文档内容
专题 04 旋转章末 56 道压轴题型专训（7 大题型）
题型一 根据旋转的性质求解
题型二 关于原点对称的点的坐标
题型三 中心对称图形规律问题
题型四 旋转中的规律问题
题型五 旋转中的最值探究问题
题型六 旋转综合的应用问题
题型七 坐标系中的动点问题（不含函数）
【经典例题一 根据旋转的性质求解】
1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）探究说理．如图，将 以点 为中心，沿顺时针方向旋转 后
得到 ，已知 ，且 是 的平分线，试猜想 的度数，并说明理由．
2．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知 中， ，把 绕 点顺时针方向旋转
得到 ，连接 ， 交于点 ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，当四边形 是菱形时，求 的长．
3．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
，若 绕某个点顺时针旋转后与 重合．
(1)旋转中心是______；
(2)旋转的度数是______；
(3)若 ，则 ______．
4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍 放在等边三角形硬纸板 上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点M
在 上（不与点P，Q重合），将木棍 绕点M顺时针旋转 ，得到线段 ，点A的对应点为N，
连接 ．
猜想与证明：试判断线段 与线段 的数量关系，并证明．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图①，点 为正方形 内一点， ，将
绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 （点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连接 ．
(1)试判断四边形 的形状，并证明你的判断；
(2)如图②，若 ， ，请求出 的长；
(3)如图①，若 ， ，请求出 的长．
6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探
究平行线的相关问题，于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定 ，将 绕着点 在平面内
转动．其中 ， ， ．
(1)如图 ，若 ，则 ______ ， ______ ；
(2)如图 ，当点 在直线 的上方，点 在直线 的下方，且 时，求 的度数；
(3)在 绕着点 旋转的过程中，是否存在 的情况？若存在，请先在备用图中画出图形，再求
的度数．
7．（2025九年级上·河北·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，并连接
它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称
为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形 中，以 为顶点的 ，
、 与 、 边分别交于 、 两点．易证得
．
大致证明思路：如图2，将 绕点 顺时针旋转
，得到 ，由 可得 、 、 三点共
线， ，进而可证明 ，
故 ．
任务：如图3，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点的 ，
、 与 、 边分别交于 、 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论
是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
8．（2025·湖北·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，小万将正方形纸片 折叠，使得边 都落在对角线 上，展开得到折痕
，连接 ，则 ___________ ；
【探究猜想】
（2）小唯将图1中的 绕点 旋转，使它的两边所在直线分别交边 ， 于点 ， ，连接 ，
如图2．小唯猜想线段 之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段 之间的数
量关系，并证明；
【探究应用】
（3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为 的菱形 中满足的相关结论，他在
边上取点 ，连接 ，以 为边向右作 ，交 于点 ，连接 ．请你试着判断
的形状，并说明理由．【经典例题二 关于原点对称的点的坐标】
9．（2025·甘肃武威·模拟预测）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直
角坐标系， 的顶点均在格点上．
(1)画出将 向下平移5个单位长度得到的 ；
(2)画出 关于原点对称的 ，并写出点 的坐标．
10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中， ， （每个小正方形的
边长均为1）．(1)若点 与点 关于原点对称，则点 的坐标为________．
(2)线段 的长为________．
(3)请在图中表示出 、 、 三点，顺次连接 ，并求出点 、 、 所组成的三角形 的面积．
11．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 各顶点坐标分
别为 ， ， ．
(1)画出 关于原点的对称的图形 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转 得到 ，请在网格中画出 ．
12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为， ， ．
(1)画出 经过平移后得到的 ，已知点 的坐标为 ，写出顶点 的坐标；
(2)若 和 关于原点 成中心对称，不画图直接写出顶点 的坐标；
(3)画出 绕点 按顺时针方向旋转90°得到的 ．
13．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)作出将 向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形 ；
(2)作出 关于原点 成中心对称的图形 ；
(3)作出将 绕点 按顺时针方向旋转 后得到的图形 ；并求出线段 在旋转过程中扫过的面积．
14．（24-25九年级上·广东广州·期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形， 位置如图
所示，且 ．
(1)①画出 绕原点O顺时针旋转 后的图形 ，其中点 与点A对应，点 与点B对应，点
与点C对应（不写画法）．
②若点P(m，n)在 内，其旋转后的对应点为 ，直接写出 的坐标( ， )（用m、n来表示）．
(2) 画出 关于原点O成中心对称的图形 ，其中点 与点A对应，点 与点B对应，点 与
点C对应（不写画法）．
15．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图， 是 经过某种变换后得到的图形，分别观察点 与点
，点 与点 ，点 与点 的坐标之间的关系．(1)若三角形 内任意一点 的坐标为 ，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的
坐标为 ．
(2)若三角形 先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形 ，画出三角形 ，并求
三角形 的面积．
(3)直接写出 与y轴交点的坐标 ．
16．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．对于点 给出如
下定义：将点 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对
应点”．
(1)如图，若点 在坐标原点，点 ，
①点 的“对应点” 的坐标为______；②若点 的“对应点” 的坐标为 ，则点 的坐标为______；
(2)如图，已知 的半径为1， 是 上一点，点 ，若 为 外一点，点 为点
的“对应点”，连接 ．
①当点 在第一象限时，求点 的坐标（用含 ， ， 的式子表示）
②当点 在 上运动时，直接写出 长的最大值与最小值的积为______（用含 的式子表示）
【经典例题三 中心对称图形规律问题】
17．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为2的等边三角形，作
1 1
△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，再作△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称．
2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2
（1）直接写出B，B，B，的坐标分别为 ， ， ；
1 2 3
（2）连接AB，求AB 的长．
1 2 1 218．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形点阵中，点A与点B关于点O成中心对称．
(1)标出点O，在点阵中任选一格点C（不与A、B、O重合），作出C关于O的中心对称点D；若点A坐标
为A（-2，4），请写出你作出的D点坐标；
(2)指出以A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由．
19．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于
点P互为“伴随函数”．例如：函数 与 关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数 关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ．
