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专题 04 圆（13 知识&17 题型&6 易错&5 方法清单）【清单01】 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【清单02】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆
AB
弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【清单03】垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单04】圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
【清单05】圆角角的概念
A
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 圆心角
2
）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 D C
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O【清单06】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形 D
C
∴
B
A E
【清单07】点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
P
r
d
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
P
r
d
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
r P
点在圆内 d 点在圆的内部 d < r 点P在圆内【清单08】直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
d
r
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
d
r
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
d
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
【清单09】切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
性质
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
判定
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
【清单10】切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角
三角形来求解．
【清单11】三角形内切圆与外接圆
1.三角形内切圆与外接圆的定义
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
三角形外接圆
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
三角形内切圆
个三角形叫做圆的外切三角形.
2. 三角形内心与外心
圆心的 圆心的确定方法 图形 圆心的性质
名称
外心 三角形三边中垂线的交点 A 1)OA=OB=OC
O 2)外心不一定在三角形的内部．
B C
内心 三角形三条角平分线的交点 A 1)到三边的距离相等；
2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、
O
∠ACB；
B C
3)内心一定在三角形内部．
【清单12】正多边形与圆的有关概念
1. 正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
【清单13】弧长和扇形面积
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且 n
180
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥侧
圆锥全面积公式 S =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥全
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【题型一】圆的基本性质
【典例1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∠BCD=30°，则
∠ABC等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．弦是直径
【变式2】（24-25九年级上·广西防城港·期末）我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽
象成如图所示的几何图形，已知AC,BD为⊙O的直径，AC⊥BD，四边形EFGH是正方形，若
⊙O的面积为4πcm2，则图中阴影部分的面积是（ ）A．πcm2 B．2πcm2 C．1.5πcm2 D．3πcm2
【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（
）
A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变
C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变
【题型二】垂径定理及应用
【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若
CD=8cm,MB=2cm，则半径的长为 cm．
【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，
则OC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A´B，点O是这段圆弧
所在圆的圆心．已知AB=200米，C是A´B上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=40米．则这段弯路
的半径是 米．【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一个直径为10cm的圆柱形输油管的横截面，若
此时油面宽AB=6cm，则油面的深度为 ．
【题型三】点与圆上一点最值问题
【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，
2为半径作⊙A．若点E在⊙A上，点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
1
【变式1】（21-22九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线y= x2−1与x轴交于A，B两点，D是以点
9
C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是
（ ）
3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 2【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半
径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，∠AOB=60°，C为圆O上一动点
（不与A、B重合），D为AC的中点．若圆O的半径为2，则线段BD的长的最大值为 ．
【题型四】圆周角定理
【典例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，AB 为⊙O 的直径，已知圆周角∠BCD=30° ，则
∠ABD= （ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，如果∠ABC=70°，
那么∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．70°【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，O为圆心，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=50°，
则∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，AB是⊙O的直径，B是C´D的中点，连接AC，OD，
若∠CAB=24°，则∠BOD=（ ）
A．48° B．24° C．66° D．33°
【题型五】圆内接四边形
【典例5】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是B´D的中点，
∠A=40°，则∠CBD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式1】（2025·福建龙岩·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是B´D的中点，AD∥BC，
∠BCD=110°，则∠ACB的度数是（ ）A．20° B．35° C．45° D．55°
【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，连接OB，
OD，则∠BOD的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【变式3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，
∠A=70°，则∠BCE的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【题型六】点与圆的位置关系的判定
【典例6】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系
是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法判断
【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，点O为AB
的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列判断正确的是（ ）
A．点C在⊙O外 B．点C在⊙O上
C．点C在⊙O内 D．无法判断【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为(4,3)，
则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的⊙O及点P，M，N，Q．若
OP=3，OM=4，ON=5，OQ=6，则在⊙O外的点是（ ）
A．P B．M C．N D．Q
【题型七】三角形的外接圆
【典例7】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A(2,2)，B(4,0)，O
三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点D(2,1) B．点E(2,0) C．点F(3,0) D．点G(2,−1)
【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r=6cm，则斜边AB的
长是（ ）
A．5cm B．6.5cm C．12cm D．13cm
【变式2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点
【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为
(4,−1)(1)将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到对应的△A B C ，请画出△A B C ，并写出点B
1 1 1 1 1 1 1
的坐标；
(2)请在图中标出△ABC的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算△ABC的外接圆的面积．
【题型八】直线与圆的位置关系的判定
【典例8】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP的长为
4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与
⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若⊙O的半径为1，点O到某条直线的距离为2，则这
条直线可能是（ ）
A．直线l B．直线l C．直线l D．直线l
1 2 3 4
【变式3】（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心A到直线m的距离为d，⊙A的半径为r，若d、r是方程
x2−7x+12=0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交
【题型九】切线判定与性质综合
【典例9】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且A´E=D´E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
(1)求证：GF是⊙O的切线；
(2)若AG=6，¿=6❑√2，求△GOE的面积．
【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·月考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，
过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．
(1)求证：EA与⊙O相切；
(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．
【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C
为OB边的中点，⊙O经过点C，BD与⊙O相切于点D．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AB=2，求AD的长．
【变式3】（22-23九年级上·甘肃平凉·期末）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB，CD与
