课时规范练 13 函数图象
基础巩固练
xcosx
1.(2025·重庆开学考试)函数f(x)= 的图象大致为( )
e|x|-1
2x
2.把函数y=2x的图象向右平移t个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y= ,则t的
3
值为( )
1
A. B.log 3
2
2
C.log
3
2 D.√3
1
3.不等式( )x≤ 的解集是( )
√x
2
1 1
A.[0, ] B.[ ,+∞)
2 2
√2 √2
C.[0, ] D.[ ,+∞)
2 2
4.(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)在区间[-2,2]上的大致图象如图所示,则f(x)的解析式
可以是( )
A.f(x)=(ex-e-x)x
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxB.f(x)=(ex-e-x)sin x
C.f(x)=(ex-e-x)cos x
D.f(x)=(ex-e-x)x2
{-2x,-1≤x≤0,
5.(多选题)已知f(x)= 则下列函数的图象正确的是( )
√x,0<x≤1,
{x2,x≥0,
6.(多选题)(2024·山西大同模拟)已知函数f(x)= 则下列判断错误的是( )
2x,x<0,
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的图象与直线y=1有两个交点
C.f(x)的值域是[0,+∞)
D.f(x)在区间(-∞,0)上单调递增
2
7.(2025·八省联考,14)已知曲线C:y=x3- ,两条直线l ,l 均过坐标原点O,l 和C交于M,N
1 2 1
x
两点,l 和C交于P,Q两点,若△OPM的面积为√2,则△MNQ的面积为 .
2
ax+b
8.(2024·湖南郴州模拟)若函数f(x)= 的图象如右图所示,则ab 0.(填“>”
(x+c)2
或“<”)
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9.(2024·山东潍坊模拟)设0<a<b,若函数y=|log x-1|,x∈[a,b]的值域为[0,1],则a+b的取值
2
范围是( )
A.(3,6) B.[3,6]
C.(4,5) D.[4,5]
1
10.(2024·重庆巴蜀中学检测)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= f(x),且当x∈[0,1)时,
2
1 13
f(x)=1-|2x-1|,当x∈[ , ]时,y=f(x)的值域为( )
4 4
1
A.[ ,1] B.[0,1]
2
1 1
C.[ ,1] D.[0, ]
16 16
11.(多选题)已知a,b分别是方程2x+x=0,3x+x=0的实数根,则下列关系式中正确的是(
)
A.-1<b<a<0 B.-1<a<b<0
C.b·3a<a·3b D.a·2b<b·2a
12.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对∀x∈R,有f(1-x)=-f(1+x),当x∈[0,1]时,
f(x)=x2+x-2,则( )
A.f(x)的周期是2
B.点(-3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.f(2 024)+f(2 025)=-2
D.函数y=f(x)-log (x+1)有3个零点
2
13.(2024·广西柳州模拟)记实数x ,x ,…,x 的最小数为min{x ,x ,…,x },若
1 2 n 1 2 n
f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 .
14.(13分)已知函数f(x)=(x-2)|x+1|.
(1)求方程组{y=f (x),
的解集;
2x- y=0
(2)画出函数f(x)的图象;
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(3)若f(x)在(a,a+1)上具有单调性,求实数a的取值范围.
{ 2-x,x<1,
15.(13分)(2024·北京顺义期中)已知函数f(x)=
(x-2)2,x≥1.
(1)在平面直角坐标系xOy中,画出函数f(x)的草图;
(2)写出函数f(x)的单调区间;
(3)若关于x的方程f(x)=k有3个解,求k的取值范围(直接写出答案即可).
创新应用练
16.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-
8
∞,m],都有f(x)≥- ,则m的取值范围是( )
9
9 7
A.(-∞, ] B.(-∞, ]
4 3
5 8
C.(-∞, ] D.(-∞, ]
2 3
1
17.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=- ,且当-1≤x<0时,f(x)=2x,则下
f (x+1)
列说法正确的是( )
A.f(x)是周期为2的周期函数
B.当4≤x<5时,f(x)=-24-x
C.f(x)的图象与g(x)=log x的图象有两个公共点
0.5
D.f(x)在(2 022,2 024)内单调递增
答案：
xcosx -xcos(-x) -xcosx
1.A 解析 f(x)= 的定义域为R,f(-x)= = =-f(x),函数y=f(x)为奇函数,
e|x|-1 e|-x|-1 e|x|-1
图象关于原点对称,排除CD;
-π
又f(π)= <0,排除B.故选A.
eπ-1
2x
2.B 解析 函数y=2x的图象向右平移t个单位长度得到函数y=2x-t= 的图象,所以2t=3,得
2t
t=log 3.
