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课时规范练 28 正弦定理和余弦定理
基础巩固练
3
1.(2025·八省联考,7)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC= ,则△ABC的面积为( )
5
A.6 B.8
C.24 D.48
2.(2024·黑龙江牡丹江模拟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形中的
最大角的大小为( )
A.150° B.135°
C.120° D.90°
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan A=√3,b=2c,S =2√3,则a=( )
ABC
A.13 B.2 △
C.2√3 D.3√3
4.(2024·河北石家庄模拟)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-
a)=3bc,且sin A=2sin Bcos C,那么△ABC是( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
π a c
5.(2024·广东湛江期中)在△ABC中,已知A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=
,
=√3,则
3 b b
=( )
1
A. B.2
2
√3 √3
C. D.
2 3
6.(多选题)(2024·河北衡水二中期末)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列结
论正确的是( )
A.若asin A=bsin B,则△ABC为等腰三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形
C.若B=60°,b2=ac,则△ABC为等边三角形
D.若A=30°,b=10,a=4,则B有两解
7.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
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A.若 = ,则A=
cosA sinB 4
B.若sin 2A=sin 2B,则此三角形为等腰三角形
C.若a=1,b=2,A=30°,则此三角形必有两解
D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cos A+cos B
8.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年,他为《周髀算经》一书作序时,介绍了“赵
爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图①所
示.类比“赵爽弦图”,可构造如图②所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个
小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中,若AF=1,FD=2,则AB= .
图①
图②
9.(13分)(2025·江西九江开学考试)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中√3
asin Bcos A=bsin2A.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积为√3,周长为6,求△ABC的外接圆面积.
综合提升练
10.(2024·山东期中) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=7,b=3,c=5,则△ABC
的外接圆半径为( )
△
7√3 14√3
A. B.
3 3
32 64
C. D.
3 3
11.(2024·河南开学考试)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
a b c sin A
, , 成等差数列,则 的最小值为( )
cosA cosB cosC cosBcosC
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C.5 D.6
12.(2024·江苏七市模拟)如图,在△ABC所在平面内,分别以AB,BC为边向外作正方形
3
ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.已知S= ,且
4
asin A+csin C=4asin Csin B,则FH= .
π a+b
13.(15分)(2025·江苏泰州模拟)从①a+acos C= csin(B+C);②csin(B+ )= ;③sin
√3
6 2
B-sin A=sin(C-A)这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答该题.
记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 .
(1)求角C的大小;
5√3
(2)若△ABC的面积为10 ,tan A= ,求AB边上的中线长;
√3
11
(3)若a=√3,求△ABC周长的取值范围.
创新应用练
14.(2024·山西大同高一期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin
a-b
A=(b+c)·sin B,则 的取值范围是( )
c
1 1 1
A.( , ) B.( ,1)
3 2 3
√3 √3 1
C.( ,1) D.( , )
3 3 2
答案：
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1.C 解析 设AB=x,在△ABC中,根据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,将
3 3
BC=8,AC=10,cos∠BAC= 代入,可得82=102+x2-2×10·x· ,即x2-12x+36=0,解得x=6,由于
5 5
1
BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S
△ABC
= ×6×8=24.
2
2.C 解析 由正弦定理,得a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k,所以C最大.
a2+b2-c2 9k2+25k2-49k2 1
由余弦定理,得cos C= = =- .
2ab 2×3k×5k 2
因为0°0),a=
√3
x,在△ABC中,由余弦定理得,(
√3
x)2=x2+c2-2cxcos
b
π c
,所以c=2x,所以 =2.故选B.
3 b
6.AC 解析 若asin A=bsin B,由正弦定理可得a2=b2,则a=b,所以△ABC为等腰三角形,A正确;
因为acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,因为A,B中至少有一个是锐角,则sin
Acos A=sin Bcos B>0,从而可知A,B均为锐角,由sin Acos A=sin Bcos B可得sin 2A=sin 2B,因为
π π
A,B∈(0, ),则2A,2B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B= ,故△ABC为等腰三角
2 2
形或直角三角形,B错误;因为B=60°,b2=ac,在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos
60°=a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,a=c,所以b=a=c,因此, ABC为等边三角形,C正确;因为
△
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A=30°,b=10,a=4,由正弦定理 a = b 得sin B= bsinA 10× 2 5 >1,所以△ABC不存
sin A sinB = =
a 4 4
在,D错误.故选AC.
