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课时规范练 61 成对数据的统计分析
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
参考公式:样本相关系数r=i=1 i i =i=1 i i ,经验回
√ n √ n √ n √ n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2 ∑x2-nx2 ∑y2-n y2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
归方程^ ^ ^x中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
y=a+b
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
b ^ =i=1 i i =i=1 i i ,a ^ = y−b ^ x .
n n
∑(x -x)2 ∑x2-nx2
i i
i=1 i=1
基础巩固练
1.(多选题)(2024·山东菏泽模拟)某公司给一款新产品投放广告,根据统计,投入x(单位:万
元)的广告费与该产品的收益y(单位:万元)的统计数据如下表所示,根据表中的数据可得
到经验回归方程为^ ^x+2.6,则下列结论正确的是( )
y=b
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28 36
A.y与x的样本相关系数r>0
B.^=2.8
b
C.当投入15万元的广告费时,该产品的收益一定是44.6万元
D.x=12时,残差为0.2
2.(2024·山东菏泽模拟)已知x,y之间的一组数据:
x 1 4 9 16
y 1 2.98 5.01 7.01
若y与 满足回归方程 ^ ^ ^,则此曲线必过点 .
√x y=b√x+a
3.(13分)(2025·八省联考,15)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:
只)试验,得到如下列联表:
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1)求s,t;
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值;
(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效?
n(ad-bc)2
附:χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
4.(13分)(2024·安徽合肥模拟)近年来,我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明
显提升,产销规模连续六年位居世界首位.某汽车城从某天开始连续的营业天数x与新能
源汽车销售总量y(单位:辆)的统计数据如下表所示:
从某天开始连续的营业天数x 10 20 30 40 50
新能源汽车销售总量y/辆 62 68 75 81 89
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明(结果精确到0.001);
(2)求y关于x的经验回归方程
^
^x+^,并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量.
y=b a
5 5
参考数据:∑x
i
y
i
=11 920,∑y2=28 575,
√5
≈2.236.
i
i=1 i=1
综合提升练
5.(2024·福建宁德三模)在某活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午10点
开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前
5次的数据(i,y),其中i=1,2,3,4,5,y 为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关于
i i
i的回归方程 y ^ =b ^log 2 (i+1)+5.已知 y =9,根据回归方程(参考数据:log 2 3≈1.6,log 2 5≈2.3),可
预测下午4点时入口游客的人流量为( )
A.9.6 B.11.0
C.11.3 D.12.0
6.(13分)(2024·广东江门模拟)某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投
入.该公司近5年的年广告费x(单位:百万元)和年销售量y(单位:百万辆)关系如图所示:
i i
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx令v=ln x(i=1,2,…,5),数据经过初步处理得:
i i
5 5 5 5 5
5 5 ∑(x- ∑(y- ∑(v- ∑(x-x)· ∑(y-y)·
∑y
i
∑v
i i=1
i
i=1
i
i=1
i
i=1
i
i=1
i
i=1 i=1 x)2 y)2 v)2 (y-y) (v-v)
i i
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有① ^ ^x+^ 和② ^ ^ln x+^ 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归方程模
y=b a y=n m
型,其中a,b,m,n均为常数.
(1)请从样本相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?(不能整除的保留2位小数)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为600万元
时,产品的年销售量是多少?
参考数据:√40.3×1.612=8.06,√403≈20.1,ln 5≈1.6,ln 6≈1.8.
答案：
1.AB 解析 由表格可知,x越大,y越大,所以x与y正相关,所以样本相关系数r>0,故A正确;
x=
5+6+8+9+12
=8,y=
16+20+25+28+36
=25,则经验回归直线经过点(8,25),则25=8^+2.6,
b
5 5
所以^=2.8,故B正确;因为^=2.8x+2.6,当x=15时,^=2.8×15+2.6=44.6,该产品的收益大概是44.6
b y y
万元,C选项错误;因为^=2.8x+2.6,当x=12时,^=2.8×12+2.6=36.2,则残差为y-^=36-36.2=-0.2,
y y y
故D选项错误.故选AB.
