文档内容
专题04 实际问题与二次函数
6大高频考点概览
考点01 图形问题
考点02 拱桥问题
考点03 投球问题
考点04 销售问题
考点05 面积问题
考点06 其它问题
考点01 图形问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
．设矩形菜园的边 的长为 m，面积为S ，其中 ．有下列结论：
① 与 之间的函数关系为 ；
② 的取值范围为 ；
③ 的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为 ；
④矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．
表示出面积化简可以判断①；根据墙长为 ，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积 列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性
质求出最大值判断④．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边 的长为 ，则 的长为 ，
∵墙长为 ，
∴ ，
解得： ，
∴x的取值范围为 ，故②错误；
当 时，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为 ，故③正确；
∵ ，
∵ ，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ，故④正确．
故选：D．
二、非选择题
2．（24-25九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，
设矩形 菜园的面积为 （单位：米 ）， 的长为 （单位：米）则 关于 的函数关系式是
．【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由 ， ，再利用面积
公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线 ， 互相垂直， ．当 ，
的长是多少时，四边形 面积最大？
【答案】当 ， 时，四边形 面积最大
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，设 ，四边形 面积为S，则 ，进而求出
，再求出最值即可．
【详解】解：设 ，四边形 面积为S，则 ，
，，
∴抛物线开口向下，
当 时， ，
即当 ， 时，四边形 面积最大．
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架 ，铁
丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架 的面积为144平方厘米，则 的长为多少厘米？
(2)当 的长为多少厘米时，矩形 面积最大？
【答案】(1) 的长为8厘米或12厘米．
(2)10
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
（1）设 的长为x厘米，则有 厘米，然后根据题意可得方程 ，进而求解即
可；
（2）由（1）可设矩形框架 的面积为S，则有 ，然后根据二次函数
的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设 的长为x厘米，则有 厘米，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∵ ，∴ ，
∴ 都符合题意，
答： 的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架 的面积为S平方厘米，则有：
，
∵ ，且 ，
∴当 时，S有最大值，
∴当 的长为10厘米时，矩形 面积最大．
5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为 的栅栏，围成一块一边靠墙
的矩形试验田，墙长为 ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为
（单位： ），面积为S（单位： ）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ．
【答案】(1) ；
(2)20；800
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据题意，得矩形的长为 ，根据面积公式列出方程即可．
（2）构造二次函数，求最值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关
键．
【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为 ，
故 ，
根据题意，得 ，且 ，解得 ，
故 ，且 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
由 ，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ．
故答案为：20,800．
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩
形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为 米，该窗口的
透光面积为 平方米（计算透光面积时材料忽略不计）．
(1)求 关于 的函数表达式．
(2)当 取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
【答案】(1)
(2)当 时，透光面积最大，最大透光面积是 平方米
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次
函数的性质．
（1）先结合图形得出下部分矩形的长为 ，再根据矩形的面积公式求解即可；
（2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长 米，
∴ ，∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，y最大，最大值为 ，
∴当 时，透光面积最大，最大透光面积是 平方米．
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用 长的篱笆材料围成一个矩形树苗
培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为 ，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱
笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在 边上开两扇宽为 的门（门不用篱笆材料）．设
垂直于墙的边 的长为 ．
(1) ________ ．（用含有 的代数式表示）
(2)求矩形 的面积 与 的长 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(3)当 取何值时，矩形 的面积为 ？
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据长方形的周长公式及题意可直接进行求解；