a b a b a a
7.AD 解析 由正弦定理可知 = ,又 = ,所以 = ,可得tan A=1,因
sinA sinB cosA sinB cosA sinA
π
为A∈(0,π),所以A= ,A正确;因为2A∈(0,2π),2B∈(0,2π),且2A,2B中至多有一个大于π,所以由
4
π
sin 2A=sin 2B可知,2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B= ,所以△ABC为等腰三角形或直角三
2
1
角形,B错误;由正弦定理可得sin B= 2× =1,因为B∈(0,π),所以B= π ,故此三角形有唯
bsin A 2
= 2
a 1
π π π π
一解,C错误;因为△ABC是锐角三角形,所以A+B> ,即 >A> -B>0,又y=sin x在(0, )上单调
2 2 2 2
π
递增,所以sin A>sin( -B)=cos B,
2
π
同理sin B>sin( -A)=cos A,所以两式相加有sin A+sin B>cos A+cos B,D正确.故选AD.
2
π 2π
8 解析 因为△EFD为等边三角形,则∠EDA= ,所以∠BDA= ,由题得△AFC≌△BDA,
.√13
3 3
所以AF=BD=1.在△ABD中,AD=3,BD=1,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-
1
2AD·BDcos∠BDA=32+12-2×3×1×(- )=13,所以AB=
√13.
2
9.解 (1)由正弦定理得√3sin Asin Bcos A=sin Bsin2A,易知sin A,sin B≠0,故√3cos A=sin A,则tan
π
A= √3. 因为A∈(0,π),故A= .
3
1 √3
(2)由题意S
ABC
= bcsin A= bc=√3,故bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=(6-
2 4
△
a)2-12,解得a=2.
a 2√3 4π
故△ABC的外接圆半径R= = ,故所求外接圆面积S=πR2= .
2sin A 3 3
b2+c2-a2 9+25-49 1
10.A 解析 在△ABC中,由余弦定理得,cos A= = =- ,
2bc 2×3×5 2
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因为A∈(0,π),所以A= ,
3
1 a 1 7 7√3
· = × =
则由正弦定理得△ABC外接圆半径R= ,故选A.
2 sin A 2 2π 3
sin
3
a c 2b sin A sinC 2sinB
11.A 解析 由题知 + = ,由正弦定理得 + = ,
cosA cosC cosB cosA cosC cosB
sinAcosC+cosAsinC sin(A+C) sinB 2sinB
即 = = = .因为B∈(0,π),sin B>0,所以
cosAcosC cosAcosC cosAcosC cosB
cos B=2cos Acos C,又cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C,
所以-cos Acos C+sin Asin C=2cos Acos C,
得tan Atan C=3,又A,C中至多有一个是钝角,所以tan A>0,tan C>0,
sin A sin(B+C) sinBcosC+cosBsinC
因为 = = =tan B+tan C=-tan(A+C)+tan C=-
cosBcosC cosBcosC cosBcosC
tan A+tanC
+tan C=
1
tan A+
3
tan C,由基本不等式得
1
tan A+
3
tan C≥2
√3
tan AtanC=3,当
1-tan AtanC 2 2 2 2 4
{1 3
tan A= tanC, sin A
且仅当 2 2 即tan A=3,tan C=1时等号成立,所以 的最小值为3.故选
cosBcosC
tan AtanC=3,
A.
1 3
12.3 解析 在△ABC中,S= acsin B= ,∵asin A+csin C=4asin Csin B,
√2
2 4
a b c
又 = = ,∴a2+c2=4acsin B=6.
sinA sinB sinC
连接BF,BH,如图所示,在△BFH中,由余弦定理得FH2=FB2+HB2-2FB·HB·cos∠FBH,
3π 3π
又∠FBH= -B,∴FH2=FB2+HB2-2FB·HB·cos( -B)=2(c2+a2)+4acsin B=18,∴FH=3
√2.
2 2
13.解 (1)若选择条件①,则有a+acos C=√3csin(B+C),在△ABC中,由正弦定理得sin A+sin Acos
C=√3sin Csin A,
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又sin A≠0,所以1+cos C= sin C,所以 sin C-cos C=1,故2sin(C- )=1.
√3 √3
6
π π π
因为C∈(0,π),所以C- = ,解得C= .
