课时规范练35　数列的概念与简单表示法_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版《优化设计》新高考版一轮（生物+数学）_2026年高考数学一轮（优化设计新高考版）_课后习题Word

课时规范练 35 数列的概念与简单表示法 基础巩固练 1 2 3 4 5 1.已知数列 , , , , ,…,则0.96是该数列的( ) 2 3 4 5 6 A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项 {2a -1,n为偶数, 2.已知数列{a },若a =1,且a = n-1 则a =( ) n 1 n 2a +2,n为奇数, 5 n-1 A.7 B.13 C.16 D.22 a 3.(2024·福建漳州一模)已知各项均不为0的数列{a }的前n项和为S ,若3S =a +1,则 8 n n n n a 7 =( ) 1 1 A.- B.- 2 3 1 1 C. D. 2 3 4.(2024·山东济宁三模)已知数列{a }中,a =2,a =1,a =a -a (n≥2,n∈N*),则a =( n 1 2 n+1 n n-1 2 024 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(2024·河北唐山二模)已知数列{a }满足a =a +a +2n,a =130,则a =( ) n n+1 n 1 10 1 A.1 B.2 C.3 D.4 4n-199 6.(2024·安徽马鞍山模拟)已知a = ,则这个数列的前100项中的最大项与最小项 n 2n-99 分别是( ) A.a ,a B.a ,a 1 50 1 100 C.a ,a D.a ,a 49 50 49 100 1 7.(多选题)对于数列{a },定义:b =a + (n∈N*),称数列{b }是{a }的“倒和数列”.下列 n n n n n a n 说法正确的有( ) A.若{a }是递增数列,则{b }是递增数列 n n 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxB.若a =2n,则数列{b }有最小值2 n n 5 C.若a =2n,则数列{b }有最小值 n n 2 D.若b =b >0,且a ≠a ,则a a =1 n+1 n n+1 n n+1 n 2n a 8.(2024·广东河源模拟)已知正项数列{a }满足a = a ,则 10= . n n+1 n n+1 a 6 a a a 9.(2024·江西抚州模拟)数列{a }满足a + 2+ 3+…+ n=3n-2(n∈N*,n≥1),则a = n 1 n 2 3 n . S +9 10.(2024·广东广州一模)已知数列{a }的前n项和S =n2+n,当 n 取最小值时,n= n n a n . 11.(13分)(2025·北京名校一轮复习)根据下面的条件,求以下各个数列的通项公式: (1)已知数列{a }的前n项和S 满足S =3n-2(n∈N*); n n n 1 (2)已知数列{a }满足:a =1,且a +2a +3a +…+na = [(2n-1)a +1]对任意n∈N*恒成立. n 1 1 2 3 n n+1 4 综合提升练 S S 12.(2024·湖北武汉模拟)已知数列{a n }的前n项和为S n ,且满足a 1 =2, n+1 − n=1,则数列 n+1 n { a } n 的最大项为( ) a a n+1 n+8 1 1 A. B. 36 30 3 1 C. D. 88 15 {(3-a)n-3,n≤7, 13.(多选题)已知数列{a }满足a = (n∈N*),且数列{a }是递增数列,则 n n an-6,n>7 n 实数a的可能取值是( ) 9 A.2 B. 4 11 C. D.3 4 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx14.现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏,从甲开始依次进行,当甲报出1,乙报出2 后,之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字,则第2 025个被报出 的数应该为 . n 15.(17分)(2025·上海甘泉外国语学校期中)当p ,p ,…,p 均为正数时,称 为 1 2 n p +p +…+p 1 2 n 1 p ,p ,…,p 的“均倒数”.若数列{a }的各项均为正数,且其前n项的“均倒数”为 . 1 2 n n 2n+1 (1)试求数列{a }的通项公式; n a (2)设c = n ,试判断并说明c -c 的符号(n为正整数); n n+1 n 2n+1 a (3)设f(x)=-x2+4x- n ,是否存在实数λ,使得当x≤λ时,对于一切正整数n,都有f(x)≤0 2n+1 恒成立,并说明理由. 创新应用练 16.(2024·山东日照二模)“-1,0,1序列”在通信技术中有着重要应用,该序列中的数取值 于-1,0或1.设A是一个有限“-1,0,1序列”,f(A)表示把A中每个-1都变为-1,0,每个0都 变为-1,1,每个1都变为0,1,得到新的有序实数组.例如:A=(-1,0,1),则f(A)=(-1,0,-1,1,0,1). 定义A =f(A ),k=1,2,3,…,若A =(-1,1),A 中1的个数记为b ,则{b }的前10项和为 k+1 k 1 n n n . 