函数 关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数 与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”，若当 时，函数
与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；(3)已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数 与函数N关于点C
互为“伴随函数”，将二次函数 与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与
线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如果将点P绕定点M旋转 后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点
M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段 的中点．如图，在直角坐标系中， 的顶点
A、B、O的坐标分别为 ， ， ．点列 ， ， ，…中的相邻两点都关于 的一个顶点
对称：点 与点 关于点A对称，点 与点 关于点B对称，点 与点 关于点O对称，点 与点 关
于点A对称，点 与点 关于点B对称，点 与点 关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，
B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点 的坐标是 ，试写出点 的坐标．
21．（2025·浙江宁波·模拟预测）只用直尺（无刻度）完成下列作图：
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积；
（2）如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积；
（3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积．22．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标为 ，
， ， 各顶点的坐标为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
(2)若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标是______；
(3)在 轴上找一点 ，使得 最小，并写出 点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
23．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个
三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（ 表示第n个三角形数），由图形可得 ，
， ， ， ；
(2)为探索 的值，将摆成三角形进行旋转 ，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算
的值，∴ ；（用含n的代数式表示）
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
24．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+m交x轴于点A
（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S
＝ 时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的
等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题四 旋转中的规律问题】
25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）两条平行直线上各有 个点，用这 对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当 时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当 时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当 时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中有 个三角形；
（2）试猜想当 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？此时最少三角形的个数能否为
2010个？如果能 为多少？
图1 图2 图3
26．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在 中， ， ， ， 在直
线 上，将 绕点 按顺时针方向旋转到位置①，可得到点 ，此时 ；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点 ，此时 ；将位置②的三角形绕点 按顺时针方向旋
转到位置③，可得到点 ，此时 ；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：
(1) ______；
(2)猜想： ______．
(3)连接 ，求 的面积．
27．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在直角坐标平面内，已知面积为10的正方形 的顶点A
在x轴上，且点A的坐标为 ， 点B的坐标为 ． 分别过点 B、点D作x轴的垂线 和 ， 垂
足分别为M、N．
(1)利用 可求得点D的坐标为 ，用类似的方法可求出点C的坐标为 ；
(2)如果正方形 绕着顶点顺时针方向在x轴上连续翻转．翻转1次(即以点 A 为旋转中心，沿着x轴
的正方向顺时针旋转正方形 )，点 B落在x轴上(记作 那么点 的坐标为 ．继续沿着x轴的正方
向翻转正方形 ，它在x轴上的落点分别是 按此规律翻转下去，当2024 次翻转后，在x轴上落点的坐标为 ．
28．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）【问题情境】数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景研究有关
图形旋转活动，如图，在 中， ．将 绕点 逆时针旋转得到 （点
分别是点 的对应点），旋转角为 ．
【特例分析】（1）如图1，当旋转到 时，旋转角 的度数为___________；
【探究规律】（2）如图2，在旋转过程中， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，赵辰同学发现
线段 始终等于线段 ，请你证明这一结论；
【拓展延伸】（3）如图3，延长直线 交于点 ，当 时，求旋转角 的度数．
29．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转
知识作答．
(1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均
可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________．
①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转 ；③将菱形B绕点O旋转 ．
（在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．）(2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分．
(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 、 ．
①若将 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 ，请画出 ，并写
出点 的坐标为________；
②若将 绕点O按顺时针方向旋转 后得到 ，直接写出点 的坐标为________；
③若将 绕点P按顺时针方向旋转 后得到 ，则点P的坐标是________．
30．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图1，在 中， ．将 从图1
的位置开始绕点 逆时针旋转，得到 （点 分别是点 的对应点），旋转角为
，线段 与 相交于点 ，线段 分别交 于点 ．特例分析：
（1）如图2，当 时，连接 ，求 的长．
探究规律：
（2）如图3，连接 ，在 绕点 逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现 始终为等腰三角形，
请你证明这一结论．
拓展延伸：
（3）在旋转过程中，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长．
31．（24-25九年级上·河南郑州·期中）综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．
如图1，在 中， ， ．将 绕点 逆时针旋转，得到 （点 ， 分别
是点 ， 的对应点），旋转角为 ．设 与 相交于点 ， 分别交 ， 于点 ，
．
【特殊位置】
（1）如图1，当旋转到 时，同学们发现 等于旋转角 ，都为________度．
【探究规律】
（2）如图2，在 绕点 逆时针旋转过程中，同学发现 始终与旋转角 相等，请证明这一结论．
【拓展延伸】
（3）①在 绕点 逆时针旋转过程中，当 为等腰三角形时，旋转角 等于________度；
②如图3，延长 ， 相交于点 ，请判断 与 的关系，并说明理由．32．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在钝角 中，点 为 上的一个动点，连接 ，将射
线 绕点 逆时针旋转 ，交线段 于点 . 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的
距离为xcm,A,D两点间的距离ycm.