（2）由（1）结合长方形面积公式可直接进行求解；
（3）由（2）可把矩形 的面积为 代入进行求解即可【详解】（1）解：由题意得： ；
故答案为 ；
（2）解：由题意可得矩形 的面积 ．
∵ ，解得 ．
自变量 的取值范围为 ．
（3）解：由题意可得 ，整理得 ，
解得 ， ．
，
不符合题意，舍去，
．
答：当 时，矩形 的面积为 ．
8．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角
（两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 两边），设 ，矩
形 的面积为 ．
(1)写出 与 的函数关系式（不需写出 的取值范围）；
(2)若花园的面积为 ，求 的值；
(3)若在 处有一棵树与墙 的距离分别是 和 ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的
粗细），求花园面积 的最大值．
【答案】(1)(2) 的值为 12 或 16
(3)花园面积 的最大值为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得： ，然后进行计算即可解答；
（3）根据题意可得： ，从而可得： ，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： ；
（2）解：由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴ 的值为 12 或 16 ；
（3）解：由题意得： ，解得： ，
∵ ，
此时 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
∴花园面积 的最大值为 ．
考点02 拱桥问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥
拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主
桥拱所在抛物线可以表示 ，则主桥拱最高点P与其在水中倒影 之间的距离为
（ ）
A．24米 B．22米 C．12米 D．11米
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由 知道抛物线经过点 ，进而求出k的值，最
高点 与其在水中倒影 之间的距离即为 ．
【详解】解：由题意知 ，抛物线经过点 ，代入解析式中：
得到： ，
解得 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴主桥拱最高点 与其在水中倒影 之间的距离为 米，
故选：B．
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国
十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 ，正常水位时水面宽
为16m，当水位上升3m时，水面宽 为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽 米，求出当 时求得 ，
再根据水位上升3米时 ，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵ 米，
∴当 时， ，
当水位上升3m时， ，
把 代入 得： ，解得： ，
此时水面宽 米．
故选B．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位 时，水面宽为
，当水位上升 到达 处，此时水面宽为 ．若水位继续以 的速度上升，求从 处淹
到拱桥顶还需要多少小时．
【答案】5小时
【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于
对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为 ，由题意设 ，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到 的距离，即可求解．
【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x
轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
由题意设 ，则 ；
把B、D两点坐标代入函数解析式中，得 ，解得： ，
∴ ， ，
∴顶点到 的距离为1，
∴从 处淹到拱桥顶需要的时间为 （小时），
答：从 处淹到拱桥顶还需要5小时．
4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知
该拱门接触地面的跨度为 ，拱门顶端最高处的高度为 ，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴
建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求拱门所在抛物线的函数表达式；
(2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为 的支柱，支柱的顶端恰好在
抛物线上，求这两根支柱之间的距离．
【答案】(1) 或(2)
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用；
（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的表达式为 ，再进一步求解即可；
（2）令 ，可得 ，再解方程，并进一步求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的表达式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
∴拱门所在抛物线的函数表达式为 或 ．
（2）解：令 ，可得 ，
解得 ， ，
（m），
∴这两根支柱之间的距离为 m．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横
断面为抛物线，抛物线的最高点 离地面 的距离为 米，宽度 为 米．
(1)以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为 米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽
米、高 米的车辆？请通过计算说明．
【答案】(1)该抛物线的表达式为 ，自变量 的取值范围是 ；(2)其中的一条行车道能行驶宽 米、高 米的车辆．
【分析】（1）根据题意得出 ， ， ，设该抛物线的表达式为 ，再用
待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式求出，当 时，自变量 的值，即可得出 在什么范围内能通过题中的车辆，
根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解．
【详解】（1）解：依题得： ， ， ，
设该抛物线的表达式为 ，
将 代入得 ，
该抛物线的表达式为 ，其中自变量 的取值范围是 ；
（2）解：由（1）得，抛物线的表达式为 ，
则当 时， ，
解得 ，
