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第二章 不等式
第1讲 不等式与不等关系
复习要点 1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不
等式性质的简单应用．
一 比较两个实数的大小
二 等式的性质
对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a ；
传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c ；
可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
三 不等式的性质
对称性：a>b b < a ；
传递性：a>b，b>c a > c ；
⇔
可加性：a>b a＋c＞b＋c；
⇒
可乘性：a>b，c>0 ac > bc ；a>b，c<0 ac < bc ；
⇔
同向可加性：a>b，c>d a ＋ c > b ＋ d ；
⇒ ⇒
同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac > bd ；
⇒
同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
⇒
常/用/结/论
⇒
1．a＞b，ab＞0 ＜.
2．a＜0＜b ＜.
⇒
3．a＞b＞0,0＜c＜d ＞.
⇒
4． 0 ＜ a ＜ x ＜ b 或 a ＜ x ＜ b ＜ 0 ＜＜ .
⇒
表现为函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减．
⇒
5．若a＞b＞0，m＞0，则
(1)＜；＞(b－m＞0)；
糖水加糖变甜，反映为函数y＝(a＞b＞0)在(0，＋∞)单调递增. 一些不等式成立，背
后常隐含函数的单调性．
(2)＞；＜(b－m＞0)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)a＞b，c＞d a－d＞b－c.(√)
(2)a＞b a3>b3.(√)
⇒
⇒(3)a＞b ac2＞bc2.()
(4)a＞b，c＞d ac＞bd.()
⇔
(5)a＞b ＜.()
⇒
2．设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是( )
⇒
A．ac2>bc2 B．>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错误；a>b，若b<0，则<1，故B错误；a>b，
不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2log 0.5＝1，
0.2 0.2 0.2 0.5 0.5
所以c＞1＞a＞＞b，故选C．
答案：C
维度4 单调性法
典例5(2022·全国甲卷，文)已知9m＝10， a ＝ 10 m － 11 ， b ＝ 8 m － 9 ，则( )
两代数式结构相同，应构造函数，自变量的选择也很关键，哪里变化，哪里为自变量．
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
解析：∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x＞1且1＜m＜2，∴xm－1＞1，∴f′(x)＞0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)＜f(9)＜f(10)，即b＜0＜a.故选A．
利用单调性法比较大小
主要是指如何构造函数. 应用函数的单调性、对称性、周期性比较大小．
(1)得到函数的单调区间是此类问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调
性的运用是解题的主要形式．
(2)通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大
小比较．
(3)导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．
对点练5(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为
( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
解析：(1)由y＝1.01x在R上单调递增，得a＝1.010.5c＝0.60.5，所以b>a>c.
故选D．
(2)方法一：M－N＝－
＝
＝
＝＞0.
∴M＞N.
方法二：令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)＞f(2 022)，即M＞N.
答案：(1)D (2)M＞N
题型 不等式的综合性问题
典例 6(1)若 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，则|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小关系是
a a
______________．
(2)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
解析：(1)方法一(作差法)：当a＞1时，log (1－x)＜0，log (1＋x)＞0，
a a
∴|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x)－log (1＋x)＝ － log (1 － x 2 ) ＞ 0 .
a a a a a
底数，真数不在同一范围，则对数值为负．当0＜a＜1时，log (1－x)＞0，log (1＋x)＜0，
a a
∴|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)＋log (1＋x)＝log (1 － x 2 ) ＞ 0 .
a a a a a
底数a，真数(1－x2)都大于0小于1，则对数值为正．
综上，|log (1－x)|＞|log (1＋x)|.
a a
方法二(作商法)：∵＝ ＝ |log (1 － x ) |，
(1＋x)
应用换底公式的变形．
又0＜x＜1，∴1＋x＞1,0＜1－x＜1，
∴|log (1 － x ) | ＝－ log (1 － x ) ＝ log ＝ log ＝ 1 － log (1 － x 2 ) ，
(1＋x) (1＋x) (1＋x) (1＋x) (1＋x)
又 0 ＜ 1 － x 2 ＜ 1 ， ∴ log (1 － x 2 ) ＜ 0 ， 1－log (1－x2)＞1，即＞1.
(1＋x) (1＋x)
努力变形，构造出1－log (1－x2)的形式，再判别对数式和0的大小关系．
(1＋x)
于是|log (1－x)|＞|log (1＋x)|.故答案为|log (1－x)|＞|log (1＋x)|.
a a a a
(2)方法一：设 2 x － 3 y ＝ λ ( x ＋ y ) ＋ μ ( x － y ) ＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
经典解法，用已知条件中的代数式，表示出目标式，求解参数．
对应系数相等，则⇒
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3,8)．
方法二：令∴
此法省去了方法一中的方程组，妙！
∴2x－3y＝2×－3×＝－＋b∈(3,8)．故答案为(3,8)．
利用不等式性质求代数式的取值范围
由a
