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课时规范练 12 对数函数
基础巩固练
1.(2024·江苏南京期中)函数f(x)=ln(1-2x)的定义域为( )
1 1
A.(-∞, ] B.(-∞, )
2 2
1 1
C.(0, ) D.( ,+∞)
2 2
2.(2025·浙江开学考试)已知关于x的函数y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增,则实数a的取值
范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
1
3.(2024·广东深圳二模)已知a>0,且a≠1,则函数y=log (x+ )的图象一定经过( )
a
a
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
1
4.(2024·山东聊城期末)已知函数f(x)=|ln x|,若f( )0,且a≠1)在[-1,2]上的值域为[m,2],则m的值
3
为( )
A.-4或-1 B.0或-2
C.-2或-1 D.-4或-2
x-3
6.(多选题)(2024·河南郑州模拟)关于函数f(x)=log ,下列结论正确的是( )
3
x+1
A.定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(x)在(3,+∞)上单调递增
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7.(2024·广东揭阳模拟)已知函数f(x)满足①f(x)+f( )=0;②f(x)在定义域内单调递增.请写
x
出一个符合条件①②的函数的表达式: .
8.(2024·广东汕头模拟)不等式log (x-1)+log (x-2)>log 6的解集为 .
2 2 2
x 1
9.(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=log (4x)·log ( ),x∈[ ,4]的最大值为 .
2 1 2 2
4
综合提升练
ln x2
10.(2024·湖北期末)函数f(x)= 的图象大致为( )
x
11.(2024·安徽黄山模拟)“a<1”是“函数f(x)=log [(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增”的
2
( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2024·山东威海期末)已知函数f(x)=|lg x-1|,若f(a)=f(b),且a-1).
2
(1)当m=0时,求f(1)的值;
(2)判断f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论;
(3)当x∈[0,+∞)时,f(x)的最小值为3,求m的值.
创新应用练
2-x
16.(2024·河北衡水模拟)已知函数f(x)=ln ,a=log 3,b=log 4,c=log 8,则( )
2 3 5
3+x
A.f(a)0,且a≠1),则下列说法正确的是( )
a
A.f(x)的图象恒过某个定点
B.f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增
C.f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称
1 1
D.若对任意x∈[- ,2],f(x)<1恒成立,则实数a的取值范围是(0, )∪(3,+∞)
2 3
答案：
1
1.B 解析 由1-2x>0,得x< .故选B.
2
2.A 解析 由于y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增,所以x-a>0在[1,2]上恒成立,即a<1.故选A.
1
3.D 解析 当x=0时,y=log =-1,则当01时,函数图象过第一、三、四象限;
1
所以函数y=log (x+ )的图象一定经过第三、四象限.故选D.
a
a
1 1
4.A 解析 f( )=|ln |=ln 2,f(4)=ln 4,f(a)=|ln a|,
2 2
当a≥1时,ln 21时,y=ax在[-1,2]上单调递增,则a2=9,解得a=3或a=-3(舍去),则3m=a-1= ,得m=-1.
3
综上,m=-4或m=-1.故选A.
x-3
6.ACD 解析 对于A,由 >0得x<-1或x>3,故定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),A正确;对于B,因为
x+1
-2-x
定义域不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,B错误;对于C,因为f(1-x)+f(1+x)=log +log
3 3
2-x
-2+x 2+x -2+x 2+x -2+x
=log 3 +log 3 =log 3 ( · )=log 3 1=0,所以f(x)图象关于点(1,0)对称,C正
2+x -2+x 2+x -2+x 2+x
x-3 4 4
确;对于D,f(x)=log =log (1- ),因为函数t=1- 在区间(3,+∞)上单调递增,且y=log x
3 3 3
x+1 x+1 x+1
在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(3,+∞)上单调递增,D正确.故选ACD.
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7.f(x)=ln x(答案不唯一) 解析 取f(x)=ln x,则f(x)+f( )=ln x+ln =ln x-ln x=0,满足①;因为e>1,
x x
所以f(x)=ln x在定义域(0,+∞)内单调递增,满足②,故符合条件①②的函数的表达式可以为
f(x)=ln x.
8.(4,+∞) 解析 由于log (x-1)+log (x-2)=log (x-1)(x-2)=log (x2-3x+2),所以原不等式等价于
2 2 2 2
{
x-1>0,
x-2>0, 解得x>4,不等式的解集为(4,+∞).
x2-3x+2>6,
9 x 1 1
9. 解析 f(x)=log (4x)log ( )=(log 4+log x)(- )(log x-log 2)=- [(log x)2+log x-2],令
8 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
1 1 9
t=log
2
x(t∈[-1,2]),则函数可化为y=- (t2+t-2),t∈[-1,2],当t=- 时,y
max
= .即函数f(x)的最大值为
2 2 8
9
.
8
ln x2 ln(-x)2 ln x2
10.D 解析 函数f(x)= 的定义域为{x|x≠0},且f(-x)= =- =-f(x),所以f(x)=
x -x x
ln x2
为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除A,B;当x>1时,ln x2>0,则f(x)>0,当00,则1-a>0,且1-
2
a-1≥0,解得a≤0,因为(-∞,0] (-∞,1),故“a<1”是“a≤0”的必要不充分条件,故选C.
12.B 解析 由题可得,f(x)=|⫋lg x-1|=
{1-lgx,010,
由a0对任意的实数x恒成立,由于二次函数u=x2-ax+1有最小值,此
时函数f(x)=log (x2-ax+1)没有最小值;当a>1时,外层函数y=log u在定义域上为增函数,对于内
a a
层函数u=x2-ax+1,函数u=x2-ax+1有最小值,若使得函数f(x)=log (x2-ax+1)有最小值,则
a
{a2-4<0,
解得11,
14.解 (1)当a=2时,函数f(x)=log (2x2-2x-4),由2x2-2x-4>0,得x<-1或x>2,即函数f(x)的定义域为
1
2
(-∞,-1)∪(2,+∞).
令u=2x2-2x-4,显然函数u=2x2-2x-4在(-∞,-1)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,而y=log u在
1
2
(0,+∞)内单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),单调递减区间是(2,+∞).
10
(2)依题意,函数f(x)在(-∞,3]上有意义,必有a×32-2×3-4>0,解得a> .
9
令t=ax2-2x-4,显然函数y=log t在(0,+∞)内单调递减,而函数f(x)在(-∞,3]上为增函数,则二次函数
1
2
1 10
t=ax2-2x-4在(-∞,3]上单调递减,且∀x∈(-∞,3],ax2-2x-4>0恒成立,因此 ≥3,且a> ,无解,所以实
a 9
数a的取值范围是⌀.
15.解 (1)当m=0时,f(x)=log 4x=log 22x=2x,所以f(1)=2.
2 2
(2)f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,证明如下:
4x 1+m
设x
1
,x
2
是[0,+∞)内的任意两个数,且x
1
-1,所以1≤4x 1<4x
2
,所以0<4x
1
+m<4x
2
+m,即0< <1,所以log
2
<0,即f(x
1
)-
4x 2+m 4x 2+m
f(x )<0,所以f(x )0,解得-3log 1=0,所以a> 3 ,所以log 3=11,则f(x)= a 故f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递
log (x+1),x≥0,
a
{log (x+1),-11时,有a-13;当
a a a a
2
1 1
0
