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课时规范练 43 空间直线、平面的垂直
基础巩固练
1.下列说法中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在垂直于平面β的直线
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2.(2024·浙江宁波二模)已知平面α,β,γ,α∩β=l,则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024·辽宁辽阳模拟)在四面体ABCD中, BCD为正三角形,AB与平面BCD不垂直,则
下列说法正确的是( )
△
A.AB与CD可能垂直
B.A在平面BCD内的射影可能是B
C.AB与CD不可能垂直
D.平面ABC与平面BCD不可能垂直
4.(2024·上海闵行模拟)如图,对于直四棱柱ABCD-A B C D ,要使A C⊥B D ,则在四边形
1 1 1 1 1 1 1
ABCD中,满足的条件可以是 .(只需写出一个正确的条件)
5.(2025·北京大兴模拟)如图,四边形ABCD是圆柱的轴截面,E是底面圆周上异于A,B的
一点,则下面结论中正确的序号是 .(填序号)
①AE⊥CE;②BE⊥DE;③DE⊥平面BCE;④平面ADE⊥平面BCE.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx6.(13分)(2024·内蒙古通辽模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面
四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=√2PA=√2PB=2,E是CD的中点.
(1)证明:平面PBC⊥平面PAE;
(2)求点A到平面PBE的距离.
综合提升练
7.(多选题)(2024·江苏南通模拟)在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图1的
方式进行拼接,然后他又将三角板ABC折起,使得二面角A-BC-D为直二面角,得图2所
示四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断,其
中正确的是( )
图1
图2
A.CD⊥平面ABC
B.AB⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面ABD⊥平面BCD
8.(15分)(2024·云南昆明模拟)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,侧面AA C C是矩形,侧面
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BB C C是菱形,∠B BC=60°,D,E分别为棱AB,B C 的中点,F为线段C E的中点.
1 1 1 1 1 1
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(1)证明:AF∥平面A DE.
1
(2)在棱BB 上是否存在一点G,使平面ACG⊥平面BB C C?若存在,请指出点G的位置,
1 1 1
并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
创新应用练
9.(17分)(2024·广东广州模拟)金刚石也被称作钻石,是天然存在的最硬的物质,可以用来
切割玻璃,也用作钻探机的钻头.金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由
八个全等的等边三角形围成,且四边形EDFB,四边形AFCE都是正方形.
(1)证明:AE∥平面CDF.
(2)证明:四棱锥E-ABCD是正四棱锥.
(3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直?如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由.
答案：
1.D 解析 设平面α∩平面β=a,设直线b α,直线b 平面β,且b∥a,根据线面平行的判定定理可
得直线b∥β,故A正确;如果α内存在直线与β垂直,则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面
⊂ ⊄
β,与已知矛盾,故B正确;设平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ内作直线m,n,使得m⊥a,n⊥b,
由面面垂直的性质定理可得m⊥α,n⊥β,又l α,l β,∴m⊥l,n⊥l,又α∩β=l,∴m,n为相交直线,又
m,n 平面γ,∴l⊥平面γ,故C正确;平面α⊥平面β,设平面α∩平面β=a,在平面α内与a平行的直
⊂ ⊂
线都不与平面β垂直,故D错误.故选D.
⊂
2.C 解析 由于α∩β=l,所以l α,l β,
若l⊥γ,则α⊥γ,β⊥γ,故充分性成立;
⊂ ⊂
若α⊥γ,β⊥γ,易知l⊥γ,故必要性成立.
3.A 解析 当四面体ABCD为正四面体时,如图所示,点A在平面BCD上的射影为点O,即OA⊥
平面BCD.由于CD 平面BCD,所以OA⊥CD.延长BO交CD于点F,则CD⊥BF.由于
AO∩BF=O,AO,BF 平面ABO,所以CD⊥平面ABO.由于AB 平面ABO,所以AB⊥CD.所以A正
⊂
确,C错误;若点A在平面BCD内的射影是点B,则AB与平面BCD垂直,与已知矛盾,B错误;平面
⊂ ⊂
ABC与平面BCD可能垂直,D错误.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx4.四边形A B C D 为菱形(只要使得A C⊥B D 即可)
1 1 1 1 1 1 1
解析 连接A C ,如图所示.
1 1
因为CC ⊥平面A B C D ,B D 平面A B C D ,则B D ⊥CC .若四边形A B C D 为菱形,则
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A C ⊥B D ,
1 1 1 1 ⊂
又A C ∩CC =C ,CC ,A C 平面A CC ,所以B D ⊥平面A CC ,因为A C 平面A CC ,所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A C⊥B D .
1 1 1 ⊂ ⊂
5.①②④ 解析 因为四边形ABCD是圆柱的轴截面,所以线段AB是底面圆的直径,BC,AD都是
母线.又E是底面圆周上异于A,B的一点,于是得AE⊥BE,而BC⊥平面ABE,AE 平面ABE,则
BC⊥AE.因为BC∩BE=B,BC,BE 平面BCE,则AE⊥平面BCE,因为CE 平面BCE,所以AE⊥CE,
⊂
①正确;同理可证BE⊥DE,②正确:点D不在底面ABE内,而直线AE在底面ABE内,即AE,DE是
⊂ ⊂
两条不同直线,若DE⊥平面BCE,因为AE⊥平面BCE,与过一点有且只有一条直线垂直于已知平
面矛盾,③不正确;因为AE⊥平面BCE,而AE 平面ADE,于是得平面ADE⊥平面BCE,④正确.
