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第二章 不等式
第1讲 不等式与不等关系
复习要点 1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不
等式性质的简单应用．
一 比较两个实数的大小
二 等式的性质
对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a ；
传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c ；
可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
三 不等式的性质
对称性：a>b b < a ；
传递性：a>b，b>c a > c ；
⇔
可加性：a>b a＋c＞b＋c；
⇒
可乘性：a>b，c>0 ac > bc ；a>b，c<0 ac < bc ；
⇔
同向可加性：a>b，c>d a ＋ c > b ＋ d ；
⇒ ⇒
同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac > bd ；
⇒
同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
⇒
常/用/结/论
⇒
1．a＞b，ab＞0 ＜.
2．a＜0＜b ＜.
⇒
3．a＞b＞0,0＜c＜d ＞.
⇒
4． 0 ＜ a ＜ x ＜ b 或 a ＜ x ＜ b ＜ 0 ＜＜ .
⇒
表现为函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减．
⇒
5．若a＞b＞0，m＞0，则
(1)＜；＞(b－m＞0)；
糖水加糖变甜，反映为函数y＝(a＞b＞0)在(0，＋∞)单调递增. 一些不等式成立，背
后常隐含函数的单调性．
(2)＞；＜(b－m＞0)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)a＞b，c＞d a－d＞b－c.(√)
(2)a＞b a3>b3.(√)
⇒
⇒(3)a＞b ac2＞bc2.()
(4)a＞b，c＞d ac＞bd.()
⇔
(5)a＞b ＜.()
⇒
2．设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是( )
⇒
A．ac2>bc2 B．>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错误；a>b，若b<0，则<1，故B错误；a>b，
不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2<b2，故D错误．
故选C．
答案：C
3．设a，b，c，d∈R，a＞b，c＜d，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－d
C．ac＞bd D．＞
解析：对于A，令a＝1，b＝－1，d＝1，c＝－1，满足a＞b，c＜d，但a＋c＝b＋d，
ac＝bd，故A，C错误；对于B，因为a＞b，c＜d，所以由不等式的可加性，可得a＋d＞b
＋c，所以a－c＞b－d，故B正确；对于D，令a＝2，b＝－1，d＝－1，c＝－2，满足a＞
b，c＜d，但＜，故D错误．故选B．
答案：B
4．“a＋b＞2c”的一个充分条件是( )
A．a＞c或b＞c B．a＞c且b＜c
C．a＞c且b＞c D．a＞c或b＜c
解析：对于A，a＞c或b＞c，不能保证a＋b＞2c成立，故A错误；对于B，a＞c且b
＜c，不能保证a＋b＞2c成立，故B错误；对于C，a＞c且b＞c，由同向不等式相加的性
质，可以推出a＋b＞2c，故C正确；对于D，a＞c或b＜c，不能保证a＋b＞2c成立，故
D错误．故选C．
答案：C
题型 不等式简单性质的理解
典例1(1)若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出＜成立
的是________．
解析：(1)－＞0 ＞⇒a＞b≥0 a2＞b2，但由a2－b2＞0⇒－＞0.则“－＞0”是“a2－b2＞
0”的充分不必要条件．故选A．
⇒ ⇒(2)运用倒数的性质： a ＞ b ， ab ＞ 0 ＜，则 ②
熟记这一性质，常见错误是a＞b ＜. 错误原因是忽视ab＞0的条件．
⇒
④正确．又正数大于负数，所以①正确．故答案为①②④.
⇒
判断不等式是否成立的两种方法
(1)性质法
直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注
意前提条件．
(2)特殊值法
适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算．
提醒：当直接利用不等式的性质不能判断时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数
等函数的单调性进行判断．
对点练1(2024·广东珠海模拟)已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则( )
A．＜ B．＋＞0
C．a2＞b2 D．a＜|b|
解析：因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，＞0，＜0，A不正确；＜0，＜0，则＋＜
0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞(－b)2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0，
得a＞|b|，D不正确．
答案：C
题型 代数式大小比较的多维研讨
维度1 差值法和商值法比较大小
典例2若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p＜q B．p≤q
C．p＞q D．p≥q
解析：方法一(作差法)：p－q＝＋－a－b
＝ ＋＝ ( b 2 － a 2 )·
＝＝，
作差变形的常见方法为因式分解，分解为几个简单代数式的积，易于判断符号．
∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，
又(b－a)2≥0，∴p≤q.
