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课时规范练 50 圆的方程
基础巩固练
1.(2024·辽宁大连一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10
2.(2024·河北沧州二模)若点A(2,1)在圆x2+y2-2mx-2y+5=0(m∈R)外,则实数m的取值范
围为( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
3.(2024·河北邯郸二模)由动点P向圆M:(x+2)2+(y+3)2=1引两条切线PA,PB,切点分别为
A,B,若四边形APBM为正方形,则动点P的轨迹方程为( )
A.(x+2)2+(y+3)2=4
B.(x+2)2+(y+3)2=2
C.(x-2)2+(y-3)2=4
D.(x-2)2+(y-3)2=2
4.(2024·辽宁鞍山二模)已知直线l:x-y-2=0,点C在圆(x-1)2+y2=2上运动,那么点C到直线
l的距离的最大值为( )
3√2 5√2
A. +1 B.
2 2
3√2 √2
C. D.
2 2
5.(2020·北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.(2024·山东枣庄一模)在平面直角坐标系xOy中,已知A(-3,0),B(1,0),P为圆C:(x-3)2+
(y-3)2=1上的动点,则|PA|2+|PB|2的最小值为( )
A.34 B.40
C.44 D.48
7.(2024·广东佛山二模)在平面直角坐标系中,已知A(1,2),B(3,2),C(3,0),则△ABC的外接
圆的标准方程为 .
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8.(2024·东北三省三校联考)点M(x,y)为圆x2+y2-10x+16=0上的动点,则 的取值范围为
x
.
9.(2024·江苏盐城模拟)已知A(-1,0),B(1,0),若点P满足PA⊥PB,则点P到直线l:m(x-√3)
+n(y-1)=0的距离的最大值为 .
10.(13分)(2025·北京西城检测)已知☉C经过点A(1,3)和B(5,1),且圆心C在直线x-y+1=0
上.
(1)求☉C的方程;
(2)设动直线l与☉C相切于点M,点N(8,0).若点P在直线l上,且|PM|=|PN|,求动点P的
轨迹方程.
综合提升练
11.(2024·湖北襄阳模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足|MA|=2|MO|.
若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与动点M的轨迹恒有公共点,则b的取值范围是( )
√13 √13 √14 √14
A.[- , ] B.[- , ]
3 3 3 3
√15 √15 4 4
C.[- , ] D.[- , ]
3 3 3 3
12.(2024·山东潍坊模拟)点M,N在圆C:x2+y2+2kx+2my-4=0上,且M,N两点关于直线x-
y+1=0对称,则圆C的半径( )
√2 √2
A.最大值为 B.最小值为
2 2
3√2 3√2
C.最小值为 D.最大值为
2 2
13.(2024·湖南衡阳模拟)已知点P(t,t-1),t∈R,点O是坐标原点,点Q是圆(x-3)2+(y+1)2=1
上的动点,则|PQ|-|PO|的最大值为( )
5
A.2 B.
2
C.3 D.4
14.已知点A(2,-1),B(4,3),C(-1,2),其中一点在圆E内,一点在圆E上,一点在圆E外,则圆E
的方程可能是 .(答案不唯一,写出一个正确答案即可)
15.(15分)(2025·上海闵行检测)设直线l为公海与领海的分界线,一巡逻艇在A处发现了
北偏东60°的海面B处有一艘走私船,此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮C航
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx行,以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍,A与l相距约为20海里,
走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中,试问:
(1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行,且走私船和巡逻船相距6海里,那么走私船能被
截获的点是哪些?
(2)设AB=2t(t>0),要保证巡逻艇在领海内捕获走私船,A,B相距最远是多少海里?