其中 ， ，
即在 范围内，可通过高 米的车辆，
要使双向行车道（正中间有一条宽为 米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽 米、高 米的车辆，
则能通过高 米的车辆的宽度至少需为 ，
，
其中的一条行车道能行驶宽 米、高 米的车辆．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握
二次函数的实际应用．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部 宽为 ，顶部 距
地面的高度为 ．(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 ，装货宽度为 ，那么这辆汽车能否顺利
通过大门？
【答案】(1)
(2)这辆汽车能够通过大门
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象
的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．
（1）先过 的中点作 的垂直平分线建立直角坐标系，得出点 、 、 的坐标，用待定系数法即可
求出过此三点的抛物线解析式
（2）根据题意，判断点 或点 与抛物线的关系即可．
【详解】（1）解：如图，过 的中点作 的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点 ， ， 的坐标
分别为 ， ， ．
设抛物线的表达式为 ．将点 代入得
，解得 ，
故此抛物线的表达式为 ；
（2） 货物顶点距地面 ，装货宽度为 ，
只要判断点 或点 与抛物线的位置关系即可．
将 代入抛物线，得 ，
点 和点 都在抛物线内．
这辆汽车能够通过大门．
7．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形 构成，矩形的长 为
，宽 为 ，隧道顶端D到路面的距离为 ，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像
头到 的水平距离为 ，求摄像头到地面的竖直距离．
【答案】(1)
(2)摄像头到地面的竖直距离为
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；
（2）令 ，求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为 ，点 的坐标为 ，设抛物线解析式为 ，
代入 得， ，
解得：
∴该抛物线的函数解析式为
（2）解：依题意，当 时，
答：摄像头到地面的竖直距离为
8．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图1是抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函
数的表达式为 ，在正常水位时，水面宽 米，当水位上升3米后，则水面宽 米
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用．根据正常水位时水面宽 米，求出当 时 ，再根据水
位上升3米时， ，代入解析式求出x即可．
【详解】解：∵ 米，
∴当 时， ，
当水位上升3米时， ，
把 代入 得， ，
解得 ，
此时水面宽 米，
故答案为： ．考点03 投球问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）具
有 的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球的飞行高度为 时，小球飞行的时间是
C．小球的飞行高度可以达到
D．小球飞行 时飞行高度为 ，并将继续上升
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出 的两根，两根之差即为小球的
飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程 的意义为
时所用的时间，据此解答．
【详解】解： 的两根 与 ，即 时所用的时间，
∴小球的飞行高度是 时，小球的飞行时间是 或 ，故B不符合题意；
，
∴对称轴直线为： ，最大值为 ，故C不符合题意；
时， ，此时小球继续下降，故D不符合题意；
∵当 时， ， ，
，∴小球从飞出到落地要用 ，故A符合题意．
故选：A．
二、非选择题
2．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方 的A处射门，已知
球门高 为 ，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为 时，球达
到最高点，此时球的竖直高度为 ．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了 米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均
保持不变，结果恰好在点O正上方 处进球，求n的值．
【答案】(1)
(2)球不能射进球门
(3)1
【分析】本题考查的是二次函数的应用，
（1）用待定系数法求出表达式即可；
（2）计算当 时，y的值与 比较即可得出答案；
（3）由题意得出移动后的抛物线为 ，把点 代入求出结论即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线表示的二次函数的表达式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，∴抛物线的表达式为 ；
（2）当 时， ，
∴球不能射进球门；
（3）由题意，移动后的抛物线为 ，
把点 代入，得 ，
解得 （舍去）， ，
∴n的值为1．
3．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿
抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部 处，山坡
上有一点 ，距离点 的水平距离为30米，垂直高度3米， 是高度为4米的防御墙．
(1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出 的取值范围；
(2)计算说明石块能否飞越防御墙 ．
【答案】(1) （ ）
(2)石块能飞越防御墙 ．理由见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设石块运动轨迹的函数解析式为 ，把点 代入解析式，待定系数法求解析式，
即可求解；
（2）把 代入 ，求得 的值，即可求解．
【详解】（1）解：设石块运动轨迹的函数解析式为 ．把点 代入解析式，得 ，解得 ，
∴石块运动轨迹的函数解析式为 ，
即 （ ）．
（2）石块能飞越防御墙 ．
理由：把 代入 ，
得 ．
∵ ，
∴石块能飞越防御墙 ．
4．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起
跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，
着陆坡上的基准点 为飞行距离计分的参照点，落地点超过 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥
会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点 到起跳台的水平距离为 ，高度为 为定
值）．设运动员从起跳点 起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为： ．
(1)求c的值；
(2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝ ，b＝ ，求基准点K的高度h；
(3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，并说
明理由．
【答案】(1)66
(2)基准点K的高度h为
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
（1）根据起跳台的高度 为 ，即可得 ；（2）由 ， ，得到 ，根据基准点 到起跳台的水平距离为 ，即得基
准点 的高度 为 ；
（3）由题意设抛物线解析式为 ，可得抛物线解析式为 ，当 时，
，从而可知他的落地点能超过 点．
【详解】（1）解： 起跳台的高度 为 ，
，
把 代入 得： ，即 ，
所以 的值为66；
（2）解： ， ，
，
基准点 到起跳台的水平距离为 ，
，
答：基准点 的高度 为 ；
（3）解：他的落地点能超过 点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，
抛物线的顶点为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得： ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
他的落地点能超过 点．
答：他的落地点能超过 点．
5．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）
之间具有函数关系 ，则小球飞出 s时，达到最大高度．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
把函数关系式配方成顶点式 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解： ，
∵ ，
当 时，h的最大值为20，
即 时，h的值最大，
故答案为：2．
考点04 销售问题
地 城
一、非选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）某商场销售一批小商品，每天可以售出20件，每件的利润为50元．经
市场调查发现，如果每件小商品每降价1元，商场每天可以多售出2件．设每件小商品降价x元 ．
(1)每件小商品的利润为______元，商场每天可以售出______件．（用含x的式子表示）
(2)若该商场每天的利润为1600元，求x的值．
(3)该商场每天的最大利润______元，此时x的值为______．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)1800，20
【分析】本题考查了二次函数及其应用问题，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方
程和函数解析式是解题的关键．（1）根据根据每件的利润为50元即可表示出降价后的利润；平均每天可售出20件，每件小商品每降价1
元，商场平均每天就可以多售出2件即可表示商场平均每天可售的件数；
（2）利用利润 销售件数即可列得利润的方程，求解即可．
（3）设该商场每天的利润为w，根据题意表示出w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵设每件小商品降价x元 ，每件的利润为50元，
∴每件小商品的利润为 ，
∵每天可以售出20件，每件小商品每降价1元，商场每天可以多售出2件
∴商场每天可以售出 件；
（2）∵若该商场每天的利润为1600元
∴
解得 或 ；
（3）设该商场每天的利润为w
根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下
∴当 时，w有最大值1800
∴该商场每天的最大利润1800元，此时x的值为20．
2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：
每周销售量 （件）与销售单价 （元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且 ） 部分数
据如下表所示：
销售单价 （元/件） 120 130 135
销售量 （件） 80 60 50
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求每周销售这种T恤衫获得的利润 （元）的最大值；
(3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？【答案】(1)
(2)W最大值 （元）
(3)销售单价为110元
【分析】本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为 ，用待定系数法求解即可；
（2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答
案；
（3）若获得等于1000元周利润，则 ，解方程并根据二次函数的性质及二次函数
与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为 ，把 和 分别代入，
得 ，
解得 ，
；
（2）依题意， ，
，
时，W有最大值，
W最大值 元 ；
（3）依题意，当 时， ，
解得 ， ，
，尽可能让利于顾客，销售单价为110元．
3．（24-25九年级上·全国·期末）某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，
每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1
元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为 元，日销售量为y件．
(1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________．
(2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元
【分析】本题考査一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的
关键．
（1）销售量 降价前每日销售量 降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）设日销售利润为 元，日销售利润 每件所获利润 日销售量，据此即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ；
（2）解：设日销售利润为W元．
由题意，得 ．
∵ ，
∴当 时， (元)．
答：该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元．
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 元，市