答案： n n 1.C 解析 由题意可得数列的一个通项公式为a = ,令 =0.96,解得n=24. n n+1 n+1 2.C 解析 由题意可知a =2a -1=1,a =2a +2=4,a =2a -1=7,a =2a +2=16. 2 1 3 2 4 3 5 4 3.A 解析 因为3S =a +1,则3S =a +1,两式相减可得3a =a -a ,即2a =-a ,令n=7,可得 n n n+1 n+1 n+1 n+1 n n+1 n a 1 2a =-a ,且a ≠0,所以 8=- . 8 7 n a 2 7 4.C 解析 由a =2,a =1,a =a -a (n≥2,n∈N*),得a =a -a =-1,a =a -a =-2,a =a -a =-1,a =a - 1 2 n+1 n n-1 3 2 1 4 3 2 5 4 3 6 5 a =1,a =a -a =2,a =a -a =1,…… 4 7 6 5 8 7 6 则{a }是以6为周期的周期数列,所以a =a =a =1. n 2 024 337×6+2 2 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx5.D 解析 由题意可得a -a =a +2n,则可得a -a =a +2,a -a =a +4,…,a -a =a +18,将以上等式 n+1 n 1 2 1 1 3 2 1 10 9 1 9×(2+18) 左右两边分别相加得,a -a =9a + =9a +90,即a =10a +90. 10 1 1 1 10 1 2 又a =130,所以a =4. 10 1 4n-199 4n-198-1 1 1 6.C 解析 a = = =2- ,当1≤n≤49,n∈N*时,2n-99<0,a =2- n n 2n-99 2n-99 2n-99 2n-99 1 >2,且随着n的变大,a 变大;当50≤n≤100,n∈N*时,2n-99>0,a =2- <2,且随着n的变大,a n n n 2n-99 变大.故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是a ,a . 49 50 1 7.CD 解析 函数f(x)=x+ 在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在区间(-1,0),(0,1)上单调递减.对于 x A,由于函数f(x)在定义域上不单调,则由数列{a }是递增的,无法判断数列{b }的单调性,故A错误; n n 1 5 对于B,C,a =2n≥2,则数列{b }有最小值b =a + = ,故B错误,C正确;对于D,由b =b >0,得 n n 1 1 n+1 n a 2 1 1 1 1 a >0,a + -a - =0,整理得(a -a )(1- )=0,而a ≠a ,因此a a =1,故D正确.故选CD. n n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n a a a a n+1 n n+1 n 48 2n a 2n 8. 解析 由a = a 可得 n+1= ,由累乘法可得 n+1 n 5 n+1 a n+1 n a a a a a 2×9 2×8 2×7 2×6 48 10= 10· 9· 8· 7= × × × = . a a a a a 9+1 8+1 7+1 6+1 5 6 9 8 7 6 { 1,n=1, a a a 9. 解析 因为a + 2+ 3+…+ n=3n-2(n∈N*,n≥1),当n=1时,a =31-2=1;当 2n×3n-1,n≥2 1 2 3 n 1 a a a a n≥2时,a + 2+ 3+…+ n-1=3n-1-2.所以 n=3n-3n-1=2×3n-1,所以a =2n×3n-1(n≥2). 1 n 2 3 n-1 n 当n=1时,a 不符合上式, 1 { 1,n=1, 所以a = n 2n×3n-1,n≥2. 10.3 解析 因为S =n2+n,则当n≥2时,a =S -S =n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.又当n=1时,a =S =2,满 n n n n-1 1 1 S +9 n2+n+9 1 9 1 9 足a =2n,故a =2n,则 n = = (n+ )+ .又y=x+ 在区间(1,3)上单调递减,在区间 n n a 2n 2 n 2 x n 9 S +9 (3,+∞)上单调递增,故当n=3时,n+ 取得最小值,即n=3时, n 取得最小值. n a n 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx11.解 (1)数列{a }的前n项和S 满足S =3n-2(n∈N*),当n≥2时,可得a =S -S =3n-3n-1=2·3n-1,当 n n n n n n-1 { 1,n=1, n=1时,a =S =1不符合上式,所以数列{a }的通项公式为a = 1 1 n n 2·3n-1,n≥2. 