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课时规范练 49 两条直线的位置关系
基础巩固练
1.若直线l :ax+(1-a)y=3与l :(a-1)x+(2a+3)y=3互相垂直,则a的值为( )
1 2
A.-3 B.1
3
C.0或- D.1或-3
2
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.√2 B.2-√2
C.√2-1 D.√2+1
3.(2024·重庆模拟)当点P(-1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ
的值为( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
4.(多选题)(2024·山西运城模拟)下列直线与直线l:y=2x-1平行,且与它的距离为2√5的是
( )
A.2x-y+9=0 B.2x-y-11=0
C.2x-y-12=0 D.2x-y+10=0
5.(多选题)(2024·福建三明模拟)已知两条直线l ,l 的方程分别为3x+4y+12=0与
1 2
ax+8y-11=0,则下列结论正确的是( )
A.若l ∥l ,则a=6
1 2
5
B.若l ∥l ,则两条平行直线之间的距离为
1 2
2
32
C.若l ⊥l ,则a=-
1 2
3
D.若a≠6,则直线l ,l 一定相交
1 2
6.(2024·湖北荆荆襄宜四地联考)已知直线(1+k)x+y-k-2=0恒过定点P,则点P到直线x-
y-2=0的距离为 .
7.过直线l :x-3y+4=0和l :2x+y+5=0的交点,且过原点的直线的方程为 .
1 2
8.(2025·上海松江检测)在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点坐标分别为
O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.则四边形OPQR的形状是 .
9.(13分)(2024·重庆荣昌模拟)已知A(3,1),B(-1,2),∠ACB的平分线所在的直线的方程为
y=x+1.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(1)求AB的中垂线方程;
(2)求AC的直线方程.
10.(13分)(2025·北京名校一轮复习)已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形
ABCD为等腰梯形.
综合提升练
11.(2024·山东青岛模拟)数学家欧拉提出:任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一
条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线
l:ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为( )
A.-2 B.-1
C.-1或3 D.3
12.(2024·河南三门峡模拟)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于
A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心,
则△PQR的周长等于( )
8√5 2√37
A. B.
3 3
5√3
C.4 D.
√15
3
13.(多选题)(2024·湖北十堰模拟)点A(2,7),B(-2,3)到直线l:ax-2y+a-1=0的距离相等,则a
的值可能为( )
A.-2 B.2
C.9 D.11
14.已知直线l :4x+y=0,l :mx+y=1,l :2x-3my=4,若它们不能围成三角形,则实数m的取值
1 2 3
所构成的集合为 .
15.(17分)(2025·山东临沂高三检测)已知在平行四边形ABCD中,A(2,3),B(4,1),D(-1,-
3),O(0,0).
(1)求直线BC的方程;
(2)求△ABD的边AB上的高所在直线的方程;
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(3)若一条光线从点A射出,经x轴反射,反射光线经过点B,求入射光线所在直线的方程;
(4)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E,与y轴正半轴交于点F,求|AE|·|AF|的最小值.
创新应用练
1
16.如图,在平面直角坐标系中,一个质点从A( ,0)处出发,沿直线行进到直线x+2y-3=0上
3
的某一点后,再从该点出发沿直线行进到点B(-2,0)处停止,则该质点行走的最短路程是(
)
√145
A. B.5
3
√135 16
C. D.
3 3
答案：
1.D 解析 因为l ⊥l ,则a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即(a-1)(a+3)=0,解得a=1或a=-3.
1 2
|a-2+3|
2.C 解析 由题意得 =1,且a>0,解得a=-1+√2或a=-1-√2(舍).
√12+(-1)2
3.B 解析 直线l的方程整理得λ(3x+y-4)+(x+y-2)=0,
{3x+ y-4=0, {x=1,
由 可得 故直线恒过点A(1,1),点P(-1,0)到A(1,1)的距离d=
x+ y-2=0, y=1,
1-0 1
√(-1-1)2+(0-1)2=√5 ,故k PA = = ,l PA :x-2y+1=0,当PA与l垂直时,点P到直线l距离最
1+1 2
大,所以(3λ+1)×1-2(λ+1)=0,解得λ=1.
|a+1|
4.AB 解析 设与直线l平行的直线方程为2x-y+a=0,由题意可得 =2√5,解得a=9或
√5
a=-11,故所求直线的方程为2x-y+9=0或2x-y-11=0.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx5.ACD 解析 若l ∥l ,则3×8-4a=0,解得a=6,经检验,满足两直线平行,故A正确;当l ∥l 时,两
1 2 1 2
| 11|
11
12+
直线方程为3x+4y+12=0和3x+4y- =0,所以两条平行线间的距离d= 2 7,故B错误;当
2 =
√32+42 2
32
l ⊥l 时,3a+32=0,解得a=- ,故C正确;由上得,当a≠6时,直线l ,l 一定相交,故D正确.
