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课时规范练 26 三角函数的图象与性质
基础巩固练
1.(2024·广东佛山期中)函数y=tan(πx-1)的最小正周期为( )
A.2 B.1
C.π D.2π
π π
2.(2024·安徽期末)函数y=sin(2x+ )(0≤x≤ )的值域为( )
3 2
1
A.[0,1] B.[- ,1]
2
√3 √3 √3
C.[- ,1] D.[- , ]
2 2 2
π
3.(2025·湖北模拟)下列是函数y=sin(2x+ )图象的对称中心的是( )
4
π
A.(- ,0) B.(0,0)
2
π 3π
C.( ,0) D.( ,0)
8 8
3
4.(2024·贵州贵阳模拟)已知a=sin 1,b=sin ,c=sin 2,则( )
2
A.a0),若直线x= 是函数
2
π
y=f(x)的图象的一条对称轴,(- ,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,则ω的最小值为
2
.
π π
10.(13分)(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=4tan x·sin( -x)·cos(x- )- .
√3
2 3
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
π π
(2)讨论f(x)在区间[-
,
]上的单调性.
4 4
综合提升练
π
11.(2024·安徽六安模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的图象在区间[0,π]上恰有两条对
4
称轴,则ω的取值范围为( )
7 13 5 9
A.[ , ] B.[ , )
4 4 4 4
5 9 7 11
C.( , ] D.( , ]
4 4 4 4
12.(2024·湖南期中)已知f(x)=cos(sin x),则下列选项中正确的是( )
π
A.f(x)=f(x+ )
2
π
B.f(x)的图象关于( ,0)中心对称
2
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxD.f(x)的值域为[-1,1]
13.(多选题)(2025·湖北开学考试)已知函数f(x)=sin x,g(x)=cos x,则下列结论正确的有(
)
A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)-g(x)的最大值为√2
π
C.函数y=f(x)-g(x)的所有零点构成的集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}
4
π π
D.函数y=f(x)+g(x)在[-
,
]上是增函数
3 3
14.(多选题)(2025·湖南邵阳开学考试)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为
偶函数.当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有( )
5π
A.f( )=-1
2
7π
B.f(x)在(3π, )上单调递减
2
C.点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心
D.方程f(x)+lg x=0有5个实数解
π π √3
15.(2024·四川成都模拟)当x∈[ ,m]时,函数f(x)=cos(3x+ )的值域是[-1,- ],则实数m
6 3 2
的取值范围是 .
16.(15分)(2024·北京房山模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)再从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知,确定f(x)的解析式.设函
数g(x)=f(x)-2sin2x,求g(x)的单调递增区间.
π
条件①:f(x)是偶函数;条件②:f(x)的图象过点( ,1);条件③:f(x)的图象的一个对称中心为(
6
5π
,0).
12
创新应用练
π
17.(2024·广东惠州模拟)函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别
3
π
记为x ,x ,…,x ,若x -x = ,则x 的值可以是 .(写出符合条件的一个值即可)
1 2 n 3 2 n
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx答案：
π
1.B 解析 y=tan(πx-1)的最小正周期为 =1.故选B.
π
π π π 4π π √3
2.C 解析 由0≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ ,则y=sin(2x+ )∈[- ,1].故选C.
2 3 3 3 3 2
π π kπ 3π
3.D 解析 令2x+ =kπ,解得x=- + ,k∈Z,当k=1时,对称中心为( ,0),结合选项,ABC错
4 8 2 8
误,故选D.
3 π π
4.D 解析 由诱导公式得sin 2=sin(π-2),因为0<1<π-2< < ,且y=sin x在(0, )上单调递增,所
2 2 2
3
以sin 10,故ω min = .
2
π
10.解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠ +kπ,k∈Z}.
2
π π
由题得,f(x)=4tan xcos xcos(x- )- =4sin xcos(x- )-
√3 √3
3 3
1 √3
=4sin x( cos x+ sin x)-
√3
2 2
=2sin xcos x+2√3sin2x-√3
=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3
π
=sin 2x- cos 2x=2sin(2x- ).
√3
3
2π
所以f(x)的最小正周期T= =π.
2
π π
(2)因为函数y=2sin x的单调递增区间是[- +2kπ, +2kπ],k∈Z,
2 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxπ π π
则- +2kπ≤2x-
≤
+2kπ,k∈Z,
2 3 2
π 5π
得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
12 12
π π π 5π π π π π
设A=[- , ],B={x|- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z},易知A∩B=[- , ].所以当x∈[- , ]时,f(x)在
4 4 12 12 12 4 4 4
π π π π
区间[- , ]上单调递增,在区间[- ,- ]上单调递减.
12 4 4 12
π π π π
11.B 解析 因为0≤x≤π,所以 ≤ωx+ ≤ +ωπ,又函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的图象在区间
4 4 4 4
3π π 5π 5 9
[0,π]上恰有两条对称轴,所以 ≤ +ωπ< ,解得 ≤ω< . 故选B.
