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第1讲 合情推理与演绎推理
一、选择题
1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，
1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )
A.22项 B.23项 C.24项 D.25项
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4
个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，
所以为第24项，故选C.
答案 C
2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小
数”是假命题，推理错误的原因是( )
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”，但推理形式错误
D.使用了“三段论”，但小前提错误
解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.
答案 C
3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函
数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).
答案 D
4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则
a10＋b10等于( )
A.28 B.76 C.123 D.199
解析 观察规律，归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的
右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案 C
5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⇒ ⇒
⑥“＝”类比得到“＝”.
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①②正确；③④⑤⑥错误.
答案 B
6.(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考
试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”.
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( )
A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙
解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，
则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D.
答案 D
7.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A.n＋1 B.2n
C. D.n2＋n＋1
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成 1＋(1＋
2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条
直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
答案 C
8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层
每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边
形点阵共有169个点，那么它的层数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为
6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋
6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－
8)＝0，所以n＝8，故共有8层.
答案 C
二、填空题
9.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ●
○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○
和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.
解析 进行分组
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)
＝135，故n＝14.
答案 14
10.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝
102，……，根据上述规律，第n 个等式为________.
解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝＝.
答案 13＋23＋…＋n3＝
11.(2017·重庆模拟)在等差数列{a }中，若公差为d，且a ＝d，那么有a ＋a ＝a
n 1 m n m
， 类 比 上 述 性 质 ， 写 出 在 等 比 数 列 {a } 中 类 似 的 性 质 ：
＋ n n
_________________________________________________________________.
解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似
的性质是“在等比数列{a }中，若公比为q，且a ＝q，则a ·a ＝a .”
n 1 m n m＋n
答案 在等比数列{a }中，若公比为q，且a ＝q，则a ·a ＝a
n 1 m n m＋n
12.已知点A(x ，ax )，B(x ，ax )是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据
1 1 2 2
图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a
成立.运用类比思想方法可知，若点A(x ，sin x )，B(x ，sin x )是函数y＝sin
1 1 2 2
x(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立.
解析 对于函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点A，
B，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结
论＞a成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点A(x ，sin
1
x )，B(x ，sin x )，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，
1 2 2类比可知应有＜sin 成立.
答案 ＜sin
13.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.
比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为
三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中
既是三角形数又是正方形数的是( )
A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378
解析 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a }，则a ＝1，a ＝a ＋2，a ＝
n 1 2 1 3
a ＋3，
2
…a ＝a ＋n.
n n－1
∴a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(1＋2＋3＋…＋n) a ＝1＋2＋3＋…
1 2 n 1 2 n－1 n
＋n＝，
⇒
观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b }，则b ＝n2.把四个选项的数字，
n n
分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案 C
14.(2017·青岛模拟)若数列{a }的通项公式为a ＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a )(1－
n n 1
a )…(1－a )，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.
2 n
解析 f(1)＝1－a ＝1－＝，f(2)＝(1－a )(1－a )＝＝＝，f(3)＝(1－a )(1－a )(1－
1 1 2 1 2
a )＝＝，推测f(n)＝.
3
答案
15.若P (x ，y )在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P 作椭圆的两条切线的切点为P ，P ，
0 0 0 0 1 2
则切点弦P P 所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若
1 2
P (x ，y )在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P 作双曲线的两条切线，切点为P ，
0 0 0 0 1
P ，则切点弦P P 所在直线的方程是________.
2 1 2
解析 设P (x ，y )，P (x ，y )，
1 1 1 2 2 2
则P ，P 的切线方程分别是－＝1，－＝1.
1 2因为P (x ，y )在这两条切线上，
0 0 0
故有－＝1，－＝1，
这说明P (x ，y )，P (x ，y )在直线－＝1上，
1 1 1 2 2 2
故切点弦P P 所在的直线方程是－＝1.
1 2
答案 －＝1
16.(2017·郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽
和OB 的长均为1，且各回形线之间或相互平行、或相互
1
垂直.设回形线与射线OA交于A ，A ，A ，…，从点O到点
1 2 3
A 的回形线为第1圈(长为7)，从点A 到点A 的回形线为
1 1 2
第 2 圈，从点 A 到点 A 的回形线为第 3 圈…，依此类推，第 8 圈的长为
2 3
________.
解析 第1圈的长为2(1＋2)＋1＝7，第2圈的长为2(3＋4)＋1＝15，
第3圈的长为2(5＋6)＋1＝23，则第n圈的长为2[(2n－1)＋2n]＋1＝8n－1，
当n＝8时，第8圈的长度为8×8－1＝63.
答案 63
