课时规范练 12 对数函数
基础巩固练
1.(2024·江苏南京期中)函数f(x)=ln(1-2x)的定义域为( )
1 1
A.(-∞, ] B.(-∞, )
2 2
1 1
C.(0, ) D.( ,+∞)
2 2
2.(2025·浙江开学考试)已知关于x的函数y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增,则实数a的取值
范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
1
3.(2024·广东深圳二模)已知a>0,且a≠1,则函数y=log (x+ )的图象一定经过( )
a
a
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
1
4.(2024·山东聊城期末)已知函数f(x)=|ln x|,若f( )<f(a)<f(4),则a的值可以为( )
2
1 2
A. B.
3 3
3 9
C. D.
2 2
5.(2024·河南新乡期末)若函数f(x)=log ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的值域为[m,2],则m的值
3
为( )
A.-4或-1 B.0或-2
C.-2或-1 D.-4或-2
x-3
6.(多选题)(2024·河南郑州模拟)关于函数f(x)=log ,下列结论正确的是( )
3
x+1
A.定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(x)在(3,+∞)上单调递增
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7.(2024·广东揭阳模拟)已知函数f(x)满足①f(x)+f( )=0;②f(x)在定义域内单调递增.请写
x
出一个符合条件①②的函数的表达式: .
8.(2024·广东汕头模拟)不等式log (x-1)+log (x-2)>log 6的解集为 .
2 2 2
x 1
9.(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=log (4x)·log ( ),x∈[ ,4]的最大值为 .
2 1 2 2
4
综合提升练
ln x2
10.(2024·湖北期末)函数f(x)= 的图象大致为( )
x
11.(2024·安徽黄山模拟)“a<1”是“函数f(x)=log [(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增”的
2
( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2024·山东威海期末)已知函数f(x)=|lg x-1|,若f(a)=f(b),且a<b,则[f(a)]2-f(10b)的最小
值为( )
5
A.-3 B.-
4
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C.- D.-
4 4
13.(2024·湖南岳阳模拟)若函数f(x)=log (x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是 .
a
14.(13分)已知函数f(x)=log (ax2-2x-4),a∈R.
1
2
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-∞,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
15.(13分)(2024·北京朝阳期末)设函数f(x)=log (4x+m)(m>-1).
2
(1)当m=0时,求f(1)的值;
(2)判断f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论;
(3)当x∈[0,+∞)时,f(x)的最小值为3,求m的值.
创新应用练
2-x
16.(2024·河北衡水模拟)已知函数f(x)=ln ,a=log 3,b=log 4,c=log 8,则( )
2 3 5
3+x
A.f(a)<f(c)<f(b)
B.f(a)<f(b)<f(c)
C.f(c)<f(a)<f(b)
D.f(c)<f(b)<f(a)
17.(多选题)已知函数f(x)=|log (x+1)|(a>0,且a≠1),则下列说法正确的是( )
a
A.f(x)的图象恒过某个定点
B.f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增
C.f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称
1 1
D.若对任意x∈[- ,2],f(x)<1恒成立,则实数a的取值范围是(0, )∪(3,+∞)
2 3
答案：
1
1.B 解析 由1-2x>0,得x< .故选B.
2
2.A 解析 由于y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增,所以x-a>0在[1,2]上恒成立,即a<1.故选A.
1
3.D 解析 当x=0时,y=log =-1,则当0<a<1时,函数图象过第二、三、四象限;
a
a
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1
所以函数y=log (x+ )的图象一定经过第三、四象限.故选D.
a
a
1 1
4.A 解析 f( )=|ln |=ln 2,f(4)=ln 4,f(a)=|ln a|,
2 2
当a≥1时,ln 2<ln a<ln 4,2<a<4.
1 1 1 1 1
当0<a<1时,f(a)=-ln a=ln ,因为ln 2<ln <ln 4,所以2< <4,则 <a< ,对比选项可知选A.
a a a 4 2
5.A 解析 因为函数y=log x在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=ax在[-1,2]上的值域为[3m,9],当
3
1 1
0<a<1时,y=ax在[-1,2]上单调递减,则a-1=9,解得a= ,则3m=a2= ,得m=-4.