1+2+3+4 1+2.98+5.01+7.01
2.(6.25,4) 解析 依题意,
√x
的平均数为 =2.5,y= =4,所以此
4 4
曲线必过点(6.25,4).
3.解 (1)由列联表知s=100+80=180,t=80+70=150.
(2)由列联表知,未服用药物A的动物有s=180只,
未服用药物A且患疾病B的动物有80只,
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所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为 = ,所以未服用药物A的动物患疾病B的概
180 9
4
率的估计值为p=
.
9
(3)零假设为H :药物A对预防疾病B无效,由列联表得到χ2=
0
400×(100×70-150×80)2 2 000
= ≈6.734>6.635,
180×220×250×150 297
根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H 不成立,即认为药物A对预防疾病B有效,该推断犯
0
错误的概率不超过0.01.
10+20+30+40+50 62+68+75+81+89
4.解 (1)x= =30,y= =75,
5 5
5
5
x y
=5×30×75=11 250,∑x2=102+202+302+402+502=5 500,则样本相关系数r=
i
i=1
5
∑x y -5x y
i i 11 920-11 250 670
i=1 = = ≈ 0.999.
√ 5 √ 5 √5 500-5×302×√28 575-5×752 √1 000×√450
∑x2-5x2 ∑y2-5 y2
i i
i=1 i=1
由此可以认为y与x的相关性很强,
从而可用线性回归模型拟合y与x的关系.
5
∑x y -5x y
(2)由(1)得 b ^ =i=1 i i = 670 =0.67,
5 1 000
∑x2-5x2
i
i=1
^ ^ =75-0.67×30=54.9,所以y关于x的经验回归方程为^=0.67x+54.9.
a= y−bx y
将x=130代入^=0.67x+54.9,得^=0.67×130+54.9=142,所以预测该汽车城连续营业130天的汽
y y
车销售总量为142辆.
5.C 解析 设x=log
2
(i+1),i=1,2,3,4,5,则^ ^x+5,所以
y=b
log 2+log 3+log 4+log 5+log 6 4+2log 3+log 5 4+2×1.6+2.3
x= 2 2 2 2 2 = 2 2 ≈ =1.9,且y
5 5 5
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b
^
×
1.9+5,得b ^ = 4 ≈2.1,所以
y
^=2.1log
2
(i+1)+5,下午4点对应的i=7,此时预测游客的
1.9
人流量^=2.1×log 8+5=11.3.
2
y
6.解 (1)设模型①和②的样本相关系数分别为r ,r .
1 2
5
∑(x -x)(y - y)
由题意可得r 1 =i=1
i i
=
19.5
≈
19.5
≈ 0.97,
√ 5 √ 5 √403 20.1
∑(x -x)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
65
(说明:若化简成r 1≈ ,再比较r 1 与r 2 的大小亦可)
67
令v=ln x,则^=nv+m,
y
5
∑(y - y)(v -v)
则r 2 =i=1
i i
=
8.06
=
8.06
=1,
√ 5 √ 5 √40.3×√1.612 8.06
∑(y - y)2 ∑(v -v)2
i i
i=1 i=1
所以|r |<|r |,由样本相关系数的相关性质可得,模型②的拟合程度更好.
1 2
5
∑(y - y)(v -v)
(2)由条件得 n ^ =i=1 i i = 8.06 =5,又由 v= 1 ∑ 5 v i =0.96, y= 1 ∑ 5 y i =8.8,得 m ^ = y -5 v
5 1.612 5 5
∑(v -v)2 i=1 i=1
i
i=1
=8.8-0.96×5=4,所以^=5v+4,即y关于x的回归方程为^=5ln x+4,当x=6时,y=5ln 6+4≈13,因此
y y
当年广告费为600万元时,产品的销售量约为1 300万辆
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