2
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3.B 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=( )x和y= 的图象,如图所示.
√x
2
1 1 1 1
当( )x= 时,解得x= ,由图象知,( )x 的解集是[ ,+∞).故选B.
√x ≤√x
2 2 2 2
4.C 解析 容易判断选项A,B中的函数都是偶函数,图象应关于y轴对称,与已知图象不符,选项
1
C,D中的函数都是奇函数,图象关于原点对称,对于选项D,当x>0时,ex>1,e-x= <1,可得ex-e-x=ex-
ex
1
>0,因此f(x)=(ex-e-x)x2>0,图象应在x轴上方,与已知图象不符,故选C.
ex
5.ABC 解析 先在平面直角坐标系内画出函数y=f(x)的图象,如图所示.再将函数y=f(x)的图象
向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此A正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对
称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此B正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的
图象重合,C正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0<x≤1时,y=f(|x|)=√x,相应这部
分图象不是一条线段,因此D不正确.故选ABC.
6.AB 解析 作出函数图象(如图所示),显然图象不关于原点中心对称,故A错误;
f(x)图象与直线y=1有一个交点,故B错误;由图象知函数的值域为[0,+∞),且在区间(-∞,0)内单调
递增,故C,D正确.故选AB.
2
7.2 解析 由于点(x,y)和(-x,-y)都符合y=x3- ,x≠0,所以曲线C的图象关于原点对称,当x>0时,
√2
x
2
函数y=x3- 单调递增,由此画出曲线C的大致图象如图所示,两条直线l ,l 均过坐标原点O,所以
1 2
x
M,N两点关于原点对称,P,Q两点关于原点对称.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx根据对称性,不妨设点M,N,P,Q位置如图,可知|OP|=|OQ|,|OM|=|ON|,∠POM=∠QON,所以
△OPM≌△OQN,所以S =S =√2,而△OQM和△OQN等底等高,面积相同,所以S =√2,
OQN OPM OQM
所以S =2√2. △ △ △
MNQ
△
b
8.< 解析 由函数图象知-c>0,因此c<0.令x=0,得f(0)= ,又由图象知f(0)>0,∴b>0.
c2
b b
令f(x)=0,得x=- ,结合图象知- >0,∴a<0.
a a
故ab<0.
9.B 解析 作出函数图象(如图所示),由f(x)=0,得x=2,由f(x)=1,得x=1或x=4,又因为0<a<b.①
若a>2,则不合题意,舍去;②若a=2,则b=4,此时a+b=6;③若1<a<2,则b=4,此时5<a+b<6;④若
a=1,则2≤b≤4,3≤a+b≤5.综上,3≤a+b≤6.
1 1 1
10.B 解析 由题知,当x∈[1,2)时,可得f(x)= f(x-1)= (1-|2x-3|);当x∈[2,3)时,可得f(x)=
2 2 2
1 1
f(x-1)= (1-|2x-5|),依此类推,所以在区间[n,n+1)(n∈Z)上,可得f(x)= [1-|2x-(2n+1)|],作函数
4 2n
1 13
y=f(x)的图象,如图所示,所以当x∈[ , ]时,f(x)∈[0,1],故选B.
4 4
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx11.BD 解析 函数y=2x,y=3x,y=-x在同一坐标系中的图象如图,所以-1<a<b<0,所以
2a<2b,3a<3b,0<-b<-a,所以-b·2a<(-a)·2b,-b·3a<(-a)·3b,所以a·2b<b·2a,a·3b<b·3a.故选BD.
1-x+1+x
12.BCD 解析 依题意,f(x)为偶函数,且f(1+x)+f(1-x)=0,有 =1,即f(x)的图象关于(1,0)
2
对称,则f(x+4)=f(1+x+3)=-f[1-(x+3)]=-f(-2-x)=-f[-(2+x)]=-f(2+x)=-f(1+1+x)=f[1-(1+x)]=f(-
x)=f(x),所以f(x)的周期是4,故A错误;因为f(x)的周期为4,f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以点
(-3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,故B正确;因为f(x)的周期为4,则f(2 024)=f(0)=-2,f(2
025)=f(1)=0,所以f(2 024)+f(2 025)=-2,故C正确;作出函数y=log (x+1)和y=f(x)的图象如图所示,
2
由图可知,两个函数图象有3个交点,所以函数y=f(x)-log (x+1)有3个零点,故D正确.