小牧根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，
请补充完整:
(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是 ；
(2)通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表:
0.5 1.0 1.9 3.4 4.1 4.4
3
1 2 1 7 6 7
3.9 3.2 2.4 1.6 2.0 2.5
a
7 2 2 6 2 0
通过测量。可以得到a的值为 ；
(3)在平面直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm.
【经典例题五 旋转中的最值探究问题】
33．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ， ，点D在
内连接 、 、 ，求 的最小值．
34．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，先将 绕点C顺时针旋转 得到 ，再将线段
绕点D顺时针旋转 得到 ，连接 ，且 ．
(1)若 ，B、E、D三点在同一条直线上，求 的长；
(2)若 ， ，点P在边 上，求线段 的最小值．
35．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
(1)如图1， 是等边三角形，在 上任取一点D（B、C除外），连接 ，我们把 绕点A逆
时针旋转 ，则 与 重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形 ______（选择
是或不是）等补四边形．
(2)如图2，等补四边形 中， ， ，若 ，求 的长．
(3)如图3，四边形 中， ， ， ，求四边形 面积的最大值．
36．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
， ， ．
(1)将 向左平移5个单位长度得到 ，画出 ，并写出点 的坐标；
(2)将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，画出 ，并写出点 的坐标；
(3)若点 为 轴上一动点，求 的最小值．37．（24-25九年级上·山东青岛·期中） 的各顶点坐标分别为 ，将 先
向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到 ．
(1)如果将 看成是由 经过一次平移得到的，则平移的距离是 个单位长度；
(2)在y轴上有点D，则 的最小值为 个单位长度；
(3)作出 绕点O顺时针旋转 后的 ．
38．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在 中， ， ，点D，E分别在
边 ， 上， ，连接 ，点F，G，H分别为 ， ， 的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段 与 的数量关系是 ， 的度数为 ；
(2)探究证明
把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理；
(3)拓展延伸把 绕点A在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值．
39．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图1，在直线 上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重
合于点O， ， ，将三角板 绕点O以每秒 的速度顺时针方向转动，设转动
时间为t秒．
(1)如图2，若 平分 ，则t的最小值为 ；此时 ﹣ 度；（直接写答案）
(2)当三角板 转动如图3的位置，此时 、 同时在直线 的右侧，猜想 与 有怎样
的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
(3)若当三角板 开始转动的同时，另一个三角板 也绕点O以每秒 的速度顺时针转动，当 旋
转至射线 上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时， ；
②在转动过程中，请写出 与 的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
40．（24-25九年级上·山东济南·期中）【课本再现】如图1，在 中，M、N分别是 、 的中点，
则线段 是 的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________；
【触类旁通】如图2， 的面积是10，点D，E，F，G分别是 ， ， ， 的中点，则
的面积是________；
【深度发现】已知：如图3，在 中，中线 ， 交于点O，F，G分别是 ， 的中点．连接
、 、 、 ，试判断四边形 的形状；
【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（
），其中 ，三角板 从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（ 旋转
角 ），在三角板 旋转的过程中，取 的中点G，连接 ， 是否存在最大值？若存在，请
求出 的最大值；若不存在，请说明理由．【经典例题六 旋转综合的应用问题】
41．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、
B都在格点上．线段 绕着某一定点顺时针旋转一个角度 后，得到线段 （点 、
分别是A、B的对应点，也都在格点上），在图中作出旋转中心．
42．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）按下列要求画图：①将图 中的直角三角形向右平移到图 方格中对应的位置上；
②再将平移后的图形沿直线l翻折到图 的方格中；
③最后将翻折的图形绕点 旋转 到图 的方格中．
43．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图， 是等边 内一点， ， ， ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
(1)求点 与 的距离；
(2)求 的度数；
(3)求 与 的面积之和，请直接写出结果．
44．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，
C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段 关于直线 对称的线段为 ．
(1)线段 绕点B顺时针旋转90°得到线段 ，在图1中画出线段 、 ；
(2)线段 绕点B顺时针旋转α（ ）得到线段 ，若D，B，F三点共线，则 与
的关系为 （用等式表示）．
