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课时规范练 19 利用导数研究不等式恒(能)成
立问题
1.(15分)(2024·四川广安模拟)已知函数f(x)=ln x-2ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
1
2.(15分)(2025·广东广州开学考试)已知函数f(x)=ax-ln x- .
2x
3
(1)当a=- 时,求f(x)的极值;
2
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
1
3.(15分)(2025·湖南衡阳开学考试)已知函数f(x)=2aln x- x2-x.
2
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
1
(2)当a>0时,不等式f(x)≤ex- x2+x-xa对∀x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
2
4.(15分)(2024·江苏无锡模拟)已知函数f(x)=-x+ln x,g(x)=xex-2x-m.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
答案：
1 1-2ax 1-2ax
1.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)= -2a= . 当a≤0时,f'(x)= >0,所以f(x)
x x x
1-2ax 1 1
在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,令f'(x)= =0,解得x= ,当x∈(0, )时,f'(x)>0;当x∈(
x 2a 2a
1 1 1
,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(0, )内单调递增,在( ,+∞)上单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在
2a 2a 2a
1 1
(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0, )内单调递增,在( ,+∞)上单调递减.
2a 2a
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(2)若f(x)≤0恒成立,则ln x-2ax≤0恒成立,又x>0,所以2a≥ 恒成立.令g(x)= ,只需
x x
1-lnx
2a≥g(x) .又g'(x)= ,令g'(x)=0,得x=e.当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,
max
x2
1 1 1 1
g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)
max
=g(e)= ,所以2a≥ ,解得a≥ ,即实数a的取值范围是[ ,
e e 2e 2e
+∞).
3 1
2.解 (1)f(x)=- x-ln x- ,定义域为(0,+∞),f'(x)=-
2 2x
3 1 1 -3x2-2x+1 (-3x+1)(x+1) 1 1
− + = = ,令f'(x)>0,得0 ,故f(x)在
2 x 2x2 2x2 2x2 3 3
1 1 1 1 3 1
(0, )内单调递增,在( ,+∞)内单调递减,故f(x)在x= 处取得极大值,极大值为f( )=- × -ln
3 3 3 3 2 3
1 3
− =-2+ln 3,无极小值.
3 2
1 1 1
(2)当x≥1时,不等式ax-ln x- ≥0恒成立,令g(x)=ax-ln x- ,x≥1,则g(1)≥0,故a- ≥0,解得a
2x 2x 2
1
≥ .
2
1 1 1 1 1 1
当a≥ 时,g(x)=ax-ln x- ≥ x-ln x- ,令t(x)= x-ln x- ,则t'(x)=
2 2x 2 2x 2 2x
1 1 1 x2-2x+1 (x-1)2 1 1
− + = = ≥0,故t(x)= x-ln x- 在[1,+∞)内单调递增,故t(x)≥t(1)=0,
2 x 2x2 2x2 2x2 2 2x
1 1 1 1
故ax-ln x- ≥0,满足题意,当a< 时,g(1)=a- <0,不合题意,综上,实数a的取值范围是[ ,+∞).
2x 2 2 2
1 2 -x2-x+2 -(x+2)(x-1)
3.解 (1)当a=1时,f(x)=2ln x- x2-x(x>0),所以f'(x)= -x-1= = ,因为
2 x x x
x>0,所以当x>1时,f'(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为
(1,+∞).
1 1
(2)因为f(x)=2aln x- x2-x,所以f(x)≤ex- x2+x-xa可化为2aln x+xa≤ex+2x,所以2ln xa+ eln xa ≤
2 2
ex+2x.构造函数g(t)=et+2t(t>0),显然此函数单调递增,所以由2ln xa+eln xa ≤ex+2x恒成立可得ln
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xa≤x对∀x∈[1,+∞)恒成立,当x=1时,此不等式为0≤1恒成立,当x>1时,可得a≤ 恒成立,构
lnx
x lnx-1
造函数h(x)= (x>1),求导可得h'(x)= (x>1).
lnx (lnx)2
当x>e时,h'(x)>0,h(x)在(e,+∞)内单调递增;
当10;当x>1时,
x
f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),所以x=1是f(x)的极大值点,f(x)
无极小值点.
1 1
(2)(方法一)设h(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-xex+m,x∈(0,+∞),则h'(x)= +1-(x+1)ex=(x+1)( -ex),令t(x)=
x x
1 1 1
-ex,x∈(0,+∞),则t'(x)=- -ex<0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以t(x)= -ex在(0,+∞)上单调递减.
x x2 x
1 1 1 1 1
又t( )=2-√e>0,t(1)=1-e<0,所以存在x
0
∈( ,1),使得t(x
0
)= −ex 0=0,即 =ex 0,则ln =ln ex
0
,
2 2 x x x
0 0 0
即-ln x =x .
0 0
因此,当00,即h'(x)>0,则h(x)单调递增;当x>x 时,t(x)<0,即h'(x)<0,则h(x)单调递减,
0 0
故h(x)
max
=h(x
0
)=ln x
0
+x
0
-x
0
ex 0+m=0-1+m≤0,解得m≤1,所以当m∈(-∞,1]时,f(x)≤g(x)恒成立.
(方法二)令m(x)=ex-x-1,m'(x)=ex-1,当x<0时,m'(x)<0;当x>0时,m'(x)>0,所以m(x)在(-∞,0)上单调
递减,在(0,+∞)上单调递增,所以m(x)≥m(0)=0,即ex≥x+1.
因为xex=ex+ln x,所以xex=ex+ln x≥x+ln x+1,当x+ln x=0时,等号成立,即xex-x-ln x≥1,当x+ln x=0时,
等号成立,所以y=xex-x-ln x的最小值为1.
若f(x)≤g(x)恒成立,则xex-x-ln x≥m恒成立,所以当m≤1时,f(x)≤g(x)恒成立.
所以m的取值范围是(-∞,1]
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