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§3.1 导数的概念及运算
[考试要求] 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.2.
通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数
(形如f(ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率是lim ＝lim ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝
0
x 处的导数，记作 f ′ ( x ) 或 ，即f′(x)＝lim ＝lim .
0 0 0
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新
函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x ) ．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ a x ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x(a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ cf ′ ( x ) ．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，
那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f ( g ( x )) ．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝ y ′ · u ′ ，即y
x u x
对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．
2．函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？
提示 在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(2)f′(x)＝[f(x)]′.( × )
0 0
(3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同．( × )
(4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.( × )
题组二 教材改编
2．某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2＋8t(距
离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案 C
解析 h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
答案 －
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－.4．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
题组三 易错自纠
5．已知函数f(x)＝xcos x＋asin x在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值
为 ．
答案 2
解析 f′(x)＝cos x＋x·(－sin x)＋acos x
＝(1＋a)cos x－xsin x，
∴f′(0)＝1＋a＝3，
∴a＝2.
6．已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝ .
答案 ＋2e2x－3
解析 f′(x)＝·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′
＝＋2e2x－3.
题型一 导数的运算
1．(多选)下列求导运算正确的是( )
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．()′＝
D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x
答案 BCD
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，
∴(sin a)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD.2．已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝ .
答案 －
解析 f′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3＝－.
3．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ .
答案 e2
解析 f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′
＝＋ae－x－axe－x，
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，
则a＝e2.
4．(2020·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝
.
答案 －
解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，将x＝1代入，
得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝.
∴f(x)＝2x2－x＋ln x，
∴f(1)＝2－＝－.
思维升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量
避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
题型二 导数的几何意义
命题点1 导数与函数图象
例1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
则该函数的图象是( )答案 B
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减
小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝
xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .
答案 0
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
命题点2 求切线方程
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为
．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x，y)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
0 0
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x)x.
0
∴由解得x＝1，y＝0.
0 0∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点3 求参数的值(范围)
例3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(
)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′| ＝ae＋1，
x＝1
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，
所以解得
(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
则实数a的取值范围是 ．
答案 [2，＋∞)
解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋－2，x>0.
又4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参
数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P
为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，
点P一定在切线上，不一定在曲线上．
跟踪训练 (1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐
标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 设切点P(x，y)，
0 0
f′(x)＝3x2－1，
又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x)＝3x－1＝2，
0
∴x＝1，
∴x＝±1，
0
又切点P(x，y)在y＝f(x)上，
0 0
∴y＝x－x＋3，
0 0
∴当x＝1时，y＝3；
0 0
当x＝－1时，y＝3.
0 0
∴切点P为(1,3)或(－1,3)．
(2)函数y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 ∵y＝，
∴y′＝＝，
∴k＝y′| ＝2，
x＝0
∴切线方程为y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，
令x＝0，得y＝－1；
令y＝0，得x＝，
故所求的面积为×1×＝.
(3)(2021·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取
值范围是( )
A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
答案 A
解析 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
依题意知f′(x)＝3有两个实数解，
即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，
即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，
令t＝ex，
∴t>0，
∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，
∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，
φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－22＋，
∵t>0，∴φ(t) ＝φ＝，
max
又φ(0)＝3，故30)，
φ′(x)＝－－＋
＝
＝，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x) ＝φ(1)＝4，
min
又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
故φ(x)的值域为[4，＋∞)，
所以4a≥4，即a≥1，
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
课时精练
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log x)′＝
2
C．(5x)′＝5xlog x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
5
答案 B
解析 (log x)′＝，故B正确．
2
2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
答案 D
解析 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，
故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
3．(2020·广元模拟)已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是( )
答案 A
解析 f′(x)＝x－sin x，
∴f′(x)为奇函数，排除B，D，
又f′＝－sin ＝－<0，
故选A.
4．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(
)
A.∪ B.
C.∪ D.答案 C
解析 y′＝3x2－，
∴y′≥－，
∴tan α≥－，
又α∈[0，π)，
故α∈∪
故选C.
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)f′(3)
D．f(3)－f(2)f′(3)>0，
故A错误，B正确．
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
则f(3)－f(2)＝＝k ，
AB
由图知f′(3)0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
0 0 0
则 ＝ ＝2x－＝1.
0
∴x＝1，y＝1，则P(1,1)，
0 0
则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝＝.
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－
a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并
求此定值．
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.
又因为f′(x)＝a＋，
所以解得
所以f(x)＝x－.
(2)设P(x ，y)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x ，y)处的切线方程为y－
0 0 0 0
y＝(x－x)，即y－＝(x－x)．
0 0 0
令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x ，所以切线与
0
直线y＝x的交点坐标为(2x 2x)．
0, 0
所以曲线y＝f(x)在点P(x，y)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x|＝
0 0 0
6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值
为6.
13．(2020·青岛模拟)已知f(x)＝sin x＋cos x，f (x)是f(x)的导函数，即f(x)＝f′(x)，f(x)
1 n＋1 n 2 1 3
＝f′(x)，…，f (x)＝f′(x)，n∈N*，则f (x)等于( )
2 n＋1 n 2 022
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
答案 C
解析 ∵f(x)＝sin x＋cos x，
1
∴f(x)＝f′(x)＝cos x－sin x，
2 1f(x)＝f′(x)＝－sin x－cos x，
3 2
f(x)＝f′(x)＝－cos x＋sin x，
4 3
f(x)＝f′(x)＝sin x＋cos x，
5 4
∴f(x)的解析式以4为周期重复出现，
n
∵2 022＝4×505＋2，
∴f (x)＝f(x)＝cos x－sin x.
2 022 2
故选C.
14．已知函数 f(x)＝x＋，若曲线 y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则 a的取值范围是
．
答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)
解析 f′(x)＝1－，
设切点坐标为，
∴切线的斜率k＝f′(x)＝1－，
0
∴切线方程为y－＝(x－x)，
0
又切线过点(1,0)，
即－＝(1－x)，
0
整理得2x＋2ax－a＝0，
0
∵曲线存在两条切线，
故该方程有两个解，
∴Δ＝4a2－8(－a)>0，
解得a>0或a<－2.
15．已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值为
．
答案
解析 f′(x)＝3x2＋a，
∴f′(0)＝a，
又f(0)＝，
∴f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝a(x－0)，
即y＝ax＋，
故y＝ax＋与g(x)＝－ln x相切，
设切点坐标为(x，y)，
0 0
又g′(x)＝－，∴解得
16．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取
值范围．
解 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的
切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知，解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋
3≥1，解得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
