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第 5 讲 指数与指数函数
一、选择题
1.(2017·衡水中学模拟)若a＝，b＝x2，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是
( )
A.c1时，01，c＝logx<0，所以c1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.0，∴b，
∴a>c，∴b0，且a≠1)，如果以P(x ，f(x ))，Q(x ，
1 1 2
f(x ))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x )·f(x )等于( )
2 1 2
A.1 B.a
C.2 D.a2
解析 ∵以P(x ，f(x ))，Q(x ，f(x ))为端点的线段的中点在y轴上，
1 1 2 2
∴x ＋x ＝0.又∵f(x)＝ax，
1 2
∴f(x )·f(x )＝ax ·ax ＝ax ＋x ＝a0＝1.
1 2 1 2 1 2
答案 A
5.(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在
(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上
递减.
答案 B
二、填空题
6.×＋8×－＝________.
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
答案 2
7.(2015·江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________.
解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
三、解答题
9.已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1).
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.
解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3＝x3＝f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.
因此a>1时，f(x)>0.
10.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)
在R上是减函数).
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2
－1)＝f(－2t2＋1).
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，
即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，
故原不等式的解集为.
11.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－，
令f(x)＝x－，则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)>f(0)＝0－＝－1，
所以a>－1.
答案 D
12.(2017·宜宾诊断检测)已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
解析 ∵x∈(0，4)，∴x＋1>1，∴f(x)＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，
即x＝2时，取等号.∴a＝2，b＝1.因此g(x)＝2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平
移一个单位得到，结合图象知A正确.
答案 A
13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象
如图所示，那么g(x)＝________.
解析 依题意，f(1)＝，∴a＝，
∴f(x)＝，x>0.当x<0时，－x>0.
∴g(x)＝－f(－x)＝－＝－2x.
答案 －2x(x<0)
14.(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在
求出t；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵f(x)＝ex－，
∴f′(x)＝ex＋，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数.
又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切
x∈R都成立，
f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔
t2＋t≤x2＋x＝－对一切x∈R都成立，
⇔
⇔t2＋t≤(x2＋x) ＝－⇔t2＋t＋＝≤0，
min
又≥0，
⇔
∴＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.
