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课时规范练 39 数列中的综合问题
1.(15分)(2024·江苏苏州期中)已知等差数列{a }的前n项和为S ,公差d≠0,且
n n
S +S =50,a ,a ,a 成等比数列.
3 5 1 4 13
(1)求数列{a }的通项公式.
n
{b }
(2)设 n 是首项为1,公比为3的等比数列,
a
n
①求数列{b }的前n项和T ;
n n
②若不等式λT -S +2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
n n
2.(15分)长江十年禁渔计划全面施行,渔民老张积极配合政府工作,如期收到政府的补偿
款.他决定拿出其中10万元进行投资,并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型理
财方案.
方案一:年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金;
方案二:年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金.
已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元),且第一次投资时选择了方案一,在每期结
束后,老张不间断地进行下一期投资,并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.
(1)设第i次投资(i=1,2,3,…,n)选择方案一的概率为P,求P ;
i 4
(2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元).
5
注:若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资,则该次投资获利W=2.4%× ×1
12
000=10元.
3.(15分)(2024·江苏盐城期末)已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ,且2√S
n n n
=a +1;数列{b }是递增的等比数列,公比为q,且b ,b 的等差中项为10;b ,b 的等比中项为
n n 2 4 1 5
8.
(1)求{a },{b }的通项公式;
n n
{a ,n为奇数,
n
(2)设c = 1 T 为数列{c }的前n项和,若存在n∈N*使得T -2n2+n≥λb 成立,
n ,n为偶数, n n 2n n
b
n
求实数λ的最大值.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx4.(17分)(2024·湖北模拟)某林业公司种植速生林木参与碳交易,到2022年年底该公司速
生林木的保有量为200万立方米,速生林木年均增长率为20%,为了利于速生林木的生长,
计划每年年底砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年开始,第n年年底的速生林木保有
量为a 万立方米.
n
(1)求a ,请写出一个递推公式表示a 与a 之间的关系.
1 n+1 n
(2)是否存在实数λ,使得数列{a +λ}为等比数列?如果存在,求出实数λ.
n
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放,若规划速生林木保有量实现由2022年
底的200万立方米翻两番,则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求?
(参考数据:1.28≈4.3,1.29≈5.2,1.210≈6.2,1.211≈7.4)
答案：
{ 3×2 4×5
3a + d+5a + d=50,
1.解 (1)依题意得 1 2 1 2
(a +3d)2=a (a +12d),
1 1 1
{a =3,
解得 1 ∴a =a +(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a =2n+1.
d=2, n 1 n
b
(2)① n=3n-1,b =a ·3n-1=(2n+1)·3n-1,T =3+5·3+7·32+…+(2n+1)·3n-1,3T =3·3+5·32+7·33+…
n n n n
a
n
3(1-3n-1)
+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,∴-2T
n
=3+2·3+2·32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2· -
1-3
(2n+1)3n=-2n·3n.
∴T =n·3n.
n
2-n
②由(1)易得S =n(n+2),∴不等式λT -S +2n2≤0对一切n∈N*恒成立,即转化为λ≤ 对一切
n n n
3n
2-n 1-n 2-n 2n-5
n∈N*恒成立.令f(n)= (n∈N*),则f(n) ≥λ.又f(n+1)-f(n)= − = ,则当1≤n≤2
min
3n 3n+1 3n 3n+1
时,f(n+1)-f(n)<0;当n≥3时,f(n+1)-f(n)>0,∴f(1)>f(2)>f(3),且f(3)0,∴a -a =2(n≥2),即可得{a }是等差数列.由2√S =a +1,得2√a =a +1,∴a =1,即a =1+
n n n-1 n 1 1 1 1 1 n
{b +b =20, {b +b =20, {b =4, {b =16,
(n-1)×2=2n-1.由题意得 2 4 即 2 4 解得 2 或 2
b b =64, b b =64, b =16 b =4,
1 5 2 4 4 4
∵{b }是递增的等比数列,
n
{b =4, 所以{ b q=4, {b =2,
∴ 2 1 得 1
b =16, b q3=16, q=2,
4 1
∴b =2×2n-1=2n,即a =2n-1,b =2n.
n n n
1 1
(2)由(1)得,T =(a +a +…+a )+(b +b +…+b )=2n2-n+ (1- ),
2n 1 3 2n-1 2 4 2n
3 4n
1 1 1
若存在n∈N*使得T 2n -2n2+n≥λb n 成立,等价于存在n∈N*使得λ≤ ( − )能成立,设d n =
3 2n 8n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1
( − ),则d -d = ( − )- ( − )= ( − )<0,n≥2,∴{d }是递减数列,故d
3 2n 8n n n-1 3 2n 8n 3 2n-1 8n-1 3 8n 2n n n
1
的最大值为d = ,
1
8
1
因此λ的最大值为
.
8
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4.解 (1)由题可得,a =200×(1+20%)-17=223.又a =(1+20%)a -17= a -17,即a = a -17.
1 n+1 n n n+1 n
5 5
(2)存在.若存在实数λ,使得数列{a +λ}为等比数列,则存在非零常数q,使得a +λ=q(a +λ),整理
n n+1 n
得a =qa -λ+qλ.
n+1 n
6 6 6 6
而a = a -17,故q= ,qλ-λ=17,即λ=85.当λ=85时,a -85= a -102= (a -85),而a -85=223-
n+1 n n+1 n n 1
5 5 5 5
a -85 6
85=138≠0,故a -85≠0,即 n+1 = ,故{a -85}为等比数列,所以存在常数λ=85,使得{a +λ}为等
n n n
a -85 5
n
比数列.
6 6 6
(3)由(2)可得{a -85}是首项为138,公比为 的等比数列,故a -85=138×( )n-1,即a =85+138×(
n n n
5 5 5
6 6
)n-1,此时{a }为递增数列.令a ≥4×200,则85+138×( )n-1≥800,当n=9时,85+138×( )n-1=85+138
n n
5 5
×
(6) 8
≈85+138×4.3=678.4<800,当n=10时,85+138×(
6
)n-1=85+138×
(6) 9
≈
5 5 5
85+138×5.2=802.6>800,故至少到2032年才能达到公司速生林木保有量的规划要求
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