1 1 (2)由a +2a +3a +…+na = [(2n-1)a +1],可得a +2a +3a +…+na +(n+1)a = 1 2 3 n n+1 1 2 3 n n+1 4 4 [(2n+1)a +1], n+2 1 1 1 两式相减可得(n+1)a = [(2n+1)a +1]- [(2n-1)a +1],整理得a =3a ,当n=1时,a = n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 1 4 4 4 (a +1)且a =1,解得a =3,可得a =3a , 2 1 2 2 1 所以数列{a }表示首项为1,公比为3的等比数列,所以a =1·3n-1=3n-1, n n 所以数列{a }的通项公式为a =3n-1. n n S S {S } 12.C 解析 因为 n+1 − n=1,所以 n 是以1为公差的等差数列. n+1 n n S S 又 1=a =2,所以 n=2+(n-1)=n+1,即S =n2+n,则当n≥2时,a =S -S =n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 1 n n n n-1 1 n a n n 1 n = = = . 又当a =2时,符合上式,故a =2n,则 1 n a a 2(n+1)(n+8) 2(n2+9n+8) 8 n+1 n+8 2(n+ +9) n 8 a 1 又函数y=x+ 在区间(0,2√2)上单调递减,在(2√2,+∞)上单调递增.当n=2时, 2 = ,当n=3 x a a 30 3 10 a 3 { a } 3 时, 3 = ,故数列 n 的最大项为 . a a 88 a a 88 4 11 n+1 n+8 {(3-a)n-3,n≤7, 13.BC 解析 因为a =f(n)= n∈N*,{a }是递增数列,所以 n an-6,n>7, n { 3-a>0, a>1, (3-a)×7-31, 解得22或a<-9, 14.2 解析 报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6,…,除首项以外是周期为6的周期数列.去 掉首项后的新数列第一项为2.因为2 024=337×6+2,所以原数列第2 025个被报出的数应该为2. 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx15.解 (1)依题意,a +a +…+a =n(2n+1),当n≥2时,a +a +…+a =(n-1)(2n-1),两式相减得 1 2 n 1 2 n-1 1 1 1 a =4n-1(n≥2),而当n=1时, = = ,解得a =3,满足上式,所以数列{a }的通项公式是 n 1 n a 2×1+1 3 1 a =4n-1. n a 4n-1 4(n+1)-1 4n+3 (2)由(1)知,a =4n-1,c = n = ,c = = ,因此c -c = n n n+1 n+1 n 2n+1 2n+1 2(n+1)+1 2n+3 4n+3 4n-1 3 3 − = − >0,所以c n+1 -c n 的符号为正. 2n+3 2n+1 2n+1 2n+3 (3)由(2)知数列{c }是递增数列,c =1是其最小项,即c ≥c =1,假设存在实数λ,使得当x≤λ时,对 n 1 n 1 a 于一切正整数n,都有f(x)≤0恒成立,于是-x2+4x≤ n =c n 恒成立,则-x2+4x≤1,解得x≤2-√3 或 2n+1 x≥2+√3,取λ=2-√3,当x≤λ时,对于一切正整数n,都有f(x)≤0恒成立,所以存在λ=2-√3,使得当 x≤2-√3时,对于一切正整数n,都有f(x)≤0恒成立. 16.682 解析 因为A =(-1,1),依题意得,A =(-1,0,0,1),A =(-1,0,-1,1,-1,1,0,1),显然,A 中有2项,其中 1 2 3 1 1项为-1,1项为1,A 中有4项,其中1项为-1,1项为1,2项为0,A 中有8项,其中3项为-1,3项为 2 3 1,2项为0,由此可得A 中共有2n项,其中1和-1的项数相同,设A 中有c 项为0,1和-1的项数相 n n n 同,都为b ,所以2b +c =2n,b =1,从而2b +c =2n-1(n≥2).① n n n 1 n-1 n-1 因为f(A)表示把A中每个-1都变为-1,0,每个0都变为-1,1,每个1都变为0,1,得到新的有序实数组, 则b =b +c (n≥2),② n n-1 n-1 ①+②,得b +b =2n-1(n≥2),③ n n-1 所以b +b =2n,④ n n+1 ④-③得b -b =2n-1(n≥2), n+1 n-1 2n+1 所以当n为奇数,且n≥3时,b =(b -b )+(b -b )+…+(b -b )+b =2n-2+2n-4+…+21+1= ,经检 n n n-2 n-2 n-4 3 1 1 3 2n+1 验,当n=1时符合上式,所以b = (n为奇数).当n为偶数时,n-1为奇数.因为b +b =2n-1(n≥2), n n-1 n 3 {2n+1 ,n为奇数, 2n-1+1 2n-1 3 所以b =2n-1-b =2n-1- = ,所以b = 当n为奇数时,b +b = n n-1 n n n+1 3 3 2n-1 ,n为偶数, 3 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx2n+1 2n+1-1 + =2n,所以{b }的前10项和为(b +b )+(b +b )+(b +b )+(b +b )+ n 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 2×(1-45) (b +b )=21+23+25+27+29= =682 9 10 1-4 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468 也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx