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§2.8 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、
指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、
幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
a
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表
图象的变化 随n值变化而各有不同
为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有log x1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝
log x(a>1)的增长速度．( √ )
a
(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
题组二 教材改编
2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计
算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log x，可知满足题意．
2
3．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－
t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．
答案
解析 由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，
又m·2t＋21－t≥2，∴2≥2，∴m≥.
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长
度为________．
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0，故D错误．
7．(2020·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝
alog (x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
2
答案 300
解析 由题意知100＝alog (1＋1) a＝100，
2
当x＝7时，可得y＝100log
2
(7＋1)⇒＝300.
8．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售
量近似地满足 f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前 30 天价格为 g(t)＝t＋30(1≤t≤30，
t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．则日销售额的最大值为________．
答案 6 400
解析 设日销售额为S，
当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×
＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400.
当t＝20时，S ＝6 400；
max
当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，
当t＝31时，S ＝6 210.
max
∵6 210<6 400，
故当t＝20时，日销售额有最大值6 400.9．(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本
金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入
微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5
年，可以多获利息________元．
(参考数据：1.022 54≈1.093,1.022 55≈1.118,1.040 15≈1.217)
答案 99
解析 将1 000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年
后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元)．将1 000
元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1
000＝118(元)．故可以多获利息217－118＝99(元)．
10．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生
产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬
菜的收入为26万元．设f(n)表示前n年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f(n)＝前n
年的总收入－前n年的总费用支出－投资额]
答案 5
解析 由题意知f(n)＝26n－－60＝－n2＋19n－60.
令f(n)>0，即－n2＋19n－60>0，解得41时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程f(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x
i 1
－1，f(x)＝x2，f(x)＝x，f(x)＝log (x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二
2 3 4 2
次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f(2)＝3，f(2)＝4，所以A不正确；
1 2
当x＝5时，f(5)＝31，f(5)＝25，所以B不正确；
1 2
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x＝1时，甲、乙、丙、
丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最
后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
16．(2020·安徽皖东名校联盟联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万
元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案；奖金y(单位：万元)随
收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的
20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；
(2)现有两个奖励方案函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合
公司的要求？请说明理由．
解 (1)y＝f(x)的定义域是[10,1 000]，值域是(0,9]，∈(0,0.2]．
(2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由≤0.2.可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10,1 000]，则g′(x)＝<0，所以g(x)在[10,1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，
即≤0.2.
故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．
