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第 8 讲 曲线与方程
一、选择题
1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
解析 原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示
的曲线是一条直线和一条射线.
答案 D
2.(2017·衡水模拟)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )
A.任意实数a方程表示椭圆 B.存在实数a方程表示椭圆
C.任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线
解析 当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案 B
3.(2017·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为
圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方
程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析 ∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|
MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，
A为焦点的椭圆.
∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴M的轨迹方程为＋＝1.
答案 D
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨
迹方程是( )
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则
MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案 D
5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ OA＋
1
λ OB(O为原点)，其中λ ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是( )
2 1 2 1 2
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
解析 设C(x，y)，因为OC＝λ OA＋λ OB，
1 2
所以(x，y)＝λ (3，1)＋λ (－1，3)，即
1 2
解得又λ ＋λ ＝1，
1 2
所以＋＝1，即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所
包围的图形的面积为__________.
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案 4π
7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P
的轨迹方程为________.
解析 设P(x，y)，R(x ，y )，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，∴即
1 1
∵点R(x ，y )在直线y＝2x－4上，
1 1
∴y ＝2x －4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
1 1
答案 y＝2x
8.在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶
点A的轨迹方程为________.
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为
两个切点.
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.
∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，
∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，
∴轨迹方程为－＝1(x＞).
答案 －＝1(x＞)
三、解答题
9.如图所示，动圆C ：x2＋y2＝t2，1<t<3，与椭圆C ：＋y2＝
1 2
1相交于A，B，C，D四点，点A ，A 分别为C 的左、右顶
1 2 2
点.求直线AA 与直线A B交点M的轨迹方程.
1 2
解 由椭圆C ：＋y2＝1，知A (－3，0)，A (3，0)，
2 1 2
由曲线的对称性及A(x ，y )，得B(x ，－y )，
0 0 0 0
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA 的方程为y＝(x＋3).①
1
直线A B的方程为y＝(x－3).②
2
由①②得y2＝(x2－9).③
又点A(x ，y )在椭圆C上，故y＝1－.④
0 0
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).
10.(2017·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的
点，且满足AC·BC＝0，设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹 T上是否存在这样的点：它到直线 x＝－1
的距离恰好等于到点 C的距离？若存在，求出这样的点的
坐标；若不存在，说明理由.
解 (1)连接CP，OP，由AC·BC＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.
(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点
C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x ＝1，x ＝－4，由x≥0，
1 2
故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).
11.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，
则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所
以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|，根据双曲线定义，所求
轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支
(y≠0)，方程为－＝1(x>3).
答案 C
12.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋
MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝4x D.y2＝－4x
解析 MN＝(4，0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y).
∴|MN|＝4，|MP|＝，MN·NP＝4(x－2).根据已知条件得4＝4(2－x).
整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
答案 B
13.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F ，F 是它的两个焦
1 2
点，O为坐标原点，且OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方
程是________.
解析 由于OQ＝PF1＋PF2，
又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，
设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝
1.
答案 ＋＝1
14.(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线
l ，l 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
1 2(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
解 由题设F，设l ：y＝a，l ：y＝b，则ab≠0，
1 2
且A，B，P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k ，FQ的斜率为k ，
1 2
则k ＝＝＝＝－＝－b＝k .
1 2
所以 AR∥FQ.
(2)设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x ，0)，
1
则S ＝|b－a||FD|＝|b－a|，
△ABF
S ＝.由题设可得|b－a|＝，所以x ＝1，x ＝0(舍去).
△PQF 1 1
设满足条件的AB的中点为E(x，y).
当AB与x轴不垂直时，由k ＝k 可得＝(x≠1).而＝y，
AB DE
所以y2＝x－1(x≠1).
当AB与x轴垂直时，E与D重合.
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.
