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第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A.－ B. C.－ D.
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝
sin 30°＝.
答案 D
2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
答案 D
3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝( )
A.－ B. C.－ D.
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故选C.
答案 C
4.(2017·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有( )
A.a＜c＜b B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，
∴c＜a＜b.
答案 D
5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝( )
A.－ B.－ C.－ D.－
解析 由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝.
∴tan 2α＝－，∴tan＝＝＝－.
答案 D二、填空题
6.(2016·石家庄模拟)若cos＝，则sin的值是________.
解析 sin＝sin＝
cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案 －
7.(2017·南昌一中月考)已知 α∈，β∈，且 cos＝，sin＝－，则 cos(α＋β)＝
________.
解析 ∵α∈，cos＝，
∴sin＝－，
∵sin＝－，∴sin＝，
又∵β∈，∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.
答案 －
8.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.
解析 sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
答案 －
三、解答题
9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1).
(1)若a⊥b，求的值；
(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值.
解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，
所以sin θ＝2cos θ，
所以＝＝.
(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，
|a－b|＝＝
＝2，
即1－2cos θ＋sin θ＝0.
又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，
所以sin θ＝，cos θ＝.
所以sin＝(sin θ＋cos θ)＝＝.10.设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值.
解 法一 由cos α＝－，π<α<，得sin α＝－，tan α＝2，又tan β＝，
于是tan(α－β)＝＝＝1.
又由π<α<，
0<β<可得－<－β<0，<α－β<，
因此，α－β＝.
法二 由cos α＝－，π<α<得sin α＝－.
由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
－＝－.
又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
11.(2016·云南统一检测)cos·cos·cos＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·
cos 40°·cos 80°＝－
＝－
＝－＝－＝－＝－.
答案 A
12.(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α
－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A.[－，1] B.[－1，]
C.[－1，1] D.[1，]
解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，
∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由⇒≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin，∵≤α≤π，
∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.
答案 C
13.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又 α∈，
∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.
答案14.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的
扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点P在
弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，
设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式.
(2)求S的最大值及相应的θ角.
解 (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边
形QEDP为矩形.
由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ
中，OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin
θ，S＝MN·PD＝·sin θ＝sin θcos θ－·sin2θ，θ∈.
(2)由(1)得S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)
＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，
因为θ∈，所以2θ＋∈，sin∈.
当θ＝时，S ＝(m2).
max
