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课时规范练 9 幂函数、二次函数
基础巩固练
1.(2024·湖南学业考试)已知幂函数y=xα的图象经过点(2,4),则α=( )
A.2 B.-2
1 1
C. D.-
2 2
2.(2024·辽宁抚顺模拟)二次函数y=2x2-4x-1(x∈R)的最小值为( )
A.1 B.-3
C.-1 D.5
3.(2024·海南海口模拟)如图,若a<0,b>0,c<0,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象为(
)
4.(2024·湖北模拟)已知幂函数f(x)=xm2+2m-3(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)内单调递增,
则m=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.3
5.(多选题)(2024·广西玉林期末)已知函数f(x)=x2+2x+1(x∈R),则以下结论一定正确的是(
)
A.f(-1)=0
B.f(x)的最小值为1
C.f(x)的顶点坐标为(-1,0)
D.f(x)的图象关于直线x=-1对称关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
6.(2024·江苏南通期中)已知幂函数f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递减,则f(x)的解析式
可以为 .(写一个即可)
7.(2024·广东揭阳期中)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c(a≠0)在区间[0,1]上单调递减,且
f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是 .
综合提升练
8.已知a= 4,b= 2,c=2 1,则( )
23 33 52
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
9.(2024·新疆期中)已知函数f(x)=x2-4x+5在[m,n]上的值域是[1,10],则n-m的最大值是(
)
A.3 B.6
C.4 D.8
10.(多选题)(2024·浙江模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直
线x=-1,且过点(-3,0),下列说法正确的是( )
A.abc<0
B.2a-b=0
C.3a+c=0
D.(-5,y ),(3,y )是抛物线上两点,y >y
1 2 1 2
11.(2024·江苏镇江期中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= .
①f(x x )=f(x )f(x );
1 2 1 2
f (x )-f (x )
②对于任意两个不同的正数x ,x ,都有 1 2 >0恒成立;
1 2
x -x
1 2
x +x f (x )+f (x )
③对于任意两个不同的正数x ,x ,都有f( 1 2)> 1 2 .
1 2
2 2
12.(2024·山东滨州开学考试)已知当x∈[a,a+1]时,函数f(x)=x2-2x+1的最大值为4,则a
的值为 .
13.(2024·北京大兴期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(x∈R)的值域为[0,+∞),且关于x的不等
式f(x)<c的解集为(m,m+6).则有如下结论:关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
①b2-4a=0;
②函数y=f(x)的图象与直线y=c的两个交点之间的距离等于6;
③若关于x的不等式x2<c的解集为(p,q),则|p-q|=6;
④c的值与m的大小有关.
其中所有正确结论的序号是 .
14.(13分)已知函数f(x)=ax2+x+c(a,c∈N*)满足:①f(1)=5;②f(2)<12.
(1)求f(x)的解析式;
1
(2)若对任意的实数x∈( ,2),f(x)-mx≤1恒成立,求实数m的取值范围.
2
15.(13分)(2025·北京期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求c的值;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)求函数f(x)在区间[-1,1]上的值域.
创新应用练
16.(2024·河南模拟)已知函数f(x)=|x2-6x+7|在[1,m](m>1)上的最大值为A,在[m,2m-1]上
的最大值为B,若A≥2B,则实数m的取值范围是 .
答案：
1.A 解析 由题意得4=2α,解得α=2.故选A.
2.B 解析 ∵y=2x2-4x-1=2(x2-2x+1)-3=2(x-1)2-3,且其定义域是R,∴当x=1时,y =-3.故选B.
min
b
3.B 解析 因为a<0,所以二次函数图象开口向下,又b>0,所以- >0,因为c<0,所以函数图象与
2a
y轴的交点位于x轴下方,符合条件的图象只有B.故选B.
4.B 解析 因为函数f(x)是偶函数且在(-∞,0)内是增函数,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,所以
m2+2m-3<0,即(m-1)(m+3)<0,解得-3<m<1,又因为m∈Z,所以m=-2或m=-1或m=0,当m=0或
m=-2时,f(x)=x-3,此时f(x)为奇函数,不满足题意;当m=-1时,f(x)=x-4,此时f(x)为偶函数,满足题意.
所以m=-1.故选B.
5.ACD 解析 因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=-1.因为f(-1)=0,所
以顶点坐标为(-1,0),f(x)的最小值为0,所以ACD正确,B错误.故选ACD.
6.f(x)=x-2(答案不唯一) 解析 因为幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,所以α<0.又因为f(x)=xα
为偶函数,所以α=-2符合题意.故答案为f(x)=x-2(答案不唯一).关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
7.[0,2] 解析 二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,又因为函数f(x)在区间[0,1]上
单调递减,所以a>0,即函数图象开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.
8.A 解析 由题意得b= 2 2 4=a,a= 4 2<4<5=2 1=c,所以b<a<c.
33<43=23 23=43 52
9.B 解析 f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,因为值域为[1,10],所以要取到最小值1,必须有2∈[m,n].