1 2 1 2
3
{ x-1=0, {x=1,
6.√2 解析 直线(1+k)x+y-k-2=0可化为k(x-1)+(x+y-2)=0,令 解得 于是此
x+ y-2=0, y=1,
|-2|
直线恒过点P(1,1).点P到直线x-y-2=0的距离d= =√2.
√12+(-1)2
{x-3 y+4=0, 19 3
7.3x+19y=0 解析 (方法一)解方程组 可得直线l 和l 的交点坐标为(- , ),又
1 2
2x+ y+5=0, 7 7
3
所求直线过原点,所以所求的直线方程为y=- x,即3x+19y=0.
19
(方法二)根据题意可设所求直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,λ∈R,因为此直线过原点,所以
4 4
4+5λ=0,解得λ=- ,所以所求直线的方程为x-3y+4- (2x+y+5)=0,即3x+19y=0.
5 5
t-0 2-(2+t) -t
8.矩形 解析 依题意,直线OP的斜率k = =t,直线QR的斜率k = = =t,
OP QR
1-0 -2t-(1-2t) -1
2-0 1 2+t-t 2 1
直线OR的斜率k = =- ,直线PQ的斜率k = = =- ,显然k =k ,k =k ,
OR PQ OP QR OR PQ
-2t-0 t 1-2t-1 -2t t
在四边形OPQR中,OP∥QR,OR∥PQ,因此四边形OPQR为平行四边形,又k ·k =-1,则
OP OR
OP⊥OR,所以四边形OPQR为矩形.
3-1 1+2 3 2-1 1
9.解 (1)AB的中点坐标为( , )=(1, ),又k AB = =- ,故AB的中垂线斜率为4,故AB
2 2 2 -1-3 4
3
的中垂线方程为y- =4(x-1),即8x-2y-5=0.
2
(2)由对称性可知,B(-1,2)关于y=x+1的对称点D(s,t)在直线AC上,
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{ =-1,
故
s+1 解得{s=1,
故D(1,0),
t+2 s-1 t=0,
= +1,
2 2
y-1 x-3
故直线AC的方程为 = ,即x-2y-1=0.
0-1 1-3
{|AD|=|BC|,
10.解 设D(x,y).若AB∥CD,即D在D 位置,则
2 k =k ,
AB CD
{x2+(y-3)2=(3+1)2=16,
16 3
即 3-0 y-0 解得D( , ).
= , 5 5
0+1 x-3
{
y-3
{ k =k , =0,
若AD∥BC,即D在D 位置,则 AD BC 即 x-0 解方程组,得
1
|AB|=|DC|,
(x-3)2+ y2=12+32=10,
16 3
D(2,3).故点D的坐标为(
,
)或(2,3).
5 5
-3+3+3 0+0+3
11.B 解析 由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),知△ABC重心为( , ),即(1,1).
3 3
-3+3 0+3 3
又△ABC为直角三角形,所以其外心为斜边的中点(
,
),即(0, ),所以可得△ABC的欧
2 2 2
y-1 x-1
=
拉线方程为
3 0-1
,即x+2y-3=0.因为直线ax+(a2-3)y-9=0与直线x+2y-3=0平行,所以
-1
2
a a2-3 -9
= ≠ ,解得a=-1.
1 2 -3
12.A 解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角
坐标系,
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx则B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直线BC的方程为x+y-4=0.
设P(t,0)(00,b>0),因为直线l过点A(2,3),可得 + =1,且
a b a b
2 3
E(a,0),F(0,b),|AE|·|AF|=-⃗AE·⃗AF =-(a-2,-3)·(-2,b-3)=2a+3b-13,又由2a+3b=(2a+3b)( + )=4+
a b
6b
+
6a
+9≥13+2
√6b
·
6a
=25,当且仅当a=b=5时,等号成立,所以|AE|·|AF|=2a+3b-13≥25-
a b a b
13=12,即|AE|·|AF|的最小值为12.
16.A 解析 如图所示,作点B关于直线x+2y-3=0的对称点C,连接AC,即为质点行走的最短路
程.
{ y 1 ·(- 1 )=-1,
x +2 2
设点B(-2,0)关于直线x+2y-3=0的对称点为C(x ,y ).由题意可得 1 解得
1 1 x -2 y
1 +2× 1-3=0,
2 2
{x =0,
1 即点C(0,4).在直线x+2y-3=0上取点P,连接PC,则|PB|=|PC|.
y =4,
1
√ 1 √145
所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|= (0- ) 2+(4-0)2= ,当且仅当A,P,C三点共线时,等号
3 3
√145
成立,所以质点行走的最短总路程为
3
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