创新应用练
16.如图是一座圆拱桥示意图,该圆弧拱跨度AB为500 m,圆拱的最高点H离水面AB的
高度为100 m,桥面CD离水面AB的高度为50 m.以H为原点,⃗AB方向为x轴正方向,AB
中垂线向上为y轴正方向,建立平面直角坐标系.写出圆拱所在圆的方程为 ;
桥面在圆拱内部的CD的长度是 m.(√6≈2.449,结果精确到0.1 m)
答案：
{(-1-a)2+1=r2,
1.D 解析 设该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x-a)2+y2=r2,则有 解得
(1-a)2+9=r2,
{ a=2,
故该圆的方程为(x-2)2+y2=10.
r=√10,
2.C 解析 由题意知22+12-4m-2+5>0,故m<2,又由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可得
D2+E2-4F>0,即(-2m)2+(-2)2-4×5>0,即m<-2或m>2,所以实数m的取值范围为m<-2.
3.B 解析 因为四边形APBM为正方形,且MA=MB=1,所以MP=√2,故动点P的轨迹是以M为
圆心,√2为半径的圆,其方程为(x+2)2+(y+3)2=2.
4.C 解析 圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1,0),半径为r=√2,
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则圆心(1,0)到直线l:x-y-2=0的距离为d= = .
√1+1 2
√2 3√2
所以点C到直线l:x-y-2=0距离的最大值为 +√2= .
2 2
5.A 解析 设圆心C(x,y),则√(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是
以点M(3,4)为圆心,1为半径的圆.
所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当点C在线段OM上时取得等号.
6.B 解析 设P(x,y),则|PA|2+|PB|2=(x+3)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+4x+10=2[(x+1)2+y2]+8,即|PA|
2+|PB|2等价于点P到点Q(-1,0)的距离的平方的2倍加8,又|PQ|≥|QC|-|PC|=√(3+1)2+32
-1=5-1=4,即|PA|2+|PB|2≥2×42+8=40.
7.(x-2)2+(y-1)2=2 解析 依题意,设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-
4F>0),
{1+4+D+2E+F=0, {D=-4,
则 9+4+3D+2E+F=0,解得 E=-2,
9+0+3D+0+F=0, F=3,
所以所求圆的一般方程为x2+y2-4x-2y+3=0,其标准方程为(x-2)2+(y-1)2=2.
3 3 y
8.[- , ] 解析 令 =k,由于圆x2+y2-10x+16=0和y轴无公共点,故命题等价于求实数k的取值
4 4 x
范围,使得直线y=kx与圆x2+y2-10x+16=0有公共点.该圆的方程可化为(x-5)2+y2=9,故问题等价
|5k| 3 3
于点(5,0)到直线y=kx的距离不超过3,即 ≤3,解得- ≤k≤ .
√k2+1 4 4
9.3 解析 由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆,圆心为(0,0),半径为1,又直线
l:m(x-√3)+n(y-1)=0过定点(√3,1),故点P到直线l的距离的最大值为√3+1+1=3.
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{(1-a)2+(3-a-1)2=r2, {a=5,
则 解得
(5-a)2+(1-a-1)2=r2, r=5.
所以☉C的方程为(x-5)2+(y-6)2=25.
(2)由题可知△PMC为直角三角形,且PM⊥MC,所以|PM|2+|MC|2=|PC|2.由|PM|=|PN|,得|PN|2+|
MC|2=|PC|2.
设P(x,y),则(x-8)2+y2+25=(x-5)2+(y-6)2,即3x-6y-14=0,经检验符合题意.
所以动点P的轨迹方程为3x-6y-14=0.
11.C 解析 设点M(x,y),∵|MA|=2|MO|,∴(x+2)2+y2=4x2+4y2,所以动点M的轨迹为圆C:x2+y2-
4x 4
− =0.又直线l:y=k(x-1)+b恒过点(1,b),∵对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与圆C恒有公共
3 3
4 4 5 √15 √15
点,∴点(1,b)在圆C的内部或圆C上,所以12+b2- − ≤0,所以b2≤ ,解得- ≤b≤ ,即b的
3 3 3 3 3
√15 √15
取值范围是[- , ].
