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课时规范练 60 用样本估计总体
基础巩固练
1.某工厂随机抽取20名工人,对他们某天生产的产品件数进行统计,数据如下表,则该组
数据的第75百分位数是( )
件数 7 8 9 10 11
人数 3 7 5 4 1
A.8.5 B.9
C.9.5 D.10
2.(2024·湖南长沙二模)已知样本数据x ,x ,…,x 的平均数和标准差均为4,则数据-x -1,-
1 2 100 1
x -1,…,-x -1的平均数与方差分别为( )
2 100
A.-5,4 B.-5,16
C.4,16 D.4,4
3.(2022·全国甲,理2,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解
讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识
问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图,则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若该组数据的中位数是众数
5
的 倍,则该组数据的方差和第60百分位数分别是( )
4
16
A. ,5 B.5,5
5
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C. ,6 D.5,6
3
5.(多选题)下列统计量中可用于度量样本x ,x ,…,x 的离散程度的有( )
1 2 n
A.x ,x ,…,x 的标准差
1 2 n
B.x ,x ,…,x 的中位数
1 2 n
C.x ,x ,…,x 的极差
1 2 n
D.x ,x ,…,x 的平均数
1 2 n
6.(多选题)(2021·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x ,x ,…,x ,由这组数据得到新样本数据
1 2 n
y ,y ,…,y ,其中y=x+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
1 2 n i i
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
7.(多选题)(2024·广东茂名一模)如今中秋节逐渐演化为赏月、颂月等活动,以月之圆兆
人之团圆,为寄托思念故乡、思念亲人之情,祈盼丰收、幸福,成为丰富多彩、弥足珍贵
的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛,随机抽查了100人的
成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是( )
A.样本的众数为75
B.样本的第71百分位数为75
C.样本的平均值为68.5
D.该校学生中得分低于60分的约占20%
8.(2024·广东深圳二模)已知样本x ,x ,x 的平均数为2,方差为1,则x2,x2,x2的平均数为
1 2 3 1 2 3
.
9.(2024·广东珠海一模)甲、乙两班同学参加了同一学科的考试,其中甲班50人,乙班40
人.甲班的平均成绩为72,方差为90;乙班的平均成绩为90,方差为60.那么甲、乙两班全
部90名学生的平均成绩是 ,方差是 .
综合提升练
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx10.(2024·陕西榆林三模)在一次数学模考中,从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩,甲
班的十个人成绩分别为x ,x ,…,x ,乙班的十个人成绩分别为y ,y ,…,y .假设这两组数据
1 2 10 1 2 10
中位数相同、方差也相同,则把这20个数据合并后( )
A.中位数一定不变,方差可能变大
B.中位数可能改变,方差可能变大
C.中位数一定不变,方差可能变小
D.中位数可能改变,方差可能变小
11.(多选题)(2024·浙江嘉兴二模)已知一组数据1,3,5,7,9,其中位数为a,平均数为x,极差为
b,方差为s2.现从中删去某一个数,得到一组新数据,其中位数为a',平均数为x',极差为b',
方差为s'2,则下列说法中正确的是( )
A.若删去3,则a70%,A错误;对于B,平均数为89.5%>85%,B
正确;对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正
确率的波动幅度,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的
正确率的极差为35%,D错误.故选B.
4+x 4+x 5 1
4.C 解析 中位数为 ,众数为4,由题意知 =4× ,解得x=6,该组数据的平均数为 x= ×
2 2 4 6
1 16
(1+4+4+6+7+8)=5,该组数据的方差是s2= ×[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]= . 因
6 3
为6×60%=3.6,所以该组数据的第60百分位数是6.
5.AC 解析 标准差和极差度量的是数据的离散程度;中位数和平均数反映的是数据的集中趋势.
故选AC.
6.CD 解析 x= 1 ∑ n x i ,y= 1( ∑ n x +nc ) =x+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故
n i=1 n i=1 i
1 n 1 n
B错误;s2= ∑(x
i
-x)2,s2= ∑[(x
i
+c)-(x+c)]2=s2,故C正确;x
极差
=x
max
-x
min
,y
极差
=(x
max
+c)-
x n y n x
i=1 i=1
(x +c)=x -x ,故D正确.
min max min
7.AC 解析 依题意,(0.015+0.025+0.035+0.005+2a)×10=1,解得a=0.010,因为最高小矩形的中
点横坐标为75,所以众数是75,故A正确;设样本的第71百分位数为x,又
10×(0.010+0.015+0.025)=0.5,所以0.5+(x-70)×0.035=0.71,解得x=76,故B错误;因为平均数为
45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,故C正确;样本中得分低于60分的占
(0.010+0.015)×10=25%,所以该校学生中得分低于60分的约占25%,故D错误.故选AC.
x +x +x
8.5 解析 由题意知, 1 2 3=2,所以x +x +x =6,
1 2 3
3
(x -2)2+(x -2)2+(x -2)2 x2+x2+x2
由 1 2 3 =1,得x2+x2+x2=15,所以 1 2 3=5.
3 1 2 3 3
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9.80 解析 甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为 =80分,
3 50+40
50 40 5 4 470
方差为 ×[90+(72-80)2]+ ×[60+(90-80)2]= ×154+ ×160= .
50+40 50+40 9 9 3
x +x
10.A 解析 不妨设x ≤x ≤…≤x ,y ≤y ≤…≤y ,则x ,x ,…,x 的中位数为 5 6,y ,y ,…y 的
1 2 10 1 2 10 1 2 10 1 2 10
2
y + y x +x y + y
中位数为 5 6,因为 5 6= 5 6,所以x ≤y ≤y ≤x 或y ≤x ≤x ≤y ,则合并后数据的中位
5 5 6 6 5 5 6 6
2 2 2
x +x y + y
数是 5 6或者 5 6,所以中位数不变.设甲班成绩数据的方差为s2,平均数为x,乙班成绩数据
2 2
1
的方差为s2,平均数为 y,合并后总数为20,平均数为 ω,方差为s'2,s'2= {10[s2+(x-ω)2]
10+10
1 1 1 1
+10[s2+ (y-ω)2]}= [s2+ (x-ω)2]+ [s2+ (y-ω)2]=s2+ (x-ω)2+ (y-ω)2≥s2.如果平均
2 2 2 2
数相同则方差不变,如果平均数不同则方差变大.
5+7
11.ACD 解析 若删去3,则根据中位数的定义,a=5,a'= =6,满足ax',B错误;根据极差的定义,若去掉的
5 4
数是3,5,7中的一个,显然去掉前后极差都是9-1=8,满足b=b',若去掉1,b'=9-3=6