2 4 2 4 4
π π π
12.C 解析 因为f(x)=cos(sin x),所以f(x+ )=cos[sin(x+ )]=cos(cos x)≠f(x),故A错误;f(
2 2 2
π
)=cos(sin )=cos 1≠0,故B错误;可得f(x+π)=cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x),f(-
2
x+π)=cos[sin(-x+π)]=cos(sin x)=f(x),所以f(x+π)=f(-x+π),所以可得直线x=π是函数f(x)图象的一
条对称轴,故C正确;因为sin x∈[-1,1],所以f(x)∈[cos 1,1],故D错误.故选C.
1 2π
13.BC 解析 y=f(x)g(x)=sin xcos x= sin 2x,所以T= =π.故A错误.
2 2
π π π 3π
因为y=f(x)-g(x)=sin x-cos x= sin(x- ),当x- =2kπ+ ,k∈Z,即x=2kπ+ ,k∈Z时,函数有最
√2
4 4 2 4
大值√2,故B正确.
π π π
由 sin(x- )=0 x- =kπ x=kπ+ ,k∈Z,故C正确.
√2
4 4 4
⇒ ⇒
π π π π 3π π
y=f(x)+g(x)=sin x+cos x= √2 sin(x+ ),由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z - +2kπ≤x≤
4 2 4 2 4 4
⇒
3π π π
+2kπ,k∈Z,令k=0,得函数在[-
,
]上递增,在 右侧一定是先单调递减,故D错误.故选BC.
4 4 4
14.AD 解析 ∵f(x+π)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于点(π,0)成中心对称,∵f(x+2π)为偶函数,
∴函数f(x)的图象关于直线x=2π对称.
则f(-x)=-f(x+2π)且f(-x)=f(x+4π),∴f(x+4π)=-f(x+2π),即f(x+2π)=-f(x),∴f(x+4π)=f(x),
∴f(x)是周期为4π的函数.
∵当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则可作出函数f(x)部分图象和y=-lg x的草图如下.
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2π 5π π 5π π π
15.[ , ] 解析 由x∈[ ,m],可知 ≤3x+ ≤3m+ ,由y=cos t的图象性质知,要使f(x)的
9 18 6 6 3 3
√3 π 7π 2π 5π
值域是[-1,- ],则π≤3m+ ≤ ,解得m∈[ , ].
2 3 6 9 18
2π
16.解 (1)由条件可知 =π,解得ω=2.
ω
(2)由(1)可知,f(x)=sin(2x+φ)(ω>0,0<φ<π).
π π π
若选择条件①:f(x)是偶函数,所以φ= +kπ,k∈Z,所以φ= ,所以f(x)=sin(2x+ )=cos 2x,满足
2 2 2
π
f(x)=f(-x),所以g(x)=cos 2x-2sin2x=2cos 2x-1,令-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,解得- +kπ≤x≤kπ,k∈Z,
2
π
所以函数g(x)的单调递增区间是[- +kπ,kπ],k∈Z.
2
π π π π π
若选择条件②:f(x)的图象过点( ,1),即f( )=sin(2× +φ)=1,0<φ<π,则 +φ= +2kπ,k∈Z,即φ=
6 6 6 3 2
π π π π √3 1
+2kπ,k∈Z,所以φ= ,所以f(x)=sin(2x+ ),所以g(x)=sin(2x+ )-2sin2x= sin 2x+ cos
6 6 6 6 2 2
√3 3 π π π π 5π
2x+cos 2x-1= sin 2x+ cos 2x-1= √3 sin(2x+ )-1,令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,解得-
2 2 3 2 3 2 12
π 5π π
+kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间是[- +kπ, +kπ],k∈Z.
12 12 12
5π 5π 5π
若选择条件③:f(x)的图象的一个对称中心为( ,0),所以2× +φ=kπ,φ=kπ- ,k∈Z,又
12 12 6
π π π √3 1
0<φ<π,所以φ= ,所以f(x)=sin(2x+ ),所以g(x)=sin(2x+ )-2sin2x= sin 2x+ cos 2x+cos
6 6 6 2 2
√3 3 π π π π 5π
2x-1= sin 2x+ cos 2x-1= √3 sin(2x+ )-1,令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,解得- +kπ≤x
2 2 3 2 3 2 12
π 5π π
≤ +kπ,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间是[- +kπ, +kπ],k∈Z.
12 12 12
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17. (答案不唯一) 解析 由题意得 =x
3
-x
2
= ,∴T=π.
3 2 2
2π π π kπ π nπ π
∵ω>0,∴ω= =2,∴f(x)=sin(2x+ ),令2x+ =kπ,k∈Z,即x= − ,k∈Z,∴x n = −
π 3 3 2 6 2 6
(n=1,2,3,…).
π
对n取特殊值即可,取n=1,得x = ;
1
3
5π
取n=2,得x = ……(答案不唯一)
2
6
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