方法二(作商法)：∵p＝＝，
∴＝ ≥＝ 1 ，
应用基本不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立. 此题还有另一妙解：p＝＋
＝＋－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q.
当且仅当a＝b时等号成立．
∵q＜0，∴p≤q.故选B．
作差(商)法的常见情形(1)作差法有两种情形：①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘；②将差式通过配
方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．
(2)作商法通常适用于两代数式同号的情形．
对点练2已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜a＜b
解析：因为a－c＝－＝＝＜0，所以a＜c；因为b－c＝－＝＝＞0，所以b＞c，即a＜
c＜b.故选B．
答案：B
维度2 特殊值法
典例3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知正实数x，y满足x<y，设 a ＝ x e x ＋ y ， b ＝ y e y ＋
x ， c ＝ y e x ＋ x (其中e为自然对数：e＝2.718 28…)，则a，b，c的大小关系是( )
a，b，c中均只含x，y两个未知参数，且式子结构简单，故可对x，y取特殊值直接判
断．
a－b ＝(xex－x)－(yey－y)，此时可构造函数f(x)＝xex－x，由其单调性判断a，b的大
小关系．
A．a<c<b B．c<a<b
C．c<b<a D．b<c<a
(2)(2024·北京海淀区模拟)已知x，y∈R，且x＋y＞0，则( )
A． ＋＞ 0 通分：，这里分母不确定正负．
B．x3＋y3＞0
C． lg( x ＋ y ) ＞ 0 此式等价于x＋y＞1.
D．sin(x＋y)＞0
解析：(1)根据题意可取 x ＝ 1 ， y ＝ 2 ，则a＝e＋2，
特殊值法比较大小，最妙．
b＝2e2＋1，c＝2e＋1，从而a<c<b，故选A．
(2)令x＝1，y＝－，显然＋＝1－2＜0，故A错误；因为x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝(x
＋y)，显然x＝y，y＝0不能同时成立，所以(x＋y)·＞0，故B正确；取x＝1，y＝0，则lg(x
＋y)＝0，故C错误；取x＝1，y＝3，则 sin( x ＋ y ) ＝sin 4＜0，故D错误．故选B．
当x＋y＞0时，正弦值可正、可负，能直接判断命题的真假，不必举特例．
解有关不等式选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：
一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代表性．
对点练3若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log (a＋b)
2
B．＜log (a＋b)＜a＋
2
C．a＋＜log (a＋b)＜
2
D．log (a＋b)＜a＋＜
2
解析：令a＝3，b＝，则a＋＝6，1＜log (a＋b)＝log ＜2，＝＝，即a＋＞log (a＋b)
2 2 2＞.故选B．
答案：B
维度3 中间量法
典例4(1)已知 a ＝ log 0.2，b＝20.2，c＝0．20.3，则( )
2
对数式 logb中，若 a，b∈(1，＋∞)，或 a，b∈(0,1)时，logb为正数，反之，若
a a
a∈(1，＋∞)，b∈(0,1)或a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)时，logb为负数．
a
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
(2)(2024·河南郑州模拟)设x＞0， P ＝ 2 x ＋ 2 － x ， Q ＝ (sin x ＋ cos x ) 2 ，则( )
对于不属于同一类的代数式比较大小，则常用中间值法. 比如：ex和ln x不属于同一
类，则中间量应为x. 由于ex＞x，而x＞ln x，从而实现将ex和ln x与有理函数联系起来．
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≤Q D．P≥Q
解析：(1)a＝log 0.2＜log 1＝0，b＝20.2＞20＝1，c＝0.20.3＜0.20＝1，即c∈(0,1)，故a
2 2
＜c＜b.故选B．
(2)因为 2 x ＋ 2 － x ≥2 ＝ 2 (当且仅当x＝0时等号成立)，而x＞0，所以P＞2.