45．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， ， ，在平面内任取一点 ，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连结 ， ， ．
(1)请根据题意补全图1；
(2)猜测 和 的数量关系并证明；
(3)作射线 ， 交于点 ，把 绕点 旋转，当 ， ， 时，补全图形，直
接写出 的长．
46．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ，点P为平面内一点，连接 ，将线段
绕点A顺时针旋转至 ，使得 ，连接 ， ， ．
(1)如图1，当点P在 内部时，求证： ；
(2)如图2，当点P在 所在直线上方时， 与 交于点F，若 ，F是 的中点，求证∶
．
47．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
．(1)在图中作出 关于x轴的对称图形 ；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点 的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得 周长最小．（保留作图痕迹）
48．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知等边 和等边 有公共的底边 ．
(1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转 ，就能使 与 重合，则满足题意的点为
_____________；（写出所有的这种点）
(2)如图2，已知 是 的中点，现沿着由点B到点 的方向，将 平移到 的位置．请你判
断：得到的四边形 是平行四边形吗？说明你的理由．
【经典例题七 坐标系中的动点问题（不含函数）】49．（25-26九年级上·四川南充·阶段练习）如图， 中， ， ， 点在 轴的负半
轴上，直角顶点 在 轴上，点 在 轴上方．
(1)如图1所示， 点坐标为 ， 点坐标为 ，求点 的坐标
(2)如图2所示，过 作 轴于 ，求证： ；
(3)如图3所示，若 轴恰好平分 ， 与x轴交于点 ，过 作 轴于 ，求证： ．
50．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）综合与实践，如图在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，
点A坐标为 ，点C的坐标 ，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速
度沿着 的路线移动，
(1)求点B的坐标
(2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间．
51．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 是第一象限内一点，且
轴，过点 作 轴的平行线 ，与 轴交于点A，已知点 ， ，且 ．若点从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线 向左移动，点 从原点 同时出发，以每秒1个单位长
度的速度沿 轴向右移动.
(1) ， ，点 坐标为 .
(2)求经过几秒 ？
(3)若某一时刻以A、 、 、 为顶点的四边形的面积是 ，请直接写出此时点 的坐标.
52．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，
直线 经过等腰直角三角形 的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你
能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中， ， ，以A为旋转中心将线段 顺时针旋转
形成线段 ．求出点C坐标及 的面积；
【拓展延伸】如图4，点 为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，
为腰作等腰直角三角形 ，过D作 轴于点E，求 的长（用含m的式子表示）？
53．（24-25九年级上·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ，直线 经过点 ， 与 轴交于点 ， ，点 在直线 上．
(1)如图1，若 平分 ， 平分 ，试说明 ；
(2)如图2，连接 ， ，求 和 的面积；
(3)若动点 在坐标轴上，且满足 时，求点 的坐标．
54．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图1，在平面直角坐标系中，线段 的两个端点坐标分别为
， ，将线段 向右平移3个单位长度，得到线段 ，连接 ．
(1)直接写出点C、点D的坐标．
(2)如图2，延长 交y轴于点E，点F是线段 上的一个动点，连接 ，猜想
之间的数量关系，并说明理由．
(3)在坐标轴上是否存在点P使三角形 的面积与四边形 的面积相等？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，试说明理由．55．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中， 是x轴正半轴上一点，
C是第四象限内一点， 轴交y轴负半轴于 ，且 ， ．
(1)求点A、B、C的坐标．
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当 时， 的角平分线与 的角平分线的反向延长
线交于点P，求 的度数；（点E在x轴的正半轴）．
(3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作 交BC于M点， 、 的平分线交于N点，
则点D在运动过程中， 的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
56．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长
度：在平面直角坐标系中有不重合的两点 和点 ，当 时， 轴，且线段 的
长为 ；当 时，则 轴，且线段 的长为 ．
【实践操作】
（1）若点 ，且 轴，则 的长为______；若点 ， 轴，当 时，则
点Q的坐标为______；【初步运用】
（2）点A的坐标为 ，将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，连接 ．
①如图，点M，N分别是线段 上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度
的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的
时间为t秒，当 轴时，求t的值；
【问题解决】
②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在 的左侧，连接 交 于点D，当
时，求 的值．（说明：三角形 记作 的面积记作
）