场调查发现，该种健身球每天的销售量 （个）与销售单价 （元）有如下关系：
，设这种健身球每天的销售利润为 元．
(1)如果销售单价定为 元，那么健身球每天的销售量是______个；
(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) ；(2)该种健身球销售单价定为 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题的关键．
（ ）令 时，求出 的值即可；
（ ）先求出 ，然后通过二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：在 中，令 ， ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得， ，
∵ ， ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，
答：该种健身球销售单价定为 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 元．
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）已知某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，售
价为每件240元．该商场在试销中发现，如果以定价售出，那么每天可售出200件；如果售价每降低1元，
那么销售量就可以增加10件．
(1)当售价为每件多少元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)若商场想每天获得60000元的利润，同时又要减少库存，则该电子产品的售价应定为每件多少元？
【答案】(1)当售价为每件180元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大，最大利润是64000元；
(2)该电子产品的售价应定为每件160元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设销售单价为x元，获得的利润为y元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出y与x的函数关系式，
并利用二次函数的性质求解即可；
（2）设该电子产品的手机应定为每件m元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设销售单价为x元，获得的利润为y元，
由题意得
，
∵ ，
∴当 ，即 时，y有最大值，最大值为64000，
答：当售价为每件180元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大，最大利润是64000元；（2）解：设该电子产品的售价应定为每件m元，
由题意得， ，
整理得 ，
解得 或 ，
∵又要减少库存，
∴ ，
答：该电子产品的售价应定为每件160元．
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，
每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯
降价 元（ 为正整数），每月的销量为 件．
(1)写出 与 之间的函数关系式和自变量 的取值范围；
(2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) ；
(2)当定价为49元时，每月的利润最大为1178元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，
（1）利用每月的销量 每件台灯降价的钱数，可找出y与x之间的函数关系式，结合售价不低于进
价，即可确定自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为w元，利用月销售利润 每件的销售利润 月销售量，可找出w关于x的函数关
系式，再利用二次函数的性质及x的取值范围，即可解决最值问题．
熟练掌握根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式和根据各数量之间的关系，找出w关于x
的函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵售价不低于进价，
∴ ，
解得 ，
∴自变量x的取值范围 且 为整数；
（2）解：设每月的销售利润为 元，，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时 随x的增大而减小 ，
又∵ 且x为整数，
∴当 时， 有最大值 ，
，
∴当定价为49元时，每月的利润最大为1178元．
7．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为 元的台灯以 元售出．每月能售出 个．按
商场管理规定，售价在 元至 元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨 元，其销售
量就减少 个．
(1)为了实现每月 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为 元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含 的代数式表
示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
【答案】(1) ， ；这种台灯的售价应定为 元，即每个台灯应涨价 元；
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为 元，理由见解析．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，
根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式．
（1）依据题意，由这种台灯的售价应定为 元，那么就少卖出 个，根据利润 售价 进价，可
列方程求解；
（2）依据题意，设每月销售利润为 ，该商场决定把售价上涨 元，根据总利润 单件利润 数量，列出
函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为 元，
每月台灯的销售量为： ．
又 每个台灯的利润为： ，
，，
， 舍去 ．
答：这种台灯的售价应定为 元，即每个台灯应涨价 元．
故答案为： ； ．
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为 元．理由如下：
由题意，设每月销售利润为 ，该商场决定把售价上涨 元，
，
，
当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时，售价为 元 ， 取最大值，此时 ，
答：要使每月的销售利润最大，售价应定为 元．
考点05 面积问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
．设矩形菜园的边 的长为 m，面积为S ，其中 ．有下列结论：
① 与 之间的函数关系为 ；
② 的取值范围为 ；