9 81
1
当a>1时,y=ax在[-1,2]上单调递增,则a2=9,解得a=3或a=-3(舍去),则3m=a-1= ,得m=-1.
3
综上,m=-4或m=-1.故选A.
x-3
6.ACD 解析 对于A,由 >0得x<-1或x>3,故定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),A正确;对于B,因为
x+1
-2-x
定义域不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,B错误;对于C,因为f(1-x)+f(1+x)=log +log
3 3
2-x
-2+x 2+x -2+x 2+x -2+x
=log 3 +log 3 =log 3 ( · )=log 3 1=0,所以f(x)图象关于点(1,0)对称,C正
2+x -2+x 2+x -2+x 2+x
x-3 4 4
确;对于D,f(x)=log =log (1- ),因为函数t=1- 在区间(3,+∞)上单调递增,且y=log x
3 3 3
x+1 x+1 x+1
在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(3,+∞)上单调递增,D正确.故选ACD.
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7.f(x)=ln x(答案不唯一) 解析 取f(x)=ln x,则f(x)+f( )=ln x+ln =ln x-ln x=0,满足①;因为e>1,
x x
所以f(x)=ln x在定义域(0,+∞)内单调递增,满足②,故符合条件①②的函数的表达式可以为
f(x)=ln x.
8.(4,+∞) 解析 由于log (x-1)+log (x-2)=log (x-1)(x-2)=log (x2-3x+2),所以原不等式等价于
2 2 2 2
{
x-1>0,
x-2>0, 解得x>4,不等式的解集为(4,+∞).
x2-3x+2>6,
9 x 1 1
9. 解析 f(x)=log (4x)log ( )=(log 4+log x)(- )(log x-log 2)=- [(log x)2+log x-2],令
8 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
1 1 9
t=log
2
x(t∈[-1,2]),则函数可化为y=- (t2+t-2),t∈[-1,2],当t=- 时,y
max
= .即函数f(x)的最大值为
2 2 8
9
.
8
ln x2 ln(-x)2 ln x2
10.D 解析 函数f(x)= 的定义域为{x|x≠0},且f(-x)= =- =-f(x),所以f(x)=
x -x x
ln x2
为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除A,B;当x>1时,ln x2>0,则f(x)>0,当0<x<1时,ln
x
x2<0,则f(x)<0,故排除C.故选D.
11.C 解析 令u=(1-a)x-1,则y=log u,若f(x)=log [(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增,因为
2 2
y=log u在(1,+∞)上单调递增,则需使u=(1-a)x-1在区间(1,+∞)上单调递增,且u>0,则1-a>0,且1-
2
a-1≥0,解得a≤0,因为(-∞,0] (-∞,1),故“a<1”是“a≤0”的必要不充分条件,故选C.
12.B 解析 由题可得,f(x)=|⫋lg x-1|=
{1-lgx,0<x≤10,
作出f(x)的图象如图.
lgx-1,x>10,
由a<b,且f(a)=f(b),则f(a)=1-lg a,f(b)=lg b-1,即1-lg a=lg b-1,则ab=100,所以[f(a)]2-f(10b)=(1-lg
a)2-(lg 10b-1)=1-2lg a+lg2a-lg b=lg2a-(lg a2b)+1.
1
由ab=100,则lg2a-(lg a2b)+1=lg2a-lg 100a+1=lg2a-lg a-1,所以[f(a)]2-f(10b)=lg2a-lg a-1=(lg a- )2-
2
5 1 5
,故当lg a= ,即a=
√10
时,[f(a)]2-f(10b)取最小值为- .故选B.
4 2 4
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx13.(1,2) 解析 当0<a<1时,外层函数y=log u在定义域上为减函数,对于内层函数u=x2-ax+1,对
a
应方程的判别式Δ=a2-4<0,则u>0对任意的实数x恒成立,由于二次函数u=x2-ax+1有最小值,此
时函数f(x)=log (x2-ax+1)没有最小值;当a>1时,外层函数y=log u在定义域上为增函数,对于内
a a
层函数u=x2-ax+1,函数u=x2-ax+1有最小值,若使得函数f(x)=log (x2-ax+1)有最小值,则
a
{a2-4<0,
解得1<a<2.综上,实数a的取值范围是(1,2).
a>1,
14.解 (1)当a=2时,函数f(x)=log (2x2-2x-4),由2x2-2x-4>0,得x<-1或x>2,即函数f(x)的定义域为
1
2
(-∞,-1)∪(2,+∞).