3 3
12.C 解析 由x2+y2+2kx+2my-4=0,得(x+k)2+(y+m)2=k2+m2+4,
所以圆心C为(-k,-m),半径为r=√k2+m2+4,由题意可得直线x-y+1=0经过圆心C(-k,-m),
√ 1 9 3√2
故有-k+m+1=0,即k=m+1,所以半径r=√k2+m2+4=√(m+1)2+m2+4= 2(m+ ) 2+ ≥ ,
2 2 2
1 3√2
当m=- 时,圆C的半径取最小值 .
2 2
{ x=t,
13.C 解析 令点P(x,y),则 于是y=x-1,即点P的轨迹为直线l:x-y-1=0,
y=t-1,
圆(x-3)2+(y+1)2=1的圆心C(3,-1),半径r=1,而点Q在圆C上,则|PQ| =|PC|+r,因此(|PQ|-|
max
PO|) =r+(|PC|-|PO|) .
max max
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{ =-1,
a-3
设点C关于直线l的对称点为C'(a,b),则|PC|=|PC'|,则有 解得a=0,b=2,即
a+3 b-1
- -1=0,
2 2
C'(0,2),因此|PC|-|PO|=|PC'|-|PO|≤|OC'|=2,当且仅当点P,O,C'共线,且点O在线段PC'上时取等
{ x=0, { x=0,
号,直线OC'方程为x=0,由 解得 即直线x=0与直线l交于点P'(0,-1),所以当点
y=x-1, y=-1,
P与P'重合时,(|PC|-|PO|) =2,(|PQ|-|PO|) =1+2=3.
max max
14.(x+1)2+(y-2)2=18(答案不唯一) 解析 因为A(2,-1),B(4,3),C(-1,2),所以|AB|=
√(4-2)2+(3+1)2=2√5,
|AC|=√(-1-2)2+(2+1)2=3√2,|BC|=√(-1-4)2+(2-3)2=√26,
所以|BC|>|AB|>|AC|,以点C为圆心,以3√2为半径,得到圆(x+1)2+(y-2)2=18,满足题意(或以点B
为圆心,以2√5为半径,得到圆(x-4)2+(y-3)2=20,满足题意;或以点A为圆心,以3√2为半径,得到圆
(x-2)2+(y+1)2=18,满足题意等).
15.解 (1)由题意得A(0,0),B(3√3,3),设走私船能被截获的点为P(x,y),
则|AP|=2|BP|,
则√x2+ y2=2√(x-3√3)2+(y-3)2,化简得(x-4√3)2+(y-4)2=16.
因此,走私船能被截获的点的轨迹是以(4√3,4)为圆心,4为半径的圆.
(2)设走私船能被截获的点为P(x,y),|AB|=2t(t>0),则B(√3t,t),
4√3 2 4 2 4 2 4√3
由|AP|=2|BP|,整理得 (x- t) +(y- t) =( t) ,走私船能被截获的点的轨迹是以D( t,
3 3 3 3
4 4
t)为圆心, t为半径的圆,记为圆D.若要保证巡逻艇在领海内捕获走私船,圆D内部区域与直线
3 3
4√3 4 |4 | 4 15
l:y-20=0不相交,则圆心D( t, t)到直线l的距离 t-20 ≥ t t≤ ,所以A,B相距最远是
3 3 3 3 2
⇒
15海里.
725 525 625
16.x2+(y+ )2= 367.4 解析 (1)设圆拱所在圆的圆心为G,如图所示.
2 4
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx设CD与y轴交于点E,AB与y轴交于点F,连接GA.
设圆的半径为r,则|AF|=250,|GF|=r-100,|AG|=r,
在Rt AFG中,|AF|2+|GF|2=|AG|2,
725 725 725
所以△2502+(r-100)2=r2,解得r= ,所以G(0,- ),所以圆拱所在圆的方程为x2+(y+ )2=
2 2 2
525 625
.
4
725 725
(2)由题意得,|HE|=50,把y=-50代入(1)所求圆的方程,得x2+(-50+ )2=( )2,解得x=±75 ,
√6
2 2
所以|CD|=150√6≈367.4.所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4 m
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