③ 的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为 ；④矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．
表示出面积化简可以判断①；根据墙长为 ，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取
值范围，从而可判断②；根据矩形的面积 列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性
质求出最大值判断④．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边 的长为 ，则 的长为 ，
∵墙长为 ，
∴ ，
解得： ，
∴x的取值范围为 ，故②错误；
当 时，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为 ，故③正确；
∵ ，
∵ ，∴当 时，S有最大值，最大值为 ，故④正确．
故选：D．
二、非选择题
2．（24-25九年级上·全国·期末）已知直线 与抛物线 交于点 ， ，抛物
线的顶点为点 ，对称轴与直线 交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点 为直线 上方对称轴左侧抛物线上一点，当 的面积最大时，求 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积
求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将 代入 求出k值，进而求出点B的坐标，再将A，B的坐标代入 ，利用
待定系数法求解；
（2）将（1）中解析式变为顶点式求出对称轴，进而求出D点坐标，作 轴，交直线 于点E，设
点P的横坐标为m，则 ， ，则 ， ，变形
为顶点式，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入 ，得： ，
解得 ，
直线 解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
对称轴与直线 交于点 ，
；
如图，作 轴，交直线 于点E，
设点P的横坐标为m，则 ， ，
，
，
，
当 时， 的面积最大，
此时点P的坐标为 ．
3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 、 ，与y轴交
于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为 ，且点P不与点C重合．(1)写出点C的坐标为______；线段 的长为______．
(2)写出 的面积 ______．
(3)抛物线上存在点P，使 的面积等于 的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
【答案】(1) ；4
(2)6
(3)P的坐标 或 或
【分析】（1）将 代入 ，求得出C点坐标，令 求出 ， ，即可得到线
段 的长；
（2）由（1）得到 ， ，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）设 ，利用 的面积等于 的面积列方程求解即可．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类
讨论得出是解题关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
当 时， ，
解得 或 ，
∴ ， ，
∴ ；（2）解：∵点C的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的面积 ；
（3）解：设 ，
∵ 的面积等于 的面积，
∴ ，
解得 或 或 （舍去），
∴P的坐标 或 或 ．
4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）飞机着陆后滑行的距离 （单位： ）关于滑行的时间 （单位：
）的函数解析式是 ．
(1)求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行距离为 时，滑行的时间是多少？
【答案】(1)飞机着陆后滑行 才能停下来，滑行的最大距离是
(2)当飞机滑行距离为 时，滑行的时间是
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解题时要
熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值，进而可以判断得解；
（2）依据题意，结合（1）令 ，进而计算即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∵ ，
当 时，飞机着陆后滑行的距离 最大，滑行的最大距离是 ．
答：飞机着陆后滑行 才能停下来，滑行的最大距离是 ．
（2）解：由题意，令 ，
解得： （不合题意，舍去）或 ．答：当飞机滑行距离为 时，滑行的时间是 ．
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用 长的篱笆材料围成一个矩形树苗
培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为 ，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱
笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在 边上开两扇宽为 的门（门不用篱笆材料）．设
垂直于墙的边 的长为 ．
(1) ________ ．（用含有 的代数式表示）
(2)求矩形 的面积 与 的长 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(3)当 取何值时，矩形 的面积为 ？
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据长方形的周长公式及题意可直接进行求解；
（2）由（1）结合长方形面积公式可直接进行求解；
（3）由（2）可把矩形 的面积为 代入进行求解即可
【详解】（1）解：由题意得： ；
故答案为 ；
（2）解：由题意可得矩形 的面积 ．
∵ ，解得 ．
自变量 的取值范围为 ．
（3）解：由题意可得 ，整理得 ，
解得 ， ．
，不符合题意，舍去，
．
答：当 时，矩形 的面积为 ．
6．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角
（两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 两边），设 ，矩
形 的面积为 ．
(1)写出 与 的函数关系式（不需写出 的取值范围）；
(2)若花园的面积为 ，求 的值；
(3)若在 处有一棵树与墙 的距离分别是 和 ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的
粗细），求花园面积 的最大值．
【答案】(1)
(2) 的值为 12 或 16
(3)花园面积 的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得： ，然后进行计算即可解答；