令u=2x2-2x-4,显然函数u=2x2-2x-4在(-∞,-1)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,而y=log u在
1
2
(0,+∞)内单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),单调递减区间是(2,+∞).
10
(2)依题意,函数f(x)在(-∞,3]上有意义,必有a×32-2×3-4>0,解得a> .
9
令t=ax2-2x-4,显然函数y=log t在(0,+∞)内单调递减,而函数f(x)在(-∞,3]上为增函数,则二次函数
1
2
1 10
t=ax2-2x-4在(-∞,3]上单调递减,且∀x∈(-∞,3],ax2-2x-4>0恒成立,因此 ≥3,且a> ,无解,所以实
a 9
数a的取值范围是⌀.
15.解 (1)当m=0时,f(x)=log 4x=log 22x=2x,所以f(1)=2.
2 2
(2)f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,证明如下:
4x 1+m
设x
1
,x
2
是[0,+∞)内的任意两个数,且x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=log
2
(4x
1
+m)-log
2
(4x
2
+m)=log
2
,因为
4x 2+m
4x 1+m 4x 1+m
0≤x
1
<x
2
,m>-1,所以1≤4x 1<4x
2
,所以0<4x
1
+m<4x
2
+m,即0< <1,所以log
2
<0,即f(x
1
)-
4x 2+m 4x 2+m
f(x )<0,所以f(x )<f(x ),即f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.
2 1 2
(3)当x∈[0,+∞)时,由(2)可得f(x)在[0,+∞)内单调递增,所以f(x) =f(0)=log (40+m)=log (1+m)=3,
min 2 2
所以m=23-1=7.
2-x 2-x 5
16.A 解析 由 >0,解得-3<x<2,所以函数f(x)的定义域为(-3,2),又因为f(x)=ln =ln(
3+x 3+x x+3
5
-1),由于函数t= -1在区间(-3,2)内单调递减,函数y=ln t在定义域上单调递增,所以f(x)=ln
x+3
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在区间(-3,2)内单调递减.因为b=log 4=log 64= ,c=log 8=log 64= ,所以b<c,因为
3 27 5 25
3+x lg27 lg25
c- 3 2 =log 5 8-log 5 5 3 2 =log 5 5 8 √5 <log 5 1=0,所以c< 3 2 .
因为a- 3 =log 3-log 3 =log 3 >log 1=0,所以a> 3 ,所以log 3=1<b<c<a<log 4=2,所以由函数
2
2 222 2
2√2
2
2
3 2
f(x)在区间(-3,2)内单调递减,得f(a)<f(c)<f(b),故选A.
17.ABD 解析 对于A,因为f(0)=|log 1|=0,故f(x)的图象恒过原点,故A正确.
a
{-log (x+1),-1<x<0,
对于B,若a>1,则f(x)= a 故f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递
log (x+1),x≥0,
a
{log (x+1),-1<x<0,
增;若0<a<1,则f(x)= a 故f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,故
-log (x+1),x≥0,
a
B正确.
对于C,考虑关于x的方程f(-x)=f(x),x∈(-1,0)∪(0,1)是否有解.
即|log (x+1)|=|log (-x+1)|,x∈(-1,0)∪(0,1)是否有解,当x∈(-1,0)∪(0,1)时,由|log (x+1)|=|log (-
a a a a
x+1)|得log (x+1)=log (-x+1)或log (x+1)=-log (-x+1),即x+1=-x+1或(x+1)(-x+1)=1,即x=0,不符
a a a a
合题意,故f(x)图象上不存在两个不同的点关于y轴对称,故C错误.
1 1
对于D,若对任意x∈[- ,2],f(x)<1恒成立,则对任意x∈[- ,2],|log (x+1)|<1恒成立,
a
2 2
1
即-1<log (x+1)<1,即log a-1<log (x+1)<log a,当a>1时,有a-1<x+1<a,又x∈[- ,2],所以a>3;当
a a a a
2
1 1
0<a<1时,有a<x+1<a-1,所以0<a<
.
所以a∈(0, )∪(3,+∞),故D正确.故选ABD
3 3
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