6.(1)证明 连接AC,因为四边形ABCD为菱形,
⊂
∠ABC=60°,所以△ACD是正三角形.又E为CD的中点,所以AE⊥CD,则AE⊥AB.因为平面
PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AE 平面ABCD,所以AE⊥平面PAB.因为PB 平
面PAB,所以AE⊥PB.因为AB=√2PA=√2PB=2,所以PA2+PB2=AB2,则PA⊥PB.因为
⊂ ⊂
PA∩AE=A,PA,AE 平面PAE,所以PB⊥平面PAE.又PB 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAE.
1
(2)解 因为AB=2,⊂PA=PB= ,所以AE= ,S = PA·P⊂B=1,
√2 √3 PAB
2
△
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1 1 √3
则V 三棱锥E-PAB = S △PAB ·AE= ×1×√3= .
3 3 3
PE=√PA2+AE2=√2+3=√5,
1 1 √10
由(1)可得PB⊥PE,所以S PBE = PB·PE= ×√2×√5= .
2 2 2
△
设点A到平面PBE的距离为d,
1 √10 √10 √3 √30 √30
则V 三棱锥A-PBE = S PBE ·d= d.由 d= ,解得d= ,故点A到平面PBE的距离为 .
3 6 6 3 5 5
△
7.ABC 解析 因为二面角A-BC-D为直二面角,可得平面ABC⊥平面BCD.又因为平面ABC∩平
面BCD=BC,DC⊥BC,DC 平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A正确;因为DC⊥平面ABC,AB
平面ABC,所以DC⊥AB.又因为AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故
⊂ ⊂
B正确;因为AB⊥平面ACD,AB 平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C正确;假设平面
⊂
ABD⊥平面BCD,因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面ABD=AB,所以AB⊥平面BCD.又
⊂
BC 平面BCD,所以AB⊥BC,矛盾,所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D错误.故选ABC.
8.(1)证明 取A C 的中点M,连接AM,EM,FM,因为AA ∥BB ,且AA =BB ,
⊂ 1 1 1 1 1 1
故四边形AA B B为平行四边形,所以AB∥A B ,且AB=A B ,因为D为AB的中点,则AD∥A B ,且
1 1 1 1 1 1 1 1
1
AD= A B ,因为M,E分别为A C ,B C 的中点,
1 1 1 1 1 1
2
1
所以EM∥A B ,且EM= A B ,
1 1 1 1
2
所以AD∥EM,且AD=EM,故四边形ADEM为平行四边形,所以AM∥DE.
因为AM 平面A DE,DE 平面A DE,
1 1
所以AM∥平面A DE,因为M,F分别为A C ,C E的中点,所以FM∥A E,因为FM 平面
⊄ 1 ⊂ 1 1 1 1
A DE,A E 平面A DE,所以FM∥平面A DE,因为AM∩FM=M,AM,FM 平面AFM,所以平面
1 1 1 1 ⊄
AFM∥平面A DE,
⊂ 1 ⊂
因为AF 平面AFM,故AF∥平面A DE.
1
(2)解 当点G为BB 的中点时,平面ACG⊥平面BB C C,因为四边形AA C C为矩形,则AC⊥CC ,
⊂ 1 1 1 1 1 1
因为BB ∥CC ,则BB ⊥AC,因为四边形BB C C为菱形,则BC=BB ,连接B C.因为∠B BC=60°,则
1 1 1 1 1 1 1 1
△B BC为等边三角形,因为G为BB 的中点,所以BB ⊥CG,因为AC∩CG=C,AC,CG 平面ACG,
1 1 1
⊂
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx所以BB ⊥平面ACG,因为BB 平面BB C C,所以平面ACG⊥平面BB C C,因此,当点G为BB
1 1 1 1 1 1 1
的中点时,平面ACG⊥平面BB C C.
⊂1 1
9.(1)证明 由题意可知,四边形AFCE是正方形,所以AE∥CF,又因为AE 平面CDF,CF 平面
CDF,所以AE∥平面CDF.
⊄ ⊂
(2)证明 如图,连接AC与BD,交于点O,连接EO,易知四边形ABCD为菱形,则AO=CO,BO=DO.
因为EA=EB=EC=ED,∠AEC=∠BED=90°,所以EO⊥AC,EO⊥BD,AC=BD,所以四边形ABCD为
正方形.
又因为AC 平面ABCD,BD 平面ABCD,且AC∩BD=O,所以EO⊥平面ABCD.
所以四棱锥E-ABCD是正四棱锥.
⊂ ⊂
(3)解 取BE中点G,连接AG,GC,根据等边三角形性质可知AG⊥EB,CG⊥EB,
所以∠AGC是二面角A-BE-C的平面角,
√3
设该正八面体棱长为a,则AC=√2a,AG=GC= a,
2
3
则在△AGC中,AG2+GC2= a2≠AC2,所以∠AGC≠90°,所以平面ABE与平面BCE不垂直
2
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