由基本不等式知其有最小值．
又 (sin x ＋ cos x ) 2 ＝ 1 ＋ sin 2 x ，而 sin 2 x ≤1 ，所以Q≤2.于是P＞Q.故选A．
由函数性质求出最大值．
利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间值．指数式比较大小，
一般选取1或指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取 0或1作为中间值，
其实质就是根据对数函数f(x)＝log x(a＞0，且a≠1)的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
a
对点练4(2024·四川南充模拟)设a＝0.50.2，b＝log 0.5，c＝log 0.2，则a，b，c的大
0.2 0.5
小关系为( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：因为a＝0.50.2＞0.5＝，b＝log 0.5＝log ＜log ＝，c＝log 0.2>log 0.5＝1，
0.2 0.2 0.2 0.5 0.5
所以c＞1＞a＞＞b，故选C．
答案：C
维度4 单调性法
典例5(2022·全国甲卷，文)已知9m＝10， a ＝ 10 m － 11 ， b ＝ 8 m － 9 ，则( )
两代数式结构相同，应构造函数，自变量的选择也很关键，哪里变化，哪里为自变量．
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
解析：∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x＞1且1＜m＜2，∴xm－1＞1，∴f′(x)＞0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)＜f(9)＜f(10)，即b＜0＜a.故选A．
利用单调性法比较大小
主要是指如何构造函数. 应用函数的单调性、对称性、周期性比较大小．
(1)得到函数的单调区间是此类问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调
性的运用是解题的主要形式．
(2)通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大
小比较．
(3)导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．
对点练5(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为
( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
解析：(1)由y＝1.01x在R上单调递增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c.
故选D．
(2)方法一：M－N＝－
＝
＝
＝＞0.
∴M＞N.
方法二：令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)＞f(2 022)，即M＞N.
答案：(1)D (2)M＞N
题型 不等式的综合性问题
典例 6(1)若 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，则|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小关系是
a a
______________．
(2)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
解析：(1)方法一(作差法)：当a＞1时，log (1－x)＜0，log (1＋x)＞0，
a a
∴|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x)－log (1＋x)＝ － log (1 － x 2 ) ＞ 0 .
a a a a a
底数，真数不在同一范围，则对数值为负．当0＜a＜1时，log (1－x)＞0，log (1＋x)＜0，
a a
∴|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)＋log (1＋x)＝log (1 － x 2 ) ＞ 0 .
a a a a a
底数a，真数(1－x2)都大于0小于1，则对数值为正．
综上，|log (1－x)|＞|log (1＋x)|.
a a
方法二(作商法)：∵＝ ＝ |log (1 － x ) |，
(1＋x)
应用换底公式的变形．
又0＜x＜1，∴1＋x＞1,0＜1－x＜1，
∴|log (1 － x ) | ＝－ log (1 － x ) ＝ log ＝ log ＝ 1 － log (1 － x 2 ) ，
(1＋x) (1＋x) (1＋x) (1＋x) (1＋x)
又 0 ＜ 1 － x 2 ＜ 1 ， ∴ log (1 － x 2 ) ＜ 0 ， 1－log (1－x2)＞1，即＞1.
(1＋x) (1＋x)
努力变形，构造出1－log (1－x2)的形式，再判别对数式和0的大小关系．
(1＋x)
于是|log (1－x)|＞|log (1＋x)|.故答案为|log (1－x)|＞|log (1＋x)|.
a a a a
(2)方法一：设 2 x － 3 y ＝ λ ( x ＋ y ) ＋ μ ( x － y ) ＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
经典解法，用已知条件中的代数式，表示出目标式，求解参数．
对应系数相等，则⇒
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3,8)．
方法二：令∴
此法省去了方法一中的方程组，妙！
∴2x－3y＝2×－3×＝－＋b∈(3,8)．故答案为(3,8)．
利用不等式性质求代数式的取值范围
由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设
F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的
同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x，y)的取值范围．
对点练6 (1)(多选)若0＜a＜1，b＞c＞1，则( )
A．a＞1 B．＞
C．ca－1＜ba－1 D．loga＜log a
c b
(2)已知3＜a＜8,4＜b＜9，则的取值范围是________．
解析：(1)对于A，∵b＞c＞1，∴＞1.∵0＜a＜1，则a＞0＝1，故选项A正确；
对于B，若＞，
则bc－ab＞bc－ac，即a(c－b)＞0，这与0＜a＜1，b＞c＞1矛盾，故选项B错误；
对于C，∵0＜a＜1，∴a－1＜0.
∵b＞c＞1，∴ca－1＞ba－1，故选项C错误；
对于D，∵0＜a＜1，b＞c＞1，∴loga＜log a，故选项D正确．
c b
(2)由4＜b＜9，得＜＜，又3＜a＜8，所以＜＜2.
答案：(1)AD (2)
