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§2.6 函数的图象
考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析
法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数
与不等式解的问题．
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)―――――――――――――――――――→y＝ f ( ax ) ．
②y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝ af ( x ) ．
(3)对称变换
①y＝f(x)――――――→y＝ － f ( x )．
②y＝f(x)―――――→y＝ f ( － x ) ．
③y＝f(x)――――――→y＝ － f ( － x )．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――――→y＝log x ( a >0 且 a ≠ 1) ．
a
(4)翻折变换①y＝f(x)――――――――――→y＝ | f ( x ) |.
②y＝f(x)――――――――――→y＝ f ( | x |) ．
微思考
1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？
提示 f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．
2．函数y＝f(x)和y＝f(2－x)的图象有什么关系？
提示 y＝f(x)与y＝f(2－x)的图象关于x＝1对称．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( × )
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
题组二 教材改编
2．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
解析 其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
3．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象
是( )答案 B
解析 依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B
适合．
4.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－20，∴排除BC.故选D.
(2)如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝
答案 C
解析 函数的定义域为R，排除D；
当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－<0，排除A；
B中，当sin x＝0时，y＝0，∴y＝有无数个零点，排除B.
思维升华 辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
跟踪训练2 (1)(2021·武汉调研)函数f(x)＝的大致图象为( )答案 B
解析 易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)
是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋
∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合．
(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
答案 C
解析 题图中是函数y＝－2－|x|的图象，
即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C.
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递
减．
命题点2 确定零点个数、解不等式例4 (1)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.
作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 因为f(x)为奇函数，
所以不等式<0可化为<0，
即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，
所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．
命题点3 求参数的取值范围
例5 (2021·唐山模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实
根，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜
率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范
围为.
若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．答案
解析 如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k<时，
函数g(x)＝kx的图象恒在函数f(x)图象的下方．
思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值
域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与
g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)0，且a≠1)有两个零点，则实数 a的取值范围是
________．
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的
个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.
(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x
的解集是________．
答案 (－1,0)∪(1，]
解析 由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，
由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．课时精练
1．函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
答案 D
解析 由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
2．函数f(x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f(x)，∴f(x)为偶
函数，关于y轴对称，排除D；当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f(x)<0，排除A，C.
3．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C解析 ∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1，
∴y＝lg x――――――――――→y＝lg(x＋3)――――――――――→y＝lg(x＋3)－1.
4．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案 B
解析 方法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐
标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．
方法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，
代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.
5．(多选)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列
函数f(x)不能满足条件的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝ex－1－e1－x
C．f(x)＝x＋
D．f(x)＝log (x＋1)＋1
2
答案 ACD
解析 由题意知f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，
②f(1＋x)＝－f(1－x)．
对于选项A，C，D，f(1)均不为0，不满足条件；
对于选项B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，
f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x)．
6．(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)
在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，
D错误．7．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．
答案 (－4,2)
解析 y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
故y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)．
8．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
答案 1
解析 f(x)＝＝a＋，
关于点(1，a)对称，故a＝1.
9．(2020·福州质检)设函数y＝f(x)的图象与y＝x＋a的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f ＝
4，则实数a＝________.
答案 －2
解析 设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝x＋a的图象上．
所以x＝y＋a，则 .
因此 .
由f(3)＋f ＝4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.
10．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________．
答案 {－1}∪(0，＋∞)
解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m
＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个
零点．
11．已知函数f(x)＝试讨论方程f(x)－a＝0的根的个数情况．
解 作出f(x)的图象如图．
方程f(x)－a＝0的根的个数，
即为函数y＝f(x)与y＝a的交点个数，
由图知，当a>4时，方程无实数根，
当a＝4或a≤0时方程有1个实数根，
当10在R上恒成立，求m的取值范围．
解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当00)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．
13.如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀
速旋转回到A点，则与△OBP的面积随时间变化的图象相符合的是( )
答案 A
解析 △OBP中，OB＝r是一个定值，
∴△OBP的面积由点P到x轴的距离h确定．当P由A点逆时针旋转到A时，点P到x轴的
距离先减小到0，再逐渐增大，最大为2r，然后由2r逐渐减小到r，故选A.
14．(2020·济南模拟)若直角坐标系内A，B两点满足：
(1)点A，B都在f(x)图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点
对”有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函
数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2
个．
15．(2020·太原调研)已知函数g(x)＝－|x－1|，h(x)＝cos πx，当x∈(－2,4)时，函数g(x)与h(x)
的交点横坐标分别记为x(i＝1,2，…，n)，则 等于( )
i i
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 易知g(x)＝－|x－1|的图象关于x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于x＝1对称．作出两
个函数的图象，如图所示．
根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关于直线x＝
1对称，因此 ＝3×2＋1＝7.
i
16.如图，函数y＝f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成．
(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．
解 (1)当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，由O(0,0)，A(2,3)可知f(x)＝2x－1，
当2
