 2
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F (－2，0)，F (2，0)，
1 2
MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，
∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1·MF2＝0.
10.已知椭圆C 的方程为＋y2＝1，双曲线C 的左、右焦点分别是C 的左、右顶
1 2 1
点，而C 的左、右顶点分别是C 的左、右焦点.
2 1
(1)求双曲线C 的方程；
2
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C 恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB＞2(其
2
中O为原点)，求k的取值范围.
解 (1)设双曲线C 的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
2
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C 的方程为－y2＝1.
2
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C 交于不同的两点，得
2
∴k2≠且k2＜1.①
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝－.
1 2 1 2∴x x ＋y y ＝x x ＋(kx ＋)(kx ＋)
1 2 1 2 1 2 1 2
＝(k2＋1)x x ＋k(x ＋x )＋2＝.
1 2 1 2
又∵OA·OB＞2，得x x ＋y y ＞2，
1 2 1 2
∴＞2，即＞0，
解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
11.过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相
交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为 4的圆经过A，O两点(O为坐标原
点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因
此可得点A的坐标为(a，b).
设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c
－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.
故双曲线的方程为－＝1，故选A.
答案 A
12.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积
等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，
∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
答案 C
13.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，若点P在双曲线
1 2
上，且△F PF 为锐角三角形，则|PF |＋|PF |的取值范围是________.
1 2 1 2
解析 如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F F |＝4，
1 2
由对称性不妨设点P在右支上，设|PF |＝m，则|PF |＝m＋
2 1
2a＝m＋2，
由于△PF F 为锐角三角形，
1 2
结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF |＋|PF |＝2m＋2，
1 2
∴2＜2m＋2＜8.
答案 (2，8)
14.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近
线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二
象限，若AP＝PB，求△AOB的面积.
解 (1)依题意得
解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，
由AP＝PB得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，
∵tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
∴S ＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
△AOB