（3）根据题意可得： ，从而可得： ，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： ；
（2）解：由题意得： ，整理得： ，
解得： ，
∴ 的值为 12 或 16 ；
（3）解：由题意得： ，解得： ，
∵ ，
此时 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
∴花园面积 的最大值为 ．
7．（24-25九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点
A．已知点A的横坐标为 ，其中 ．点B的坐标为 ．
(1)当 时，线段 的长为______；
(2)当抛物线经过点B时，求m的值；
(3)该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低
点的纵坐标之差为 时，求m的值；
(4)作点A关于y轴的对称点C，连结 与y轴交于点D，若抛物线与 交于E（不与点A重合）．当
的面积与 的面积比为 时，直接写出m的值．【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)
【分析】（1）先求出点B的坐标为 ， ，再由勾股定理计算即可得解；
（2）将 代入抛物线 得 ，求解即可；
（3）求出 ，抛物线的顶点坐标为 ，再分两种情况：当 时；当 时，分别求解即
可；
（4）由（3）可得： ，则 ，求出直线 的解析式为 ，
则 ，求出 ，得到 ，从而可得
，证明四边形 为平行四边形，
得出 ，进而可得 ，结合 的面积与
的面积比为 ，得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点A的横坐标为 ，点B的坐标为 ，
在 中，当 时， ，即 ，∴ ；
（2）解：将 代入抛物线 得： ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：在 中，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ；
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）；
综上所述，m的值为 或 ；
（4）解：由（3）可得： ，
∵作点A关于y轴的对称点C，
∴ ，，
设直线 的解析式可得： ，
将 ， 代入解析式可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∵抛物线与 交于E，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积与 的面积比为 ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、平行四边形的判定与性质等知识，熟练
掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
8．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架 ，铁
丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架 的面积为144平方厘米，则 的长为多少厘米？
(2)当 的长为多少厘米时，矩形 面积最大？
【答案】(1) 的长为8厘米或12厘米．
(2)10
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
（1）设 的长为x厘米，则有 厘米，然后根据题意可得方程 ，进而求解即
可；
（2）由（1）可设矩形框架 的面积为S，则有 ，然后根据二次函数
的性质可进行求解．【详解】（1）解：设 的长为x厘米，则有 厘米，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 都符合题意，
答： 的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架 的面积为S平方厘米，则有：
，
∵ ，且 ，
∴当 时，S有最大值，
∴当 的长为10厘米时，矩形 面积最大．
考点06 其它问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·天津南开·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶
端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地
处离池中心3m，则水管的长为（ ）
A． m B．2m C． m D．1m
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把 代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与 轴的交点即可．
【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立
平面直角坐标系，
由题意，抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的一个交点坐标为 ，
设抛物线的解析式为： ，
把 代入抛物线解析式得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
即：水管的长为 m；
故选A．
2．（24-25九年级上·全国·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出
的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器 喷水时的截面示意图，喷水口 点离地高度为 ，喷出的水
柱在离喷水口水平距离为 处达到最高，高度为 ，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界 点处．
喷灌器 与围墙的距离 为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式．
先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令 求出 的值，即可得到 的值．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
∵点 在函数图象上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴
故选：C．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上
高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱
的最高点为P， ， ，水嘴高 ，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离 是
m．【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原
点， 所在的直线为x轴， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物