6 6 3
π a+b
若选择条件②,则有csin(B+ )= ,
6 2
π sinA+sinB
在△ABC中,由正弦定理得sin Csin(B+ )= ,
6 2
√3 1 sin(B+C)+sinB sinB+sinBcosC+cosBsinC
故sin C( sin B+ cos B)= = ,
2 2 2 2
整理得√3sin Bsin C=sin Bcos C+sin B,
π
因为sin B≠0,所以 sin C=cos C+1,故 sin C-cos C=1,得到2sin(C- )=1.
√3 √3
6
π π π
因为C∈(0,π),所以C- = ,解得C= .
6 6 3
若选择条件③,则有sin B-sin A=sin(C-A),在△ABC中,sin(A+C)-sin A=sin(C-A),
所以sin Acos C+cos Asin C-sin A=sin Ccos A-cos Csin A,
故2sin Acos C=sin A,
1 π
由A∈(0,π),可得2cos C=1,因为C∈(0,π),所以解得cos C= ,故C= .
2 3
5√3 sin A 5√3 5√3
(2)在△ABC中,因为tan A= ,所以 = ,所以5√3cos A=11sin A,故sin A= cos A,
11 cosA 11 11
5√3
而在△ABC中,sin A>0恒成立,所以cos A>0.因为sin2A+cos2A=1,所以( cos A)2+cos2A=1,解得
11
11 5√3 1 5√3
cos A= ,sin A= ,因为△ABC的面积为10√3,所以 × ×bc=10√3,解得bc=56.由(1)得
14 14 2 14
π 1 √3
C= ,故 × ×ab=10√3,解得ab=40,
3 2 2
5√3 1 11 √3 4√3 1 4√3
而sin B=sin(A+C)= × + × = ,所以 × ×ac=10√3,解得ac=35,
14 2 14 2 7 2 7
综上,a=5,b=8,c=7(负值舍去).
1
设AB边上的中线为CD,由向量中线定理得⃗CD= (⃗CA+⃗CB),
2
1 1
所以|⃗CD |2= (|⃗CA |2+2×|⃗CA |×|⃗CB |× +|⃗CB |2),
4 2
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代入得|⃗CD |2= (25+2×5×8× +64)= (25+40+64),解得|⃗CD |2= ,
4 2 4 4
√129 √129
故|⃗CD |= ,故中线长度为 .
2 2
π
(3)在△ABC中,因为a= ,且由(1)得C= ,
√3
3
√3 b c √3 b c
= = = =
所以由正弦定理得 sinA sinB √3 ,故 sinA π √3 ,
sin(A+ )
2 3 2
π
解得c= 3 ,b= √3sin(A+ ),
3
2sin A
sinA
所以b+c=
π 1 √3
√3sin(A+ ) 2√3( sin A+ cosA)
3 3 2 2 3 √3sin A+3cosA 3 √3 3 3
+ = + = + = + +
sin A 2sin A 2sin A 2sin A 2sin A 2sin A 2 2sin A 2tan A
√3 3 3 3√3 3 3
,故△ABC的周长为 + + +√3= + + .
2 2sin A 2tan A 2 2sin A 2tan A
π 2π π π π
在锐角△ABC中,A∈(0, ),B= -A∈(0, ),所以A∈( , ).
2 3 2 6 2
π π 3 3 π π
因为y=sin A,y=tan A在( , )上单调递增,所以y= ,y= 在( , )上单调递减.设
6 2 2sinA 2tanA 6 2
3√3 3 3 π π π π
f(A)= + + ,则f(A)在( , )上单调递减,当A→ 时,f(A)→3 √3 +3,当A→ 时,
2 2sin A 2tan A 6 2 6 2
3√3 3 3√3 3 3√3 3
f(A)→ + ,所以f(A)∈( + ,3√3 +3),故△ABC周长的取值范围为( + ,3√3 +3).
2 2 2 2 2 2
14.A 解析 因为asin A=(b+c)sin B,由正弦定理得a2=(b+c)b,在△ABC中,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)b,即c-b=2bcos A,由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,所以sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B),
又A∈(0,π),B∈(0,π),则A-B∈(-π,π),所以B=A-B或B+(A-B)=π,即A=2B或A=π(舍去),则C=π-A-
B=π-3B,
{ 0<2B<π,
所以
0<π-3B<π,
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解得0