OA的延长线交于点D．(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．
【题型十】切线长定理的应用
【典例10】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于
A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA=12，则△PMN的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的
直径，∠P=50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若AD=10,BC=12，
则四边形ABCD的周长是（ ）
A．22 B．64 C．52 D．44
【题型十一】三角形的内切圆
【典例11】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D,E,F．
若△ABC的周长为20,BC=6，则AD=（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E
点，若BD=1，AD=4，则CE=（ ）
3 5 4 5
A． B． C． D．
2 2 3 3
【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若
∠BOC=140°，则∠BIC的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【变式3】（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应
在三角形（ ）
A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
【题型十二】正多边形与圆的综合
【典例12】（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A．❑√3 B．6 C．24❑√3 D．12❑√3【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若
∠FCD=70°，则∠FDC度数为（ ）
A．64° B．72° C．74° D．80°
【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边
形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、
也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六
边形ABCDEF，则BF的长为（ ）
A．2❑√3 B．4❑√3 C．6❑√3 D．6
【题型十三】弧长的计算
【典例13】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为
（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，AB是圆O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，AB=6，
则B´D的长为（ ）A．π B．4π C．2π D．45π
【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4❑√2，点E在边BC上，且
BE=AB，连接AE，以A为圆心，AE长为半径画弧，交AD边于点F，将扇形EAF剪下来做成圆锥，
则该圆锥底面半径为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中A ´′ A的长为
（ ）
A．4π B．6π C．8π D．16π
【题型十四】扇形面积的计算
【典例14】（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为120°，则此扇形的面积为
（ ）
8 4 16
A． π B． π C． π D．16π
3 3 3
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭
产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为160°，半径是30cm，则扇
形的面积为（ ）cm2．40π 80π
A． B． C．400π D．800π
3 3
【变式2】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，
CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．16❑√3−8π B．16❑√3−4π C．32❑√3−8π D．32❑√3−4π
【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，
AB的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． 8π B． 9π C． 10π D． 12π
【题型十五】圆锥的侧面积
【典例15】（24-25九年级上·广东江门·期末）若圆锥的底面半径长为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面
积是（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为
（ ）
A．10π B．12π C．15π D．7.5π【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的全面积是（
）
A．6π B．8π C．12π D．16π
【变式3】（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是
同心圆，O′ A、O′B分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为8π，OA=2❑√13，
小圆柱的体积为6π，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．❑√37π B．❑√37π C．❑√7π D．❑√7π
【题型十六】不规则图形的阴影面积
【典例16】（24-25九年级上·山东威海·期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，分别以点
B，点C为圆心，以AB，AC的长为半径画弧，分别交BC于点E，点D，则图中阴影部分的面积为
（ ）
25 25 25π 25π−50
A． B． C． D．
2 4 4 4
【变式1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=1，以B为圆心，BA为半径
作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE，则图中阴影部分的面积为（ ）
π π π 1 π 1
A． B． C． + D． +
4 2 2 2 4 2【变式2】（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，
CE⊥AB于点E，连接DE，若AB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
9 9 ❑√3 2 ❑√2 3
A． ❑√3−3π B． ❑√3−2π C． + π D． + π
2 2 2 3 3 2
【变式3】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，∠A=90°，以点
A为圆心，以AB的长为半径作B´C，以BC为直径作半圆BF´C，则阴影部分的面积为（ ）
A．12π+8 B．8 C．8π+8 D．2π+8
【题型十七】圆锥侧面最短路径问题
【典例17】（2025·广东梅州·一模）综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制
作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点
A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．【变式1】（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长AB=AC=4cm，P为母线AC的
中点，BC为圆锥底面圆的直径，两条母线AB、AC形成的平面夹角∠BAC=60°．在圆锥的曲面上，
从点B到点P的最短路径长是 ．
【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为n°、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半
径为r，点A与点A′重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材
料．(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，AB=6cm，R=6cm，C是PB中点，现要从点A到点
C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
【变式3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在
数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若
圆柱的高AB为2cm，底面直径BC为8cm．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长；（结果保留根号和π）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半
径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的
最短距离．【题型01 ：垂径定理及应用】
1．已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】
1．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点
D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（ ）
A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B
都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】
1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与
⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将OP沿x轴正方向平移，
使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
3．如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°， O 沿直线OO 平移，当 O 平
1 2 1 2 2 1 2 2
移到与⊙ O 和AB所在直线都有公⊙共点时，令圆心距OO＝x，则x的⊙取值范围是（ ） ⊙
1 1 2
⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4❑√3 D．2≤x≤8
【题型04 ：圆周角定理】
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．126° D．90°
2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，则∠CAD=（ ）
A．23° B．28° C．31° D．33°
【题型05：三角形的内切圆】
1．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=2，△ABC的周长
为14，则BC的长为 ．【题型06 ：求不规则阴影部分面积】
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC．若AB=2,BC=1，则阴影部分的面积为
（ ）
❑√3 π ❑√3 2π ❑√3 π
A． + B． + C．π D． +
2 3 4 3 4 3
2．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，
BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．π−1 B．π−2 C．π−3 D．4−π
【题型一】垂径定理及其应用
1.圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
¿ ¿ ¿ ¿
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④AC=BC；⑤AD=BD；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
2. 常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角
【题型二】三角形外接圆
1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点；
实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！
2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；
常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段
【题型三】切线的判定和性质
切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径；
【题型四】三角形的内切圆
1.三角形的内心：三角形条角平分线的交点；
实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！
2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；
常做辅助线：作内心到三边的垂线段
【题型五】弧长和扇形的面积
nπr nπr2 1
L = ；S = = Lr；
弧长 180 扇形 360 2
公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径