线的解析式为： ，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到 的
长度．
【详解】解：以A为坐标原点， 所在的直线为x轴， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图
所示，
则 ， ， ，
∵点P是最高点，
∴设抛物线的解析式为： ，
将点D坐标代入，可得： ，
解得： ，
∴ ，
令 ，解得： ， ，
∴点 ，
∴ ，故答案为：5．
4．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研
究：发现水柱距地面的高度 与水柱距喷水头的水平距离 之间近似满足函数关系
的图象，已知水柱在距喷水头 水平距离 处达到最高，最高点距离地面 ．身
高 的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头 水平距离 的位置，她的头顶 碰到水柱．（填
“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
根据顶点 ，得出抛物线的表达式，令 ，求得 的值，与 比较即可求解．
【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，水柱距地面的高度 与水柱距喷水头的水平距离
之间近似满足函数关系 ，
则抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑 ，从A点向四周喷水，喷出的水
柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水
柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 ，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为
m．【答案】10
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知易得：N点的坐标为 和M点的坐标为 ，然后进
行计算即可解答．
【详解】解：由二次函数 的图象可知，
当 时， ，
故N点的坐标为 ；
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴M点的坐标为 ，
∴ 之间的距离为 ．
故答案为：10．
6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研
究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如
图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 其中 是水柱距喷水头的水平距离，
是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，运用待定系数法求解析式是解题的关键．由题意得设抛物线的表达式为 ，将 代入即可求解．
【详解】解：∵水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m，
∴设抛物线的表达式为 ，
∵测得喷水头P距地面0.7m，
∴将 代入
得： ，
解得： ，
∴解析式为： ，
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水
管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线 的一部分，已知落水点B到
池中心O的距离为8米．
(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管 的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为 米的景观射灯 ，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯
与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水
柱形状和对称轴不变，求水管 要升高多少米？
【答案】(1)水管 的长度为 米
(2)景观射灯 与池中心的水平距离为7米(3)水管 要升高 米
【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．
（1）将点B的坐标 代入即可求解；
（2）把 代入解析式，即可求解；
（3）设水管 要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解；
【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米，
将点B的坐标 代入 中，
得
解得 ，
∴ ．
令 ，得 ，
∴水管 的长度为 米；
（2）解：由题意得，令解得 ， （舍去），
∴顶端F的横坐标为 ，
∴景观射灯 与池中心的水平距离为7米；
（3）解：设水管 要升高h米，
∴升高后的抛物线的解析式为 ．
当 时， ，
∴
，
∴ ，
答：水管 要升高 米．
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）青岛世园会音乐喷泉位于李沧区百果山森林公园内的天水湖，是中
国最大的音乐喷泉之一，伴随或激昂或舒缓的音乐，水柱编织出了各种美妙图案，最高可达80余米，吸
引了众多游客前来观赏．若把音乐喷泉形状看作抛物线，设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点
都在过原点的直线变动，从而产生不同的抛物线型水线如图1．
(1)如图2，若某条抛物线型水线的顶点在直线 上，且喷出的水线最大高度达 ，求此时的抛物线解
析式；(2)如图3，若三条抛物线型水线 、 和 的顶点都在直线 上，水线 最大高度达到 ，
且落地点 恰好达到离出水口 的岸边，另一条水线 的落地点 离出水口 ，要求水线
的落地点 在 、 之间（不包含 、 ），求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 的取值范围为 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意，根据题目给出
的信息列出相应的关系式找出所求问题需要的条件．
（1）根据抛物线的顶点在直线 上，且喷出的抛物线水线最大高度达 ，可以求得 的值；
（2）先根据线 最大高度达到 ，且落地点 恰好达到离出水口 的岸边，可以求出 ，再根
据抛物线 的顶点在直线 上可得 的值，根据喷出的抛物线水线地点 在 之间，而
出水可知其对称轴 从而求出 的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在直线 上，抛物线水线最 大高度达 ，其的顶点为
，
∴抛物线的解析式为： ，
∵抛物线过原点，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：∵抛物线型水线 的顶点都在直线 上，最大高度达到 ，且落地点 恰好达到
离出水口 的岸边，∴顶点坐标为 ，
，
解得： ，
，
由题意知， 的顶点为 ，
∵抛物线的顶点在直线 上，
，
，
∵水线 的落地点 在 之间，
解得：
∴ 的取值范围为 ．