令f(x)=10,得x=-1或x=5,所以当n=5,m=-1时,(n-m) =6,故选B.
max
b
10.ABC 解析 由图知该抛物线开口向上,故a>0,∵对称轴是直线x=-1,∴- =-1,故b=2a>0,即
2a
2a-b=0,故B正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,故A正确;由抛物线对称性得该函数
图象必过(1,0),可得a+b+c=0,结合b=2a,可得3a+c=0,故C正确;易知点(-5,y ),(3,y )到对称轴距
1 2
离相等,故y =y ,故D错误.故选ABC.
1 2
11.√x(答案不唯一) 解析 当f(x)=√x时,对于①,f(x x )=√x x =f(x )f(x ),故满足①;
1 2 1 2 1 2
f (x )-f (x )
对于②,由对于任意两个不同的正数x ,x ,都有 1 2 >0恒成立,得函数f(x)在(0,+∞)上
1 2
x -x
1 2
单调递增,而函数f(x)=√x在(0,+∞)上单调递增,故满足②;
x +x f (x )+f (x )
对于③,任取x ,x ∈[0,+∞),x ≠x ,则[f( 1 2)]2-[ 1 2 ]2=
1 2 1 2
2 2
x +x x +x +2√x x (√x -√x )2 x +x f (x )+f (x )
1 2− 1 2 1 2= 1 2 ,因为x
1
≠x
2
,所以[f( 1 2)]2-[ 1 2 ]2=
2 4 4 2 2
(√x -√x )2 x +x f (x )+f (x ) x +x f (x )+f (x )
1 2 >0,即[f( 1 2)]2>[ 1 2 ]2,所以f( 1 2)> 1 2 ,故满足③.
4 2 2 2 2
故答案为√x(答案不唯一).
1 1
12.-1或2 解析 函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,当1≤a+ ,即a≥ 时,f(x)
max
=f(a+1)=a2=4,解
2 2
得a=2或a=-2(舍);
1 1
当1>a+ ,即a< 时,f(x) =f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1或a=3(舍).
max
2 2
综上知,a的值为2或-1.
13.②③ 解析 由已知Δ=a2-4b=0,①错误;关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),即函数
y=f(x)的图象与直线y=c的两个交点的横坐标分别为m,m+6,它们的距离为6,②正确;由上面的讨
a2 a
论知f(x)=x2+ax+ =(x+ )2,所以把f(x)的图象沿x轴平移得函数y=x2的图象,从而直线y=c与函
4 2
数y=x2的图象的两个交点间的距离也是6,③正确;由③的分析知c=9,是确定的值,与m的大小无
关,④错误.故答案为②③.关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
{ f (1)=a+1+c=5,①
14.解 (1)依题意可得
f (2)=4a+2+c<12,②
②-①,得3a+1<7,则a<2,又a∈N*,所以a=1,代入①,得c=3,所以f(x)=x2+x+3.
1 1
(2)因为f(x)-mx≤1在x∈( ,2)内恒成立,由(1)知f(x)=x2+x+3,则x2+(1-m)x+2≤0在x∈( ,2)内恒
2 2
成立.
{ 1 1 1 1
g( )= + - m+2≤0,
记g(x)=x2+(1-m)x+2,则
2 4 2 2
g(2)=4+2(1-m)+2≤0,
11
解得m≥ ,
2
11
所以实数m的取值范围是[ ,+∞).
2
15.解 (1)因为f(0)=c=1,所以c=1.
(2)因为f(x)=ax2+bx+1,又因为f(x+1)-f(x)=2x,所以[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2x,所以
{ 2a=2, { a=1,
2ax+a+b=2x,所以 所以 即f(x)=x2-x+1.
a+b=0, b=-1,
1 3 1
(3)因为f(x)=x2-x+1=(x- )2+ ,所以f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x= .
2 4 2
1 [1 ] 1 3
因为f(x)在区间[-1, )内单调递减,在区间 ,1 上单调递增,所以f(x) =f( )= .
min
2 2 2 4
[3 ]
因为f(-1)=1+1+1=3,f(1)=1-1+1=1,所以f(x) =f(-1)=3,所以f(x)在区间[-1,1]上的值域为 ,3 .
max
4
3
16.[3-√3, ] 解析 由函数f(x)=|x2-6x+7|=|(x-3)2-2|,作出f(x)的图象如图.
2
由题得f(1)=f(3)=f(5)=2.
当1<m≤5时,函数f(x)=|x2-6x+7|在[1,m](m>1)上的最大值为2,即A=2,
要使A≥2B,则B≤1.
令f(x)=1,解得x =3-√3,x =2,x =4,x =3+√3,
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由图可得,要使函数f(x)=|x2-6x+7|在[m,2m-1]上的最大值为B,且B≤1,
{m≥3-√3, { m≥4, 3
则 或 解得3-√3≤m≤ .
2m-1≤2, 2m-1≤3+√3, 2
当m>5时,
由图知f(x)=|x2-6x+7|在[1,m]上的最大值A=f(m)>0,函数f(x)在[m,2m-1]上单调递增,最大值
B=f(2m-1)>f(m)=A>0,A≥2B不可能成立.
3
综上,实数m的取值范围是[3-√3, ]
2
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