2
9
13. 解析 如图所示,在同一个坐标系中,分别作出函数y
1
=x+1,y
2
=x2-2x+1,y
3
=-x+8的图象,而
2
f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8}的图象即是图中的实线部分,要求的函数f(x)的最大值即图中最高点
A的纵坐标.
7
{x= ,
由{y=x+1,
联立,解得
2
故所求函数f(x)的最大值为
9
.
y=-x+8 9 2
y= ,
2
{(x-2)(x+1),x≥-1,
14.解 (1)f(x)=
(x-2)(-x-1),x<-1.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx{y=f (x), {2x-f (x)=0,
⇔
2x- y=0 y=2x.
当x≥-1时,2x-(x-2)(x+1)=0,即x2-3x-2=0,
{ 3-√17 { 3+√17
x= , x= ,
解得 2 或 2
y=3-√17, y=3+√17.
{x=-2, {x=1,
当x<-1时,2x-(x-2)(-x-1)=0,即x2+x-2=0,解得 或 (舍).
y=-4, y=2
3-√17 3+√17
综上,方程组的解集是{(x,y)|( ,3-√17),( ,3+√17),(-2,-4)}.
2 2
(2)函数f(x)的图象如图所示.
1 1
(3)f(x)在(-∞,-1),( ,+∞)内单调递增,在(-1, )内单调递减,
2 2
{
a≥-1,
所以a+1≤-1或a≥ 1 或 1 因此实数a的取值范围是(-∞,-2]∪ [ -1,- 1] ∪ [1 ,+∞ ) .
2 a+1≤ . 2 2
2
{ 2-x,x<1,
15.解 (1)作出函数f(x)= 的图象如图所示.
(x-2)2,x≥1
(2)由f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1),(1,2),单调递增区间为(2,+∞).
(3)如下图所示:
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当 <k≤1时,直线y=k与函数f(x)的图象有3个公共点,此时关于x的方程f(x)=k有3个解,故实
2
1
数k的取值范围是( ,1].
2
16.B 解析 ∵f(x+1)=2f(x),
∴f(x)=2f(x-1).
∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图象如图所示.
∵当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),
8
∴令4(x-2)(x-3)=- ,
9
整理得9x2-45x+56=0,
即(3x-7)(3x-8)=0,
7 8
解得x 1 = ,x 2 = .
3 3
8 7 7
∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥- 恒成立,即m≤ ,故m∈(-∞, ].
9 3 3
1 1
17.ACD 解析 对于A项,由已知可得f(x+1)=- ,所以f(x+2)=- =f(x),f(x)是周期
f (x+2) f (x+1)
为2的周期函数,故A正确;
对于B项, x∈[0,1),则x-1∈[-1,0).
由已知可得,f(x-1)=2x-1.
∀
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又f(x)=- ,所以f(x-1)=- ,f(x)=- =- =-21-x.
f (x+1) f (x) f (x-1) 2x-1
又f(x)的周期为2,所以f(x)=f(x-4).
x∈[4,5),则x-4∈[0,1),f(x-4)=-21-(x-4)=-2-x+5,所以,f(x)=f(x-4)=-2-x+5.故B错误;对于C项,由A,B可
知,当x∈[0,1)时,f(x)=-21-x,且f(x)的周期为2.
∀
又当-1≤x<0时,f(x)=2x,作出函数y=f(x)以及y=g(x)的图象如图所示.
显然,当x<2时,f(x)的图象与g(x)=log x的图象没有交点.
0.5
又f(4)=f(2)=f(0)=-2,g(2)=log 2=-1,g(4)=log 4=-2=f(4),由图象可知,f(x)的图象与g(x)=log x的
0.5 0.5 0.5
图象有两个公共点,故C项正确;对于D项, x∈[1,2),则x-2∈[-1,0),f(x-2)=2x-2.
又f(x)的周期为2,所以f(x)=f(x-2)=2x-2在[1,2)上单调递增.
∀
1
当x∈[0,1)时,f(x)=-21-x,显然f(x)=-21-x在[0,1)上单调递增,且f(1)=21-2= >-21-1=-1,所以,f(x)在[0,2)
2
上单调递增.
根据函数的周期性可知,f(x)在(2 022,2 024)内单调递增.故D正